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slides/2024-autumn-exercise/sort & parametric search.md

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+marp: true
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+# Sort & Parametric Search
+소프트웨어학부 진민성
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+# 좌표 정렬하기
+- 2차원 평면 위의 점 N개를 좌표를 x좌표가 증가하는 순으로, x좌표가 같으면 y좌표가 증가하는 순서로 정렬
+- 많은 방법이 있지만 대부분 2가지 방식으로 구현
+    - 직접 구조체를 선언하고 compare함수를 넣어주는 방법
+    - 아래처럼 단순하게 pair로 정렬하는 방법
+```cpp
+vector<pair<int,int>> v(N);
+for(auto &[x,y]:v) cin >> x >> y;
+sort(v.begin(), v.end());
+for(auto [x,y]:v) cout << x << ' ' << y << '\n';
+```
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+# 수 찾기
+- N개의 정수가 주어져 있을 때, 이 안에 X라는 정수가 존재하는지 알아내는 문제
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+- 2가지 방식
+    - 정렬하고 binary search
+    ```cpp
+    cin >> N;
+    vector<int> v(N);
+    for(int &i:v) cin >> i;
+    sort(v.begin(),v.end());
+    cin >> M;
+    for(int i=0, a;i<M;i++) cin >> a, cout << binary_search(v.begin(),v.end(),a) << '\n';
+    ```
+
+    - set을 사용
+    ```cpp
+    cin >> N;
+    set<int> s;
+    for(int i=0, a;i<N;i++) cin >> a, s.insert(a);
+    cin >> M;
+    for(int i=0, a;i<M;i++) cin >> a, cout << s.count(a) << '\n';
+    ```
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+---
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+# 랜선 자르기
+- $K$개의 랜선을 잘라 $N$개의 같은 길이의 랜선으로 만드는 문제
+- $K$개의 랜선을 잘라 $M$길이의 간선 $N$개를 만들 수 있는가? - 결정문제
+    - 단조성을 가지고 있다 -> parametric search
+- $l$=1, $r$=랜선 중 최대 길이로 두고 탐색
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+# 서버실
+- 서버실의 컴퓨터 중 절반 이상이 켜지려면 필요한 시간을 구하는 문제
+- 냉방기가 1분마다 아래에서부터 차오르는 차가운 공기가 컴퓨터 높이만큼 채워질 때 컴퓨터가 켜짐
+
+- 차가운 공기의 높이가 $M$일때 켜지는 컴퓨터가 절반 이상인가? - 결정문제
+    - 단조성 -> parametric search
+- $l$=1, $r$=가장 높은 컴퓨터의 높이로 두고 탐색
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+# 악덕 사장
+- 마감기한이 있는 일 $N$개를 하면서 직원들이 동일하게 일할 수 있는 최대 시간 k를 찾는 문제.
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+- 일을 M시간 동안 할때 모든 일을 마감기한 내에 할수 있는가? - 결정문제
+    - 그리디하게 마감기한 순서로 정렬하고 차례대로 처리
+    - 단조성 -> parametric search
+- $l$=1, $r$=최대 마감기한으로 두고 탐색
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+# 선물
+- $N$개의 작은 박스의 크기 $A × A × A$를 정육면체 박스를 크기 $L × W × H$의 직육면체 상자에 넣을 때 A의 최댓값을 구하는 문제
+
+- 한쪽 변의 길이가 $M$인 정육면체 박스를 사용했을때 직육면체 박스에 N개 이상이 들어가는가? - 결정문제
+    - $\lfloor{L\over M}\rfloor \times \lfloor{W\over M}\rfloor \times \lfloor{H\over M}\rfloor \geq N$
+- $l$=1, $r$=min($L$,$W$,$H$)로 하고 탐색
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+# 곰곰이와 시소
+- N개의 치킨이 놓인 시소에서 균형을 맞추기 위해 받침점의 위치를 구하는 문제
+- 각 치킨의 무게와 위치가 주어졌을 때, 시소가 평행하게 되는 받침점의 위치를 계산해야 함
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+- 받침점이 시소의 왼쪽으로 부터 M만큼 떨어져 있을때 무게중심이 왼쪽이 더큰가? - 결정문제
+    - 단조성이 있으므로 parametric search
+    - 정수가 아닌 실수로 계산을 해야함
+    - 실수의 경우에는 종료조건을 $l<r$ 로 줄 수 없기 때문에 반복문으로 적당히 100~500번정도 돌리면 됩니다.
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+# 두 용액
+- 주어진 용액 중 두 개의 용액을 선택해, 그 합이 0에 가장 가까운 값을 만드는 두 용액을 찾는 문제
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+- 정렬하고 앞뒤에서 부터 보면서 합이 0인 값을 찾아가면 됩니다.
+    - $l=0, r=N-1$로 시작
+    - $A[l]+A[r]$이 0보다 작으면 l++, 아니면 r--
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+# 개똥벌레
+- 개똥벌레가 날아갈 때 파괴해야 하는 장애물의 최소 개수와 그러한 구간의 개수를 구하는 문제
+- 동굴의 길이(N)과 높이(H)가 주어지며, 석순과 종유석의 높이가 번갈아가며 주어짐
+
+- 종유석과 석순을 따로 벡터에 저장하고 정렬
+- 개똥벌레가 i번째 구간으로 날아갈때 파괴해야하는 종유석의 개수는 binary search로 셀수 있음
+- 구간을 1부터 N까지 모두 돌아보면서 가장 적게 파괴해야하는 장애물의 개수와 구간의 개수를 세면 됨
+- 시간복잡도는 binary search가 log시간이 걸리므로 $O(Nlog N)$
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+---
+
+# 누가 이길까
+- HI팀(N명)과 ARC팀(M명) 간의 모든 대결 결과를 예측하는 문제
+- 각 참가자는 코딩 실력을 가지고 있으며, 더 높은 실력을 가진 참가자가 승리
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+- 각 팀마다 실력순서로 정렬
+- upper_bound와 lower_bound를 사용해서 상대팀에서 나보다 실력이 작은 사람, 같은 사람, 높은 사람의 개수를 log에 셀수 있음
+- 모든 사람을 순회하면서 계산하면 됨
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+---
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+# 공유기 설치
+- N개의 집에 C개의 공유기를 설치하여, 가장 인접한 두 공유기 사이의 거리를 최대화하는 문제
+- 각 집의 좌표는 주어지며, 한 집에는 공유기를 하나만 설치할 수 있음
+
+- 각 공유기사이의 거리를 최소 M이상으로 배치하여 C개의 공유기를 모두 설치할 수 있는가? - 결정문제
+    - 단조성을 가짐 -> parametric search
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+# 중량제한
+- N개의 섬과 그 사이의 다리가 있는 상황에서, 두 공장 간 물품을 옮길 때 다리의 중량제한을 고려하여 최대로 옮길 수 있는 물품의 중량을 구하는 문제
+- 각 다리는 중량제한이 있으며, 이를 초과하면 다리가 무너지기 때문에 이 제한을 만족하는 최대 중량을 계산해야 함
+
+- 2가지 방법으로 해결 할 수 있습니다.
+- parametric search & bfs
+    - 중량제한이 $M$이상인 다리만을 사용하여 A에서 B로 갈수 있는가? - 결정문제
+    - A에서 시작해서 중량제한이 $M$이상인 간선만을 사용해서 B를 방문할 수 있는지 확인
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+- Greedy & Union Find
+    - Kruskal과 비슷하게 해결할 수 있음
+    - 간선의 중량제한을 내림차순으로 정렬하고 하나씩 Union-Find를 이용해서 연결해주고 두 공장이 연결되면 마지막으로 연결한 중량제한을 출력하면 됨
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+# 꼬인 전깃줄
+- 두 줄로 늘어선 전봇대 사이에 연결된 전선들이 꼬여 있는 상황에서, 꼬임을 없애기 위해 최소한의 전선을 잘라야 하는 문제
+- 전선의 연결 상태를 고려하여 잘라야 할 최소 개수를 구하는 프로그램을 작성하는 것
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+- 기본적인 nlog n LIS문제
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+# binary search
+- 수열을 처음부터 마지막 까지 돌면서
+- 해당 배열에 이분탐색을 돌리고 나온 그 위치에
+- 현재 보고 있는 수 삽입 (마지막이면 배열 하나 키우기)
+- 이분탐색에서 나온 인덱스가 그 수를 마지막으로 하는 수열의 lis
+- 마지막 배열의 크기가 수열 전체의 lis
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+# Segment tree + DP
+- DP[i]를 i까지의 lis 길이라고 하자.
+- segment tree는 DP[i]를 관리
+    - A[i]에 DP[i]를 업데이트하고 max Seg로 최대값을 관리
+- Seg에서 1,A[i]-1 구간에 쿼리를 날리면 이전까지의 수중에서 가장 큰 DP[i]의 값을 log에 찾을 수 있음
+- seg.qry(q,A[i]-1) + 1로 DP[i]값을 업데이트
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+DP[N]의 값이 lis의 길이
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+# 통나무 자르기
+- 길이 \( L \)인 통나무를 \( K \)개의 주어진 위치에서 최대 \( C \)번 자르면서, 가장 긴 조각의 길이를 최소화하는 문제
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+- 가장 긴 조각의 길이를 M이하로 자를 수 있는가? - 결정문제
+    - parametric search
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+---
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+# K번째 수
+- 크기가 N×N인 배열 A는 A[i][j] = i×j로 정의
+- A를 1차원으로 정렬했을때 K번째 수를 구하는 문제
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+- M보다 작은 수의 개수가 N*N/2보다 큰가? - 결정문제
+    - parametric search
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+# 시험
+- N개의 시험 성적에서 K개의 시험을 선택해 평균 성적을 최대화하는 문제
+- 각 시험의 성적은 맞힌 문제 수 $P_i$와 총 문제 수 $Q_i$로 주어짐
+- 평균 성적은 $\frac{\sum P_x}{\sum Q_x}$로 정의
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+-  평균 성적이 D이상이 되도록 하는 시험의 조합이 존재하는가? - 결정문제
+    - parametric search
+    - $\frac{\sum P_x}{\sum Q_x} \geq D ~ (i \in X)$
+    - $\sum (-Q_iD + P_i) \geq 0 ~ (i \in X)$
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+- $y = −Q_ix + P_i$ 라는 직선의 $x$ 좌표에 $D$를 대입한 값이 가장 큰 상위 $K$개의 직선을 고르는 것이 최적
+- D는 실수 이므로 위의 곰곰이와 시소처럼 원하는 실수 정밀도를 얻을 수 있을 만큼 반복문으로 돌아주면 됩니다.
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+# 날카로운 눈
+- 주어진 정수들 중에서 오직 하나의 정수만 홀수 개로 존재, 나머지는 모두 짝수 개로 존재
+- N개의 입력이 주어지고, 각 입력은 $A, C, B$로 이루어져 있다.
+- 이 입력은 $A, A+B, A+2B, \ldots, A+kB$ (단, $ A+kB \leq C)$의 정수들이 정수더미에 포함된다는 의미
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+- 정수 더미에서 홀수 개 존재하는 정수를 찾는 문제
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+- N보다 큰 수의 개수가 홀수개라는 것은 홀수개 존재하는 정수가 N보다 크다는 것을 의미 -> 단조성을 가짐
+- parametric search로 해결이 가능
+- N보다 큰 수의 개수가 홀수개 인가?
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+# 삶의 질
+- $H\times W$영역에서 중간값의 수의 크기가 가장 작은 값을 찾는 문제
+- 어떤 수 M이하의 값이 중간값이 될 수 있는 영역이 존재하는가? - 결정문제
+    - 단조성 -> parametric search
+    - M보다 큰 값은 1, 같은 수는 0, 작은 수는 -1로 바꾸고
+    - 누적합을 이용하여 $H\times W$영역에서 중간값이 존재하는 지 판별가능