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中等
1293
第 202 场周赛 Q2
数学

1551. 使数组中所有元素相等的最小操作数

English Version

题目描述

存在一个长度为 n 的数组 arr ，其中 arr[i] = (2 * i) + 1 （ 0 <= i < n ）。

一次操作中，你可以选出两个下标，记作 x 和 y （ 0 <= x, y < n ）并使 arr[x] 减去 1 、arr[y] 加上 1 （即 arr[x] -=1 且 arr[y] += 1 ）。最终的目标是使数组中的所有元素都 相等 。题目测试用例将会 保证 ：在执行若干步操作后，数组中的所有元素最终可以全部相等。

给你一个整数 n，即数组的长度。请你返回使数组 arr 中所有元素相等所需的 最小操作数 。

 

示例 1：

输入：n = 3
输出：2
解释：arr = [1, 3, 5]
第一次操作选出 x = 2 和 y = 0，使数组变为 [2, 3, 4]
第二次操作继续选出 x = 2 和 y = 0，数组将会变成 [3, 3, 3]

示例 2：

输入：n = 6
输出：9

 

提示：

  • 1 <= n <= 10^4

解法

方法一：数学

根据题目描述，数组 $arr$ 是一个首项为 $1$，公差为 $2$ 的等差数列。那么数组前 $n$ 项的和为：

$$ \begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \\ &= \frac{n}{2} \times (1 + (2n - 1)) \\ &= n^2 \end{aligned} $$

由于一次操作中，一个数减一，另一个数加一，数组中所有元素的和不变。因此，数组中所有元素相等时，每个元素的值为 $S_n / n = n$。那么，数组中所有元素相等所需的最小操作数为：

$$ \sum_{i=0}{\frac{n}{2}} (n - (2i + 1)) $$

时间复杂度 $O(n)$，其中 $n$ 为数组长度。空间复杂度 $O(1)$。

Python3

class Solution:
    def minOperations(self, n: int) -> int:
        return sum(n - (i << 1 | 1) for i in range(n >> 1))

Java

class Solution {
    public int minOperations(int n) {
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n >> 1; ++i) {
            ans += n - (i << 1 | 1);
        }
        return ans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int minOperations(int n) {
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n >> 1; ++i) {
            ans += n - (i << 1 | 1);
        }
        return ans;
    }
};

Go

func minOperations(n int) (ans int) {
	for i := 0; i < n>>1; i++ {
		ans += n - (i<<1 | 1)
	}
	return
}

TypeScript

function minOperations(n: number): number {
    let ans = 0;
    for (let i = 0; i < n >> 1; ++i) {
        ans += n - ((i << 1) | 1);
    }
    return ans;
}