chapter_data_structure/number_encoding/

[giscus[bot]]

chapter_data_structure/number_encoding/

一本动画图解、能运行、可提问的数据结构与算法入门书

https://www.hello-algo.com/chapter_data_structure/number_encoding/

[GoldVelen]

K神写的非常好，我看的津津有味，直到我遇到了公式。他怎么就这样那样求得了各项的取值范围了😭

[liweijian199011]

在计算机中，是不是都需要将数字转换成原码，再转换成反码，最后转换成补码这样的操作过程？另外，想问一下，这个转换的过程是什么地方做的，编译器？还是操作系统？

[cs7eric]

转换是在计算机执行加减法的时候进行的，也就是 计算机会在执行加减法的时候自动将原码转换为补码，并且在运算完成之后，再转换回去，是逻辑门、寄存器等硬件设备完成的

[viyiY2K]

刚学了这个！举手来抢答！我之前也对尾数部分（分数位 N）的范围困惑过！

我们先考虑取得最大值的情况：当 N 为全 1 时，在 IEEE 754 的标准下，这部分总共有 24 个有效数字（23 个加上小数点前隐藏的那个 1 ），这部分用二进制表示是 $(1.11111111111111111111111)_2$ 。

二进制数转十进制数的常规方法是按权展开求和（即文中 $\sum_{i=1}^{23} b_{23-i}2^{-i}$ 部分），但手动转 23 个位权相加简直太麻瓜了(╯°□°）╯︵ ┻━┻。

我们先来简化一下情况，假设要计算 $(0.11)_2$ 的十进制数，一种方法是 $1\times2^{-1}+1\times2^{-2}=0.5+0.25=0.75$ ，另外一种方法则是用 1 减去最后一位的权值，即 $1-2^{-2}=1-0.25=0.75$ ，同样能得到正确结果。

同理，上述式中的 $(0.11111111111111111111111)_{2}=(1-2^{-23})_{10}$ ，其中 $2^{-23}$ 即 $b_0$ 的权值。接着再加上小数点前面的 1，则有 $1+(1-2^{-23})=2-2^{-23}$。

最小值的情况就简单得多啦，全 0 就是全 0。不过要记得加上 IEEE 754 中隐藏的小数点前的 1，所以最小是 1 不是 0。

综上，N 的取值范围用十进制表示的话就是 $[1,2-2^{-23}]$ 啦(๑•̀ㅂ•́)و✧。

[muzishuiji]

我竟然看懂了，不好，开始长脑子了～

[wudidagongreng]

这里的原码和反码和补码的意思好难理解，网上也查不到类似的讲解什么的，就是我不太理解为什么使用补码，补码的运算法则为什么适用，以及其中对符号位有无影响

[Belowbelow]

上学时《计算机组成原理》学的云里雾里，那时候如果能看到这篇文章就好了(～￣▽￣)～

[sdyjf]

哈哈哈还得是K神，看完终于明白数值编码以及为什么这么编码了

[CHINA-T]

一般都懒得评论的，但这文章确实让我对这一块有了新的认识，只惜没早点刷到，K神点赞。

[Azirliang]

第一张图片里面的“除符号为外”，应该是“除符号位外”

[krahets]

谢谢！

[MIracleyin]

终于明白为什么需要补码了！

[kankan-web]

我也是

[curly210102]

1 + (-2) 的计算过程用补码来表示会不会更直观一点呢？能直接指向以补码存储的原因

[krahets]

Hi，这个示例是为了展示反码的作用。补码在反码的基础上进一步地解决了正负零歧义问题。

[curly210102]

哦～所以逻辑链是：反码可以应对负数运算，但反码存在正负零歧义，所以最终使用补码。明白了！

[krahets]

是的，而且补码的负数计算会更容易一些，不用特别处理最高位溢出；使用反码进行负数计算时，若最高位溢出，则需要将其加回至最低位。

[hawkwean]

1 + （-2） 节 展示了反码和补码过程，但采用了 连"=" 来描述， 感觉会把新手搞蒙。这里的“=” 表达的应该是两数字在计算机中 在不同码型下的表示形态和计算过程 ，替换成 “=>”可能会让没接触过这些知识的人更容易理解一些

[krahets]

@hawkwean 确实，我改一下吧

[curly210102]

看到 float 可表示的最大正数时有些疑惑🤔，为啥指数最大值不是 255，然后问GPT整明白了。
或许在这里提一下 「E 有部分保留值，有效的范围是 1~254」会更好理解一些，也能关联到最后的指数位说明。

[curly210102]

各项取值范围里有给到E的范围，好像没有进一步说明的必要了

[gan879065613]

你好，请问文章可以转发吗，我想记录在我自己的博客中，我会标明出处

[krahets]

Hi，好啊～不接受商业转载，非商业转载请标明作者和原文章链接。

[liweijian199011]

在计算机中，是不是都需要将数字转换成原码，再转换成反码，最后转换成补码这样的操作过程？另外，想问一下，这个转换的过程是什么地方做的，编译器？还是操作系统？

[krahets]

当我们写代码时，看到的代码通常是以字符编码的形式存储的，例如 ASCII 码等。
当我们执行代码时，编译器或解释器会对对源代码进行解析，最终这些数字会被转化为补码，以便进行二进制运算。

[Dunker-tap]

计算机编译后转换成补码形式进行计算的原因主要有以下几点：

1、补码可以方便地实现加减运算。在计算机中，加减运算可以通过相同的电路实现，而补码可以使这个过程更加简单。例如，两个正数相加和两个补码相加都是直接相加，但是两个负数相加或者一个正数和一个负数相加，就需要先取反再相加，这个过程相对复杂。
2、使用补码可以统一地表示正数和负数。使用原码表示负数需要额外标记，而使用补码则可以统一表示正负数，使得代码更简洁。
3、补码可以方便地进行溢出检查。当两个补码相加产生溢出时，其最高位（符号位）会变为1，这就可以直接发现溢出。
4、使用补码可以简化计算机的硬件设计。使用补码后，加法和减法可以用相同的硬件实现，这大大简化了硬件设计。

[Tmaof]

在计算机中，并不需要将数字转换成原码、反码、再转换成补码这样的操作过程，这种操作过程主要与二进制补码表示法在内部的表示和处理有关。在计算机中，数值通常以补码的形式进行存储和运算。

1. 原码、反码、补码：这些概念主要是为了理解二进制数在计算机中的表示方式而引入的。原码是最简单的表示方式，直接使用二进制位表示数字。反码是原码的一种变体，它的符号位取反。补码是反码的一种改进，它是在反码的基础上加1。

2. 二进制补码表示：在计算机中，数值通常以二进制补码形式表示。这种表示方式具有很多优势，包括对加法和减法的封闭性。大多数现代计算机体系结构和编程语言都使用补码来进行数值计算。

3. 转换过程：在计算机内部，数字表示为补码形式，因此不需要在不同的表示之间进行转换。当您执行算术操作时，计算机会直接操作补码，无需转换为其他形式。

4. 编译器和操作系统：编译器和操作系统不处理数字的原码、反码和补码表示方式。它们主要关注高级语言代码的编译、链接、加载和执行。底层的数值表示和处理由计算机硬件和底层系统库来处理，这些组件直接支持二进制补码表示。

总之，原码、反码和补码是用来理解计算机内部二进制数值表示的概念，但在实际计算机操作中，通常使用二进制补码表示，并且编译器和操作系统不需要在这些表示之间进行转换。计算机硬件和底层系统库会直接处理二进制补码，以执行各种算术和逻辑操作。

[inkstar]

打call

[linjundey]

实际上，这是因为浮点数 float 采用了不同的表示方式。根据 IEEE 754 标准，32-bit 长度的 float 由以下部分构成：

符号位
：占 1 bit 。
指数位
：占 8 bits 。
分数位
：占 24 bits ，其中 23 位显式存储。
这加起来不是33bit了么

[krahets]

在内存中只有 23 位，但逻辑上是 24 位。对于标准化的浮点数，尾数的最高位总是 1 ，所以无需显式存储，可以默认隐藏。因此实际上，我们可以说分数位是 24 位（ 23 位显式 + 1 位隐式）。

[08822407d]

建议增加上溢和下溢的解释，因为中文网络环境里一堆半吊子写的博客瞎解释，误人子弟，需要人气高传播广的途径纠正这个问题

[isJayChow]

对，我之前就被csdn上博客误导过😭

[waiwai24]

顶，希望大佬出这个教程

[isJayChow]

写得太好了，刚好这学期学数据结构

[Yizhiping]

大佬，你好。我使用firefox安卓版浏览，内容中很多数字部分不能显示。类似 1 byte = 8 bits，数字1和8不显示。

[Yizhiping]

手机系统版本 鸿蒙4 4.0.0.113

[Lirous587]

我刚刚也出现这个情况 原因是我没有登录我的github 登录之后就解决了 不知道楼主的问题是什么原因

[zhangyf20]

登录github或者使用其他浏览器（如夸克）似乎都能解决这个问题

[krahets]

@LzHCS 现在看看正常了不～？

[Lirous587]

@krahets 现在可以了

[NgxuAnGMH]

• float 的表示方式包含指数位，导致其取值范围远大于 int
• 尽管浮点数 float 扩展了取值范围，但其副作用是牺牲了精度

也因此在一些特殊的业务场景，例如说支付系统，其实对于交易金额的精度要求非常高，一般不考虑基本数据类型！！！Java 选手或早或晚会碰到这个面试题。

[slyslt]

所以要用bigdecimal

[GoLennLee]

learning...

[purposex]

5/30来打卡啦，今天学到了很多，讲解很清晰，点赞

[shenshuai89]

3 + (-2)是怎么计算呢？
0000 0011 + 1000 0010 【原码】
0000 0011 + 1111 1101【反码】
1111 1110【反码】
1000 0001 【原码】
结果还是-1 ？？？

[ysssgdhr]

0000 0011
1111 1110
做加法，得0000 0001（符号位参与运算，舍去第九位）

[kungfudaibi]

如果使用反码计算的话，要考虑进位，你转换成最后加起来的结果应该是1 0000 0000 但是需要把进位加回原来的八位表示里（进位回绕），我也不清楚具体的数学原理

[jiuerya7]

0000 0011 + 1111 1101加1，其实就是小学最基础的算数思想，12+9，个位满10进1，个位是1，十位加1，得到21，这里换成了二进制道理是一样的，作者没有明说，我还查了半天资料hhh

[dingyuzs]

要进位

[xxxhycl2010]

这个是以补码方式计算的，
3 + （-2）
= 0000 0011 + 1000 0010 （原）
= 0000 0011 + 1111 1101 （ 反）
= 0000 0011 + 1111 1110 （补）
= 0000 0001 （补， 溢出舍弃1）
= 0000 0001 （原）
= 1

[RaphaelDu]

然而，补码
是一个例外，它并没有对应的原码。根据转换方法，我们得到该补码的原码为
。这显然是矛盾的，因为该原码表示数字
，它的补码应该是自身。计算机规定这个特殊的补码
代表
。实际上，
在补码下的计算结果就是
。

这里-128的计算错了吧？
应该是 1 0000 0000 溢出，所以得到 0000 0000，你少写了一个0 成为了 1000 0000

[RaphaelDu]

是我错了

[hopeyl]

[hopeyl]

0111 1111是正数，反码、补码与原码相同，我不明白你为什么用负数的计算方法

[287408635]

因为补码算原码一般不是直觉的补码-1再取反， 也是补码取反再+1，即1000 0000->1111 1111->0000 0000
至于为什么这样算， 作者前面的评论里有，这两种算法会得到一样的结果
然后前面这种算法算补码1000 0000，看看大佬咋解释了，只是我觉得从逻辑上来说补码1000 0000它是个负数，在后面0111 1111取反的时候除符号位外应该是要取反吧也就是0000 0000，看有没有大佬补充比较容易理解说的过去的说法

[whale-G]

前提：
1.补码求原码的方式可以和原码求补码的方式一致
2.负数使用补码表示。

补码1000 0000的原码：1000 0000是负数，故除符号位取反得1111 1111，再加1得1 0000 0000，高位溢出得原码为0000 0000。

而0000 0000表示0，0对应的补码易知为0000 0000，而非1000 0000，产生矛盾，故规定补码1000 0000表示-128。同时恰巧-127 + (-1)的值在二进制下为1000 0001（-127的补码）+1111 1111（-1的补码）的值为1000 0000，即-128。规定1000 0000表示-128扩大了补码的表示范围

[X1mal]

老实点，取反加一。

[Enlightenus]

"数字是以“补码”的形式存储"
"溢出到第 9 位的 1 会被舍弃。" , "补码表示中只存在一个零，正负零歧义从而得到解决"
是否可以理解為: 現今已經不再使用 -0 ?

[zrw04]

梦回计组

[zrw04]

感谢回复   假装有昵称 ***@***.***  

…

------------------ 原始邮件 ------------------ 发件人: ***@***.***>; 发送时间: 2024年8月27日(星期二) 晚上7:44 收件人: ***@***.***>; 抄送: ***@***.***>; ***@***.***>; 主题: Re: [krahets/hello-algo] chapter_data_structure/number_encoding/ (Discussion #500) 负数， 从原码--> 补码： 取反加一 从补码---> 原码： 减一取反 1 -2 = 0000 0001 + 1000 0010 （原） = 0000 0001 + 1111 1101 （反） = 0000 0001 + 1111 1110 (补） = 1111 1111 （补） = 1111 1110 （减一） = 1000 0001 （ 取反得到原） = -1 — Reply to this email directly, view it on GitHub, or unsubscribe. You are receiving this because you commented.Message ID: ***@***.***>

[sfqy211]

哇，全是计组学过的知识，好痛苦

[FrierenGreatDemonLord]

0_01111100_01100000000000000000000

• $S = 0$
• $E = 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 = 124$
• $N = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375$

$\therefore (-1)^0 \times 2^{124 - 127} \times (1 + 0.375) = 0.171875$

[surpoloyang]

作者您好，3.3.2 浮点数编码小节中的1+N的取值范围的右区间值应该是3-2^-23 而不是2-2^-23。

[surpoloyang]

ono，是我算错了,^.^

[liyuwang5244]

计算float中E组，最前面那个视为符号位还是正常算呢

[sunluyong]

• 原码最高位表示正负，会出现 +0 和 -0 两个零
• 反码在历史上曾经用于表示负数，处理减法比原码简单，但仍旧有两种 0 的问题
• 补码解决了两种 0 的问题，同时在计算减法时候不用考虑符号位，硬件设计比较简单，所以现在都用

[erpioy]

在现代计算机中，如果需要将原码转换为反码，一般会采用一种简单的硬件逻辑实现方式，即直接对所有位进行取反操作（包括符号位）。反码有两种表示方法吗？

[erpioy]

搞忘了这是符号位，取反后还是表示符号位