added linear algebra refresher translation

uk/refresher-linear-algebra.md

@@ -0,0 +1,314 @@
+**1. Linear Algebra and Calculus refresher**
+
+⟶ Повторення з лінійної алгебри та диференційного числення
+
+<br>
+
+**2. General notations**
+
+&#10230; Загальні означення
+
+<br>
+
+**3. Definitions**
+
+&#10230; Визначення
+
+<br>
+
+**4. Vector ― We note x∈Rn a vector with n entries, where xi∈R is the ith entry:**
+
+&#10230; Вектор - вектором x∈Rn з n елементів, де xi∈R є i-им елементом
+
+<br>
+
+**5. Matrix ― We note A∈Rm×n a matrix with m rows and n columns, where Ai,j∈R is the entry located in the ith row and jth column:**
+
+&#10230; Матриця - матриця A∈Rm×n має n рядків і m стовпчиків, де Ai,j∈R є елементом на i-ому рядку і j-ому стовпчику.
+
+<br>
+
+**6. Remark: the vector x defined above can be viewed as a n×1 matrix and is more particularly called a column-vector.**
+
+&#10230; Примітка : вектор x, визначений вище, може бути розглянутий як матриця n×1 і називається вектор-стовпчиком.
+
+<br>
+
+**7. Main matrices**
+
+&#10230; Найважливіші типи матриць
+
+<br>
+
+**8. Identity matrix ― The identity matrix I∈Rn×n is a square matrix with ones in its diagonal and zero everywhere else:**
+
+&#10230; Одинична матриця  ― одинична матриця I∈Rn×n з одиницями на головній діагоналі та нулями у всіх інших елементах:
+
+<br>
+
+**9. Remark: for all matrices A∈Rn×n, we have A×I=I×A=A.**
+
+&#10230; Примітка: для всіх матриць A∈Rn×n, маємо A×I=I×A=A.
+
+<br>
+
+**10. Diagonal matrix ― A diagonal matrix D∈Rn×n is a square matrix with nonzero values in its diagonal and zero everywhere else:**
+
+&#10230; Діагональна матриця ― діагональна матриця D∈Rn×n з ненульовими значеннями на головній діагоналі та нулями у всіх інших елементах.
+
+<br>
+
+**11. Remark: we also note D as diag(d1,...,dn).**
+
+&#10230; Примітка: D визначається як diag(d1,...,dn).
+
+<br>
+
+**12. Matrix operations**
+
+&#10230; Матричні операції
+
+<br>
+
+**13. Multiplication**
+
+&#10230; Множення
+
+<br>
+
+**14. Vector-vector ― There are two types of vector-vector products:**
+
+&#10230; Вектор-вектор - Існують два типи векторних добутків:
+
+<br>
+
+**15. inner product: for x,y∈Rn, we have:**
+
+&#10230; Скалярний добуток: для x,y∈Rn, маємо :
+
+<br>
+
+**16. outer product: for x∈Rm,y∈Rn, we have:**
+
+&#10230; Векторний добуток : для x∈Rm,y∈Rn, маємо :
+
+<br>
+
+**17. Matrix-vector ― The product of matrix A∈Rm×n and vector x∈Rn is a vector of size Rn, such that:**
+
+&#10230; Матриця-вектор : добуток A∈Rm×n і вектора x∈Rn є вектор розміру Rn :
+
+<br>
+
+**18. where aTr,i are the vector rows and ac,j are the vector columns of A, and xi are the entries of x.**
+
+&#10230; де aTr,i є вектор-рядками et ac,j є вектор-стовпчиками A та xi є елементами x.
+
+<br>
+
+**19. Matrix-matrix ― The product of matrices A∈Rm×n and B∈Rn×p is a matrix of size Rn×p, such that:**
+
+&#10230; Матриця-матриця ― добуток матриць A∈Rm×n та B∈Rn×p є матриця розміру Rn×p :
+
+<br>
+
+**20. where aTr,i,bTr,i are the vector rows and ac,j,bc,j are the vector columns of A and B respectively**
+
+&#10230; де aTr,i,bTr,i є вектор-рядками та ac,j,bc,j є вектор-стовпчиками відповідно A і B.
+
+<br>
+
+**21. Other operations**
+
+&#10230; Інші дії
+
+<br>
+
+**22. Transpose ― The transpose of a matrix A∈Rm×n, noted AT, is such that its entries are flipped:**
+
+&#10230; Транспонування ― транспонованою матрицею A∈Rm×n, визначеною AT, є матриця елементи якої є віддзеркаленими.
+
+<br>
+
+**23. Remark: for matrices A,B, we have (AB)T=BTAT**
+
+&#10230; Примітка : для матриць A, B, маємо (AB)T=BTAT.
+
+<br>
+
+**24. Inverse ― The inverse of an invertible square matrix A is noted A−1 and is the only matrix such that:**
+
+&#10230; Обернення ― Обернення квадратної матриці A визначається A−1 і є єдиною матрицею що задовольняє наступне :
+
+<br>
+
+**25. Remark: not all square matrices are invertible. Also, for matrices A,B, we have (AB)−1=B−1A−1**
+
+&#10230; Примітка : не всі квадратні матриці є оберненими. Також для матриць A,B, маємо (AB)−1=B−1A−1.
+
+<br>
+
+**26. Trace ― The trace of a square matrix A, noted tr(A), is the sum of its diagonal entries:**
+
+&#10230; Слід матриці ― слід квадратної матриці A, визначений tr(A), є сумою її діагональних елементів:
+
+<br>
+
+**27. Remark: for matrices A,B, we have tr(AT)=tr(A) and tr(AB)=tr(BA)**
+
+&#10230; Примітка : для матриць A, B, маємо tr(AT)=tr(A) та tr(AB)=tr(BA).
+
+<br>
+
+**28. Determinant ― The determinant of a square matrix A∈Rn×n, noted |A| or det(A) is expressed recursively in terms of A∖i,∖j, which is the matrix A without its ith row and jth column, as follows:**
+
+&#10230; Детермінант ― детермінант квадратної матриці A∈Rn×n визначеної |A| або det(A) виражений рекурсивно через A∖i,∖j, що є матрицею А без її і-го рядка і j-го стовпчика :
+
+<br>
+
+**29. Remark: A is invertible if and only if |A|≠0. Also, |AB|=|A||B| and |AT|=|A|.**
+
+&#10230; Примітка : A може бути оберненою тільки якщо |A|≠0. Також, |AB|=|A||B| та |AT|=|A|.
+
+<br>
+
+**30. Matrix properties**
+
+&#10230; Властивості матриць
+
+<br>
+
+**31. Definitions**
+
+&#10230; Визначення
+
+<br>
+
+**32. Symmetric decomposition ― A given matrix A can be expressed in terms of its symmetric and antisymmetric parts as follows:**
+
+&#10230; Симетричний розклад матриці - дана матриця А може бути виражена в термінах своєї симетричної і антисиметричної частини наступним способом:
+
+<br>
+
+**33. [Symmetric, Antisymmetric]**
+
+&#10230; [Симетрична, Антисиметрична]
+
+<br>
+
+**34. Norm ― A norm is a function N:V⟶[0,+∞[ where V is a vector space, and such that for all x,y∈V, we have:**
+
+&#10230; Норма - це функція N:V⟶[0,+∞[ де V є векторним простором, таким що для для всіх x,y∈V, маємо :
+
+<br>
+
+**35. N(ax)=|a|N(x) for a scalar**
+
+&#10230; N(ax)=|a|N(x) для скаляру
+
+<br>
+
+**36. if N(x)=0, then x=0**
+
+&#10230; якщо N(x)=0, тоді x=0
+
+<br>
+
+**37. For x∈V, the most commonly used norms are summed up in the table below:**
+
+&#10230; Для x∈V, найважливіші в уживанні норми вказано у наступній таблиці:
+
+<br>
+
+**38. [Norm, Notation, Definition, Use case]**
+
+&#10230; [Норма, Нотація, Визначення, Спосіб вживання]
+
+<br>
+
+**39. Linearly dependence ― A set of vectors is said to be linearly dependent if one of the vectors in the set can be defined as a linear combination of the others.**
+
+&#10230; Лінійна залежність - набір векторів називається лінійно залежним якщо один з векторів в наборі може бути визначений через лінійну комбінацію інших.
+<br>
+
+**40. Remark: if no vector can be written this way, then the vectors are said to be linearly independent**
+
+&#10230; Примітка: якщо жоден з векторів не може бути так визначений, тоді ветори називаються лінійно незалежними.
+
+<br>
+
+**41. Matrix rank ― The rank of a given matrix A is noted rank(A) and is the dimension of the vector space generated by its columns. This is equivalent to the maximum number of linearly independent columns of A.**
+
+&#10230; Ранг матриці ― ранг даної матриці A визначається rang(A) і є виміром векторного простору що заданий її рядками. Ранг є еквівалентом максимальної кількості лінійно незалежних стовпчиків в A.
+
+<br>
+
+**42. Positive semi-definite matrix ― A matrix A∈Rn×n is positive semi-definite (PSD) and is noted A⪰0 if we have:**
+
+&#10230; Додатноозначена матриця ― матриця A∈Rn×n є додатноозначеною і визначається A⪰0 якщо :
+
+<br>
+
+**43. Remark: similarly, a matrix A is said to be positive definite, and is noted A≻0, if it is a PSD matrix which satisfies for all non-zero vector x, xTAx>0.**
+
+&#10230; Примітка: схожим чином, матриця є додатноозначеною і визначається A⪰0, якщо вона є додатноозначеною і для всіх ненульових векторів x, xTAx>0.
+
+<br>
+
+**44. Eigenvalue, eigenvector ― Given a matrix A∈Rn×n, λ is said to be an eigenvalue of A if there exists a vector z∈Rn∖{0}, called eigenvector, such that we have:**
+
+&#10230; Власне значення, власний вектор ― маючи матрицю A∈Rn×n, λ називається власним значенням A якщо існує вектор z∈Rn∖{0}, названий власним вектором, таким що :
+
+<br>
+
+**45. Spectral theorem ― Let A∈Rn×n. If A is symmetric, then A is diagonalizable by a real orthogonal matrix U∈Rn×n. By noting Λ=diag(λ1,...,λn), we have:**
+
+&#10230; Спектральна теорема ― нехай A∈Rn×n. Якщо A є симетричною, тоді A є діагоналізовною через ортогональну матрицю U∈Rn×n. Визначаючи Λ=diag(λ1,...,λn), маємо :
+
+<br>
+
+**46. diagonal**
+
+&#10230; діагональ
+
+<br>
+
+**47. Singular-value decomposition ― For a given matrix A of dimensions m×n, the singular-value decomposition (SVD) is a factorization technique that guarantees the existence of U m×m unitary, Σ m×n diagonal and V n×n unitary matrices, such that:**
+
+&#10230; Сингулярний розклад матриці ― для даної матриці A з вимірами m×n, сингулярний розклад є технікою факторизації що гарантує існування U m×m, діагональної матриці Σ m×n та V n×n унітарної матриці, наступним чином :
+
+<br>
+
+**48. Matrix calculus**
+
+&#10230; Матричне числення
+
+<br>
+
+**49. Gradient ― Let f:Rm×n→R be a function and A∈Rm×n be a matrix. The gradient of f with respect to A is a m×n matrix, noted ∇Af(A), such that:**
+
+&#10230; Градієнт ― нехай f:Rm×n→R буде функцією і A∈Rm×n буде матрицею. Градієнт f відносно A є матрицею m×n, визначеною ∇Af(A), такою що :
+
+<br>
+
+**50. Remark: the gradient of f is only defined when f is a function that returns a scalar.**
+
+&#10230; Примітка: градієнт f є визначеним тільки коли f є функцією що повертає скаляр.
+
+<br>
+
+**51. Hessian ― Let f:Rn→R be a function and x∈Rn be a vector. The hessian of f with respect to x is a n×n symmetric matrix, noted ∇2xf(x), such that:**
+
+&#10230; Матриця Гессе ― Нехай f:Rn→R буде функцією і x∈Rn буде вектором. Матриця Гессе f відносно x є симетричною матрицею n×n, визначеною ∇2xf(x), такою що :
+
+<br>
+
+**52. Remark: the hessian of f is only defined when f is a function that returns a scalar**
+
+&#10230; Примітка: матриця Гессе від f є визначеною тільки коли f є функцією що повертає скаляр.
+
+<br>
+
+**53. Gradient operations ― For matrices A,B,C, the following gradient properties are worth having in mind:**
+
+&#10230; Дії на градієнтах ― Для матриць A,B,C варто знати наступні властивості градієнтів :