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困难
2048
第 202 场周赛 Q4
记忆化搜索
动态规划

1553. 吃掉 N 个橘子的最少天数

English Version

题目描述

厨房里总共有 n 个橘子，你决定每一天选择如下方式之一吃这些橘子：

  • 吃掉一个橘子。
  • 如果剩余橘子数 n 能被 2 整除，那么你可以吃掉 n/2 个橘子。
  • 如果剩余橘子数 n 能被 3 整除，那么你可以吃掉 2*(n/3) 个橘子。

每天你只能从以上 3 种方案中选择一种方案。

请你返回吃掉所有 n 个橘子的最少天数。

 

示例 1：

输入：n = 10
输出：4
解释：你总共有 10 个橘子。
第 1 天：吃 1 个橘子，剩余橘子数 10 - 1 = 9。
第 2 天：吃 6 个橘子，剩余橘子数 9 - 2*(9/3) = 9 - 6 = 3。（9 可以被 3 整除）
第 3 天：吃 2 个橘子，剩余橘子数 3 - 2*(3/3) = 3 - 2 = 1。
第 4 天：吃掉最后 1 个橘子，剩余橘子数 1 - 1 = 0。
你需要至少 4 天吃掉 10 个橘子。

示例 2：

输入：n = 6
输出：3
解释：你总共有 6 个橘子。
第 1 天：吃 3 个橘子，剩余橘子数 6 - 6/2 = 6 - 3 = 3。（6 可以被 2 整除）
第 2 天：吃 2 个橘子，剩余橘子数 3 - 2*(3/3) = 3 - 2 = 1。（3 可以被 3 整除）
第 3 天：吃掉剩余 1 个橘子，剩余橘子数 1 - 1 = 0。
你至少需要 3 天吃掉 6 个橘子。

示例 3：

输入：n = 1
输出：1

示例 4：

输入：n = 56
输出：6

 

提示：

  • 1 <= n <= 2*10^9

解法

方法一：记忆化搜索

根据题目描述，对于每个 $n$，我们可以选择三种方式之一：

  1. 将 $n$ 减少 $1$；
  2. 如果 $n$ 能被 $2$ 整除，将 $n$ 的值除以 $2$；
  3. 如果 $n$ 能被 $3$ 整除，将 $n$ 的值除以 $3$。

因此，问题等价于求解通过上述三种方式，将 $n$ 减少到 $0$ 的最少天数。

我们设计一个函数 $dfs(n)$，表示将 $n$ 减少到 $0$ 的最少天数。函数 $dfs(n)$ 的执行过程如下：

  1. 如果 $n &lt; 2$，返回 $n$；
  2. 否则，我们可以先通过 $n \bmod 2$ 次操作 $1$，将 $n$ 减少到 $2$ 的倍数，然后执行操作 $2$，将 $n$ 减少到 $n/2$；我们也可以先通过 $n \bmod 3$ 次操作 $1$，将 $n$ 减少到 $3$ 的倍数，然后执行操作 $3$，将 $n$ 减少到 $n/3$。我们选择上述两种方式中最少的一种，即 $1 + \min(n \bmod 2 + dfs(n/2), n \bmod 3 + dfs(n/3))$。

为了避免重复计算，我们使用记忆化搜索的方法，将已经计算过的 $dfs(n)$ 的值存储在哈希表中。

时间复杂度 $O(\log^2 n)$，空间复杂度 $O(\log^2 n)$。

Python3

class Solution:
    def minDays(self, n: int) -> int:
        @cache
        def dfs(n: int) -> int:
            if n < 2:
                return n
            return 1 + min(n % 2 + dfs(n // 2), n % 3 + dfs(n // 3))

        return dfs(n)

Java

class Solution {
    private Map<Integer, Integer> f = new HashMap<>();

    public int minDays(int n) {
        return dfs(n);
    }

    private int dfs(int n) {
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        if (f.containsKey(n)) {
            return f.get(n);
        }
        int res = 1 + Math.min(n % 2 + dfs(n / 2), n % 3 + dfs(n / 3));
        f.put(n, res);
        return res;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    unordered_map<int, int> f;

    int minDays(int n) {
        return dfs(n);
    }

    int dfs(int n) {
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        if (f.count(n)) {
            return f[n];
        }
        int res = 1 + min(n % 2 + dfs(n / 2), n % 3 + dfs(n / 3));
        f[n] = res;
        return res;
    }
};

Go

func minDays(n int) int {
	f := map[int]int{0: 0, 1: 1}
	var dfs func(int) int
	dfs = func(n int) int {
		if v, ok := f[n]; ok {
			return v
		}
		res := 1 + min(n%2+dfs(n/2), n%3+dfs(n/3))
		f[n] = res
		return res
	}
	return dfs(n)
}

TypeScript

function minDays(n: number): number {
    const f: Record<number, number> = {};
    const dfs = (n: number): number => {
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        if (f[n] !== undefined) {
            return f[n];
        }
        f[n] = 1 + Math.min((n % 2) + dfs((n / 2) | 0), (n % 3) + dfs((n / 3) | 0));
        return f[n];
    };
    return dfs(n);
}