素数个数

_posts/2024-07-03-function-question-analysis-2.md

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+layout: post
+title:  "信息奥赛一本通函数题库解析-2: 素数个数"
+date:   2024-07-03 00:36:24 +0800
+categories: 奥赛 信息奥赛 函数题库
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+原题链接: [素数个数](http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1151)
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+## 解题思路
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+这道题目要求我们计算从 2 到 n（其中 n 的最大值为 50000）之间的素数个数。素数是指除了 1 和自身以外不再有其他因数的自然数。解决这个问题我们可以使用 **埃拉托色尼筛法（Sieve of Eratosthenes）**，这是一种高效的计算素数的算法。
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+### 埃拉托色尼筛法解释
+
+埃拉托色尼筛法是一种古老的算法，用于寻找一个范围内的所有素数。其基本思想是从 2 开始，将每个素数的倍数标记为合数（即非素数）。具体步骤如下：
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+1. **初始化**：创建一个布尔数组 `is_prime`，大小为 n+1，并将所有元素初始化为 `true`。`is_prime[i]` 表示数 i 是否为素数。
+2. **标记合数**：从 2 开始，对于每个数 i，如果 `is_prime[i]` 为 `true`，则将 i 的所有倍数标记为 `false`。
+3. **计数素数**：遍历数组 `is_prime`，统计值为 `true` 的元素个数，这些元素对应的索引即为素数。
+
+### 算法的时间复杂度
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+埃拉托色尼筛法的时间复杂度为 \(O(n \log \log n)\)，对于 n 最大值为 50000 的情况，效率是非常高的。
+
+### 代码实现
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+下面是使用埃拉托色尼筛法计算从 2 到 n 范围内素数个数的代码：
+
+```cpp
+#include <iostream>
+#include <algorithm> // 引入算法库以使用 fill_n
+using namespace std;
+
+// 函数：使用埃拉托色尼筛法计算素数的个数
+int count_primes(int n) {
+    if (n < 2) return 0; // 如果 n 小于 2，则没有素数
+
+    // 创建布尔数组并初始化
+    bool is_prime[n + 1];
+    fill_n(is_prime, n + 1, true); // 初始化数组为 true
+
+    is_prime[0] = is_prime[1] = false; // 0 和 1 不是素数
+
+    // 使用埃拉托色尼筛法
+    for (int i = 2; i * i <= n; ++i) {
+        if (is_prime[i]) {
+            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
+                is_prime[j] = false; // 标记 i 的倍数为非素数
+            }
+        }
+    }
+
+    // 统计素数的个数
+    int count = 0;
+    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
+        if (is_prime[i]) {
+            count++; // 如果是素数，计数加一
+        }
+    }
+
+    return count; // 返回素数的总个数
+}
+
+int main() {
+    int n;
+    cin >> n; // 输入 n
+
+    int prime_count = count_primes(n); // 计算素数的个数
+
+    cout << prime_count << endl; // 输出素数的个数
+
+    return 0;
+}
+```
+
+### 代码解析
+
+1. **初始化布尔数组**：`bool is_prime[n + 1];` 创建一个大小为 n+1 的布尔数组，并使用 `fill_n(is_prime, n + 1, true);` 初始化所有元素为 `true`。
+2. **特殊处理 0 和 1**：`is_prime[0] = is_prime[1] = false;` 将 0 和 1 标记为非素数。
+3. **筛选素数**：使用两层循环，外层循环从 2 到 \(\sqrt{n}\)，内层循环从 i\(^2\) 开始，将每个素数 i 的所有倍数标记为 `false`。
+4. **统计素数**：最后遍历数组 `is_prime`，统计所有为 `true` 的元素个数。
+
+这样就能高效地计算从 2 到 n 之间的素数个数并输出结果。