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 title: '数组-前缀和数组'
 date: 2023-02-19T15:57:07+08:00
+lastmod: 2024-02-20
 tags: [Array]
 series: [data structure, trick]
 categories: [algorithm]
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 ### 概念
 
-应用场景：在原始数组不会被修改的情况下，**快速、频繁查询某个区间的累加和**。
+应用场景：在原始数组不会被修改的情况下，**快速、频繁查询某个区间的累加和**。通常涉及到连续子数组和相关问题时，就可以考虑使用前缀和技巧了。
 
 核心思路：开辟新数组 `preSum[i]` 来存储原数组 `nums[0..i-1] `的累加和，`preSum[0] = 0`。这样，当求原数组区间和就比较容易了，区间 `[i..j]` 的和等于 `preSum[j+1] - preSum[i]` 的结果值。
 
 ```JavaScript
 const preSum = [0]
 preSum[i] = preSum[i - 1] + nums[i - 1]
 // 查询
-preSum[r + 1] - preSum[l]
-
-// 或者
-const preSum = [nums[0]]
-preSum[i] = preSum[i-1] + nums[i]
-// 查询
-preSum[r] - preSum[l-1] // 需要判断 l 为 0 的情况，直接返回 preSum[r]，这种的劣势是需要判断边界条件
+preSum[j + 1] - preSum[i]
 ```
 
 ### 构造：[lc.303 区域和检索-数组不可变](https://leetcode.cn/problems/range-sum-query-immutable/)
@@ -54,38 +49,6 @@ NumArray.prototype.sumRange = function(left, right) {
  */
 ```
 
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-
-上方那种事官解给出的逻辑，下面这种可能更容易理解一些。
-
-```js
-/**
- * @param {number[]} nums
- */
-var NumArray = function (nums) {
-  this.preSums = [nums[0]]
-  for (let i = 1; i < nums.length; ++i) {
-    this.preSums[i] = this.preSums[i - 1] + nums[i]
-  }
-}
-
-/**
- * @param {number} left
- * @param {number} right
- * @return {number}
- */
-NumArray.prototype.sumRange = function (left, right) {
-  if (left === 0) return this.preSums[right]
-  return this.preSums[right] - this.preSums[left - 1]
-}
-
-/**
- * Your NumArray object will be instantiated and called as such:
- * var obj = new NumArray(nums)
- * var param_1 = obj.sumRange(left,right)
- */
-```
-
 ### 构造：[lc.304 二维区域和检索-矩阵不可变](https://leetcode.cn/problems/range-sum-query-2d-immutable/)
 
 ```js
@@ -130,9 +93,11 @@ NumMatrix.prototype.sumRegion = function (row1, col1, row2, col2) {
 
 ### lc.523 连续的子数组和
 
-这道题有点意思的，首先要知道一个数学知识：**同余定理：(a - b) % k == 0，则 a % k == b % k**。
+这道题有点意思的，首先要知道一个数学知识：**同余定理：a, b 模 k 后的余数相同，则 a，b 对 k 同余**，本题需要利用同余的整除性性质：
+
+** `a % k == b % k`，则 `(a-b) % k === 0`。即同余数之差能被 k 整除 **
 
-根据题意，需要获取到的信息是：**(preSum[j] - preSum[i]) % k === 0**，如过存在则返回 true，那么就可以转化为：**寻找是否有两个前缀和能 % k 后，余数相同的问题了~**，那就很自然想到用哈希表来存储 `{余数：索引}`了，不然这题还真挺难想的~ 再一次 respect 数学！
+根据题意，需要获取到的信息是：**(preSum[j] - preSum[i]) % k === 0**，如过存在则返回 true，那么就可以转化为：**寻找是否有两个前缀和能 % k 后，余数相同的问题了~**，那就很自然想到用哈希表来存储 `{余数：索引}` 了，不然这题还真挺难想的~ 再一次 respect 数学！
 
 ```js
 var checkSubarraySum = function (nums, k) {
@@ -141,14 +106,14 @@ var checkSubarraySum = function (nums, k) {
   let preSum = 0
   for (let i = 0; i < nums.length; ++i) {
     preSum += nums[i]
-    let b = preSum % k
-    if (map[b] >= -1) {
+    let remainder = preSum % k
+    if (map[remainder] >= -1) {
       // 左开右闭区
-      if (i - map[b] >= 2) {
+      if (i - map[remainder] >= 2) {
         return true
       }
     } else {
-      map[b] = i
+      map[remainder] = i
     }
   }
   return false
@@ -268,8 +233,8 @@ Solution.prototype.pickIndex = function() {
  */
 var subarraySum = function(nums, k) {
     const preSum = [0]
-    for(let i = 1; i <= nums.length; ++i) {
-        preSum[i] = preSum[i-1] + nums[i-1]
+    for(let i = 0; i < nums.length; ++i) {
+        preSum[i + 1] = preSum[i] + nums[i]
     }
     let count = 0
     // 遍历出所有区间
@@ -404,12 +369,36 @@ var maxSubarraySumCircular = function (nums) {
 
 ### lc.974 和可被 k 整除的子数组
 
-与 lc.523 相呼应，如果不知道同余定理，则比较棘手。
+这题与题目 「lc.560 和为 K 的子数组」非常相似，同时与 lc.523 相呼应，如果不知道同余定理，则比较棘手。
 
 ```js
+/**
+ * @param {number[]} nums
+ * @param {number} k
+ * @return {number}
+ */
+var subarraysDivByK = function (nums, k) {
+  let res = 0
+  let remainder = 0
+  const map = { 0: 1 } // 存储 { %k : count } 这里求数量，则初始化为 1，之前有题是求距离，初始化为了 -1
+  for (let i = 0; i < nums.length; ++i) {
+    // 当有负数时，js 语言的取模和数学上的取模是不一样的，所以为了修正这种逻辑，先 +个 k 再去模即可
+    remainder = (((remainder + nums[i]) % k) + k) % k
+    // if(remainder < 0) remainder += k  // 评论里看到也可以这样修正
 
+    if (map[remainder]) {
+      res += map[remainder]
+      map[remainder]++
+    } else {
+      map[remainder] = 1
+    }
+  }
+  return res
+}
 ```
 
+`remainder = (((remainder + nums[i]) % k) + k) % k`，这里我的理解是，因为使用了数学上的同余定理性质，所以程序的取余远算应当与之保持一致，比如 js 中 `-5 % 3 == -2`，数学中 `-5 % 3 == 1`。
+
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 ### 前缀积与后缀积：[lc.238 除以自身以外的数组的乘积](https://leetcode.cn/problems/product-of-array-except-self/)
@@ -462,3 +451,7 @@ var productExceptSelf = function (nums) {
 ```
 
 > lc.327 lc.862 两道 hard 题，后续有时间再看看 😁
+
+### 同余定理
+
+> [维基百科 - 同余](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E9%A4%98)