[A-L] (2023/24) Foglio 15 - Esercizio 4

[Elia-Belli]

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Trovando una base per $Ker A=U$ possiamo determinare le equazioni parametriche per $U$: ci basta risolvere $Ax=0$ passando al sistema a scala equivalente $Sx=0$

$$S=\begin{pmatrix}1&1&1&-2\\ 0&2&-2&-6\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}\to \begin{cases}x_1=-x_2-x_3+2x_4\\ x_2=x_3+3x_4\\ x_3=x_3\\ x_4=x_4\end{cases}\iff\begin{cases}x_1=-2x_3-x_4\\ x_2=x_3+3x_4\\ x_3=x_3\\ x_4=x_4\end{cases}$$

$$\Rightarrow KerS=x_3(-2,1,1,0)+x_4(-1,3,0,1)=Ker A$$

Ho scritto i vettori in riga per comodità

Per passare alle equazioni cartesiane risolvo il seguente sistema e impongo compatibilità:

$$\begin{cases}-2w_1-w_2=x_1\\ w_1+3w_2=x_2\\ w_1=x_3\\ w_2=x_4\end{cases}$$

$$\begin{pmatrix}-2&-1\\ 1&3\\ 1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{pmatrix}\to^{(Gauss)}\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\\ 0&0\\ 0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_3\\ x_4\\ x_1+2x_3+x_4\\ x_2-x_3-3x_4\end{pmatrix}$$

$$U=\{\underline x\in \mathbb{R}^4|\begin{cases}x_1+2x_3+x_4=0\\ x_2-x_3-3x_4=0\end{cases}\}$$

[CiottoloMaggico]

[Elia-Belli]

Soluzione ufficiale

[CasuFrost]

[CarloDaRomadev]