Adição da solução do exercício 2.1 nº 04.

computacao/problems_on_algorithms/solutions/2_1_04.md

@@ -0,0 +1,43 @@
+4. Prove por indução em $n >= 0$ que:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\sum_{i = 0}^{n} (2i + 1)^2 = \frac{(n + 1)(2n + 1)(2n + 3)}{3}
+\end{aligned}
+$$
+
+Para o caso base $\( n := 0 \)$:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\sum_{i = 0}^{0} (2i + 1)^2 &= \frac{(0 + 1)(2 \times 0 + 1)(2 \times 0 + 3)}{3} \\
+\sum_{i = 0}^{0} (4i^2 + 2i + 1) &= \frac{(1)(1)(3)}{3} \\
+1 &= 1
+\end{aligned}
+$$
+
+Suponha que agora para um $\( n \geq 0 \)$, e:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\sum_{i = 0}^{n + 1} (2i + 1)^2 &= \frac{(n + 2)(2(n + 1) + 1)(2(n + 1) + 3)}{3} \\
+&= \frac{(n + 2)(2n + 3)(2n + 5)}{3} \\
+&= \frac{(n + 2)(4n^2 + 16n + 15)}{3} \\
+&= \frac{4n^3 + 24n^2 + 47n + 30}{3}
+\end{aligned}
+$$
+
+Então:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\sum_{i = 0}^{n + 1} (2i + 1)^2 &= \sum_{i = 0}^{n} (2i + 1)^2 + (2(n + 1) + 1)^2 \\
+&= \frac{(n + 1)(2n + 1)(2n + 3)}{3} + (2(n + 1) + 1)^2 \quad \text{hipótese da indução} \\
+&= \frac{(n + 1)(2n + 1)(2n + 3) + 3(2(n + 1) + 1)^2}{3} \\
+&= \frac{(n + 1)(2n + 1)(2n + 3) + 3(2n + 3)^2}{3} \\
+&= \frac{(n + 1)(4n^2 + 8n + 3) + 3(4n^2 + 12n + 9)}{3} \\
+&= \frac{(4n^3 + 12n^2 + 11n + 3) + (12n^2 + 36n + 27)}{3} \\
+&= \frac{4n^3 + 24n^2 + 47n + 30}{3} \\
+&\square \\
+\end{aligned}
+$$