凸函数基础
在欧氏空间中，凸集是对于集合内的每一对点，连接该对点的直线段上的每个点也在该集合内。例如，立方体是凸集，但是任何中空的或具有凹痕的例如月牙形都不是凸集，数学定义：
常见的凸集有：空集，单点集，整个欧式空间，超平面，半空间。
- 多个凸集的交集为凸集
- D是凸集，a是实数，则aD是凸集
- 凸集的加减是凸集（注意是和集不是并集）
- 设S是n维空间的子集，S中任意有限个点的所有凸组合所构成的集合称为S的凸包，记为H(S)
- 意思就是：H(S)是包含S的最小凸集
- 若对任意常数r>0,对于点集K里面的所有点x，如果rx都属于点集K，则点集K是锥
- 如果一个点集既是凸集，又是锥，则是凸锥，即
这条式子的直观解释：
- 首先：一个点要么在凸锥上，要么不在！这是这两条的关键。
- 先看第二条，A是一个凸锥，b是空间中一个点的坐标，y>=0相当于上面凸锥的系数r>=0的限制，如果存在这个y,对于A中m个由原点发出的向量，所组成的凸锥，b也在这个凸锥中（由上面正系数线性关系可知）
- 再看第一条，当一个点不在凸锥时，总能找到一个过原点的超平面，分开这个点和凸锥，这时候如果用超平面的法向量x来表示这个平面，如果在一个点在超平面上，则这个点的向量乘法向量<0,在下面则>0。而第一条则表明如果一个点不在凸锥上，一定能找到一个超平面分割这个点和凸锥