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@betterpig
betterpig authored Jul 5, 2022
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@@ -1,22 +1,53 @@
梯度裁剪方式介绍
====================

神经网络是通过梯度下降来进行网络学习，随着网络层数的增加，"梯度爆炸"的问题可能会越来越明显。例如：在梯度反向传播中，如果每一层的输出相对输入的偏导 > 1，随着网络层数的增加，梯度会越来越大，则有可能发生 "梯度爆炸"。
一、梯度爆炸与裁剪
--------------------

如果发生了 "梯度爆炸"，在网络学习过程中会直接跳过最优解，所以有必要进行梯度裁剪，防止网络在学习过程中越过最优解。
在深度学习模型的训练过程中，通过梯度下降算法更新网络参数。一般地，梯度下降算法分为前向传播和反向更新两个阶段。

Paddle提供了三种梯度裁剪方式：
- 在前向传播阶段，输入向量使用下列公式，从前往后，计算下一层每个神经元的值。其中，O为神经元的输入和输出，f为激活函数，W为权重，b为偏置。

一、设定范围值裁剪
--------------------
.. math::
O^k = f(W O^{k-1} + b)
在计算出网络的估计值后，使用类似均方误差的方法，计算由目标值与估计值的差距定义的损失函数。其中 :math:`y_i` 为label，:math:`y_i'` 为预测值。

.. math::
loss = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n(y_i-y_i')^2
- 在得到损失后，进行一次反向传播，调整权重和偏差。为了更新网络参数，首先要计算损失函数对于参数的梯度 :math:`\frac{\partial loss}{\partial W_k}` ，然后使用某种梯度更新算法，执行一步梯度下降，以减小损失函数值。如下式，其中 :math:`\alpha`` 为学习率。

.. math::
W_{k+1} = W_k - \alpha(\frac{\partial loss}{\partial W_k})
在上述训练过程中，可能出现梯度值变得特别小或者特别大甚至溢出的情况，这就是所谓的 **梯度消失** 和 **梯度爆炸**，这时候训练很难收敛
。梯度爆炸一般出现在由初始权重计算的损失特别大的情况，大的梯度值会导致参数更新量过大，最终梯度下降将发散，无法收敛到全局最优。此外，
随着网络层数的增加，"梯度爆炸"的问题可能会越来越明显。考虑具有四层隐藏层网络的链式法则公式，如果每一层的输出相对输入的偏导 > 1，随着网络层数的增加，梯度会越来越大，则有可能发生 "梯度爆炸"。

.. math::
\nabla w_1 = \alpha \frac{\partial loss}{\partial W_2} = \alpha \frac{\partial loss}{\partial f_4} \frac{\partial f_4}{\partial f_3} \frac{\partial f_3}{\partial f_2} \frac{\partial f_2}{\partial w_2}
当出现下列情形时，可以认为发生了梯度爆炸：

- 两次迭代间的参数变化剧烈
- 模型参数和损失值变为NaN

如果发生了 "梯度爆炸"，在网络学习过程中会直接跳过最优解，所以有必要进行梯度裁剪，防止网络在学习过程中越过最优解。Paddle提供了三种梯度裁剪方式：设置范围值裁剪、通过L2范数裁剪、通过全局L2范数裁剪。设置范围值裁剪方法简单，但是很难确定一个合适的阈值。通过L2范数裁剪和通过全局L2范数裁剪方法，都是用阈值限制梯度向量的L2范数，前者只对特定梯度进行裁剪，后者会对优化器的所有梯度进行裁剪。

二、Paddle梯度裁剪使用方法
---------------------------

1. 设定范围值裁剪
###################

设定范围值裁剪：将参数的梯度限定在一个范围内，如果超出这个范围，则进行裁剪。

使用方式：需要创建一个 :ref:`paddle.nn.ClipGradByValue <cn_api_fluid_clip_ClipGradByValue>` 类的实例，然后传入到优化器中，优化器会在更新参数前，对梯度进行裁剪。

**1. 全部参数裁剪（默认）**
- **全部参数裁剪（默认）**

默认情况下，会裁剪优化器中全部参数的梯度：
默认情况下，会裁剪优化器中全部参数的梯度。在下面的示例代码中，设置裁剪阈值为 -1 和 1，那么当反向传播求出的梯度不在[-1, 1]范围内时，将会把梯度设为所接近的阈值。例如梯度为 -4 将调整为 -1，梯度为 3 将调整为 1 。

.. code:: ipython3
Expand All @@ -28,7 +59,7 @@ Paddle提供了三种梯度裁剪方式：
如果仅需裁剪部分参数，用法如下：

**2. 部分参数裁剪**
- **部分参数裁剪**

部分参数裁剪需要设置参数的 :ref:`paddle.ParamAttr <cn_api_fluid_ParamAttr>` ，其中的 ``need_clip`` 默认为True，表示需要裁剪，如果设置为False，则不会裁剪。

Expand All @@ -38,8 +69,8 @@ Paddle提供了三种梯度裁剪方式：
linear = paddle.nn.Linear(10, 10，bias_attr=paddle.ParamAttr(need_clip=False))
二、通过L2范数裁剪
--------------------
2. 通过L2范数裁剪
###################

通过L2范数裁剪：梯度作为一个多维Tensor，计算其L2范数，如果超过最大值则按比例进行裁剪，否则不裁剪。

Expand All @@ -58,12 +89,12 @@ Paddle提供了三种梯度裁剪方式：
\right.
其中 :math:`norm（X）` 代表 :math:`X` 的L2范数
其中 X 为梯度向量，clip_norm 为设置的L2范数阈值， :math:`norm（X）` 代表 :math:`X` 的L2范数

.. math::
\\norm(X) = (\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2)^{\frac{1}{2}}\\
**1. 全部参数裁剪（默认）**
- **全部参数裁剪（默认）**

默认情况下，会裁剪优化器中全部参数的梯度：

Expand All @@ -75,7 +106,7 @@ Paddle提供了三种梯度裁剪方式：
如果仅需裁剪部分参数，用法如下：

**2. 部分参数裁剪**
- **部分参数裁剪**

部分参数裁剪的设置方式与上面一致，也是通过设置参数的 :ref:`paddle.ParamAttr <cn_api_fluid_ParamAttr>` ，其中的 ``need_clip`` 默认为True，表示需要裁剪，如果设置为False，则不会裁剪。

Expand All @@ -85,9 +116,8 @@ Paddle提供了三种梯度裁剪方式：
linear = paddle.nn.Linear(10, 10, weight_attr=paddle.ParamAttr(need_clip=False))
三、通过全局L2范数裁剪
--------------------
3. 通过全局L2范数裁剪
#######################

将优化器中全部参数的梯度组成向量，对该向量求解L2范数，如果超过最大值则按比例进行裁剪，否则不裁剪。

Expand All @@ -112,9 +142,9 @@ Paddle提供了三种梯度裁剪方式：
\\global\_norm=\sqrt{\sum_{i=0}^{n-1}(norm(X[i]))^2}\\
其中 :math:`norm（X）` 代表 :math:`X` 的L2范数
其中 :math:`X_i` 为梯度向量，clip_norm 为设置的L2范数阈值， :math:`norm（X）` 代表 :math:`X` 的L2范数，global_norm 为所有梯度向量的L2范数的均方根值。

**1. 全部参数裁剪（默认）**
- **全部参数裁剪（默认）**

默认情况下，会裁剪优化器中全部参数的梯度：

Expand All @@ -126,6 +156,147 @@ Paddle提供了三种梯度裁剪方式：
如果仅需裁剪部分参数，用法如下：

**2. 部分参数裁剪**
- **部分参数裁剪**

部分参数裁剪的设置方式与上面一致，也是通过设置参数的 :ref:`paddle.ParamAttr <cn_api_fluid_ParamAttr>` ，其中的 ``need_clip`` 默认为True，表示需要裁剪，如果设置为False，则不会裁剪。可参考上面的示例代码进行设置。

由上面的介绍可以知道，设置范围值裁剪可能会改变梯度向量的方向。例如，阈值为1.0，原梯度向量为[0.8, 89.0]，裁剪后的梯度向量变为[0,8, 1.0]，方向发生了很大的改变。而对于通过L2范数裁剪的两种方式，阈值为1.0，则裁剪后的梯度向量为[0.00899, 0.99996]，能够保证原梯度向量的方向，但是由于分量2的值较大，导致分量1的值变得接近0。在实际的训练过程中，如果遇到梯度爆炸情况，可以试着用不同的裁剪方式对比在验证集上的效果。

三、 实例
--------------------

为了说明梯度裁剪的作用，以一个简单的3层无激活函数的神经网络为例，说明梯度裁剪的作用。其第一层的权重全部加上2，表示初始化权重过大。通过is_clip控制是否开启梯度裁剪，若开启，则使用L2范数裁剪方式对所有隐藏层的权重梯度进行裁剪，所允许的L2范数为1.0。该例子仅是为了阐释梯度裁剪的作用，并不是真正意义上的深度学习模型！

.. code:: ipython3
import paddle
import paddle.nn.functional as F
import numpy as np
total_data, batch_size, input_size, hidden_size = 1000, 16, 1, 32
a = 2
is_clip = False # 控制是否开启梯度裁剪
weight1 = paddle.randn([input_size, hidden_size]) + a # 使初始权重产生偏移
bias1 = paddle.randn([hidden_size])
weight_attr_1 = paddle.framework.ParamAttr(
name="linear_weight_1",
initializer=paddle.nn.initializer.Assign(weight1),
need_clip=is_clip)
bias_attr_1 = paddle.framework.ParamAttr(
name="linear_bias_1",
initializer=paddle.nn.initializer.Assign(bias1))
weight2 = paddle.randn([hidden_size, hidden_size])
bias2 = paddle.randn([hidden_size])
weight_attr_2 = paddle.framework.ParamAttr(
name="linear_weight_2",
initializer=paddle.nn.initializer.Assign(weight2),
need_clip=is_clip)
bias_attr_2 = paddle.framework.ParamAttr(
name="linear_bias_2",
initializer=paddle.nn.initializer.Assign(bias2))
weight3 = paddle.randn([hidden_size, 1])
bias3 = paddle.randn([1])
weight_attr_3 = paddle.framework.ParamAttr(
name="linear_weight_3",
initializer=paddle.nn.initializer.Assign(weight3),
need_clip=is_clip)
bias_attr_3 = paddle.framework.ParamAttr(
name="linear_bias_3",
initializer=paddle.nn.initializer.Assign(bias3))
class Net(paddle.nn.Layer):
def __init__(self, input_size, hidden_size):
super(Net, self).__init__()
self.linear1 = paddle.nn.Linear(input_size, hidden_size, weight_attr=weight_attr_1, bias_attr=bias_attr_1)
self.linear2 = paddle.nn.Linear(hidden_size, hidden_size, weight_attr=weight_attr_2, bias_attr=bias_attr_2)
self.linear3 = paddle.nn.Linear(hidden_size, 1, weight_attr=weight_attr_3, bias_attr=bias_attr_3)
# 执行前向计算
def forward(self, inputs):
x = self.linear1(inputs)
x = self.linear2(x)
x = self.linear3(x)
return x
x_data = np.random.randn(total_data, input_size).astype(np.float32)
y_data = x_data + 3 # y和x是线性关系
model = Net(input_size, hidden_size)
clip = paddle.nn.ClipGradByNorm(clip_norm=1.0) # 使用L2范数裁剪
loss_fn = paddle.nn.MSELoss(reduction='mean')
optimizer = paddle.optimizer.SGD(learning_rate=0.01,
parameters=model.parameters(),
grad_clip=clip)
def train():
for t in range(100):
idx = np.random.choice(total_data, batch_size, replace=False)
x = paddle.to_tensor(x_data[idx,:])
label = paddle.to_tensor(y_data[idx,:])
pred = model(x)
loss = loss_fn(pred, y)
loss.backward()
print("step: ", t, " loss: ", loss.numpy())
print("grad: ", model.linear1.weight.grad)
optimizer.step()
optimizer.clear_grad()
train()
未开启梯度裁剪时的部分日志如下，由于linear1层权重加上了一个正值，导致计算出的loss和相应梯度特别大，并且随着迭代进行，放大效应逐渐累积，
loss和模型的linear1层权重的梯度最终达到正无穷大，变为nan。事实上，网络各个隐藏层的权重都在增大。

::

step: 0 loss: [1075.6953]
grad: Tensor(shape=[1, 32], dtype=float32, place=Place(gpu:0), stop_gradient=False,
[[ 87.58383179 , -213.63983154, -187.18667603, 270.64562988,
...]])
step: 1 loss: [5061489.5]
grad: Tensor(shape=[1, 32], dtype=float32, place=Place(gpu:0), stop_gradient=False,
[[206204.28125000, 296019.68750000, 202042.42187500, 511490.68750000,
...]])
step: 2 loss: [7.696129e+22]
grad: Tensor(shape=[1, 32], dtype=float32, place=Place(gpu:0), stop_gradient=False,
[[-421455142072614912. , -6868138415565570048., -7180962118051561472.,
...]])
step: 3 loss: [nan]
grad: Tensor(shape=[1, 32], dtype=float32, place=Place(gpu:0), stop_gradient=False,
[[nan, nan, nan, nan, nan, nan, nan, nan, nan, nan, nan, nan, nan, nan,
...]])

开启梯度裁剪后，loss和梯度先是在较大值波动，随后在第50个迭代步开始逐渐减小，最终收敛到0.5左右。由于步数较多，这里仅展示部分迭代步的loss。

::

step: 58 loss: [2526.2734]
step: 59 loss: [868.17065]
step: 60 loss: [1267.7072]
step: 61 loss: [946.5017]
step: 62 loss: [724.8644]
step: 63 loss: [1962.0408]
step: 64 loss: [1222.3722]
step: 65 loss: [558.1106]
step: 66 loss: [551.43567]
step: 67 loss: [303.76794]
step: 68 loss: [468.32828]
step: 69 loss: [375.83594]
step: 70 loss: [185.24432]
step: 71 loss: [197.81448]
step: 72 loss: [140.78833]
step: 73 loss: [117.3269]
step: 74 loss: [105.33149]
step: 75 loss: [84.65697]
step: 76 loss: [38.56173]
step: 77 loss: [22.293089]
step: 78 loss: [16.846952]
step: 79 loss: [10.066908]
step: 80 loss: [4.902734]
step: 81 loss: [1.679734]
step: 82 loss: [0.86497355]
step: 83 loss: [0.5535265]

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