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2555. 两个线段获得的最多奖品

English Version

题目描述

在 X轴 上有一些奖品。给你一个整数数组 prizePositions ，它按照 非递减 顺序排列，其中 prizePositions[i] 是第 i 件奖品的位置。数轴上一个位置可能会有多件奖品。再给你一个整数 k 。

你可以选择两个端点为整数的线段。每个线段的长度都必须是 k 。你可以获得位置在任一线段上的所有奖品（包括线段的两个端点）。注意，两个线段可能会有相交。

• 比方说 k = 2 ，你可以选择线段 [1, 3] 和 [2, 4] ，你可以获得满足 1 <= prizePositions[i] <= 3 或者 2 <= prizePositions[i] <= 4 的所有奖品 i 。

请你返回在选择两个最优线段的前提下，可以获得的 最多 奖品数目。

 

示例 1：

输入：prizePositions = [1,1,2,2,3,3,5], k = 2
输出：7
解释：这个例子中，你可以选择线段 [1, 3] 和 [3, 5] ，获得 7 个奖品。

示例 2：

输入：prizePositions = [1,2,3,4], k = 0
输出：2
解释：这个例子中，一个选择是选择线段 [3, 3] 和 [4, 4] ，获得 2 个奖品。

 

提示：

• 1 <= prizePositions.length <= 105
• 1 <= prizePositions[i] <= 109
• 0 <= k <= 109
• prizePositions 有序非递减。

解法

方法一：动态规划 + 二分查找

我们定义 $f[i]$ 表示在前 $i$ 个奖品中，选择一个长度为 $k$ 的线段，可以获得的最多奖品数目。初始时 $f[0] = 0$。定义答案变量 $ans = 0$。

接下来，我们枚举每个奖品的位置 $x$，通过二分查找，找到最左边的奖品下标 $j$，使得 $prizePositions[j] \geq x - k$。此时，我们更新答案 $ans = \max(ans, f[j] + i - j)$，并更新 $f[i] = \max(f[i - 1], i - j)$。

最后，返回 $ans$ 即可。

时间复杂度 $O(n \times \log n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为奖品数目。

class Solution:
    def maximizeWin(self, prizePositions: List[int], k: int) -> int:
        n = len(prizePositions)
        f = [0] * (n + 1)
        ans = 0
        for i, x in enumerate(prizePositions, 1):
            j = bisect_left(prizePositions, x - k)
            ans = max(ans, f[j] + i - j)
            f[i] = max(f[i - 1], i - j)
        return ans

class Solution {
    public int maximizeWin(int[] prizePositions, int k) {
        int n = prizePositions.length;
        int[] f = new int[n + 1];
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int x = prizePositions[i - 1];
            int j = search(prizePositions, x - k);
            ans = Math.max(ans, f[j] + i - j);
            f[i] = Math.max(f[i - 1], i - j);
        }
        return ans;
    }

    private int search(int[] nums, int x) {
        int left = 0, right = nums.length;
        while (left < right) {
            int mid = (left + right) >> 1;
            if (nums[mid] >= x) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }
}

class Solution {
public:
    int maximizeWin(vector<int>& prizePositions, int k) {
        int n = prizePositions.size();
        vector<int> f(n + 1);
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int x = prizePositions[i - 1];
            int j = lower_bound(prizePositions.begin(), prizePositions.end(), x - k) - prizePositions.begin();
            ans = max(ans, f[j] + i - j);
            f[i] = max(f[i - 1], i - j);
        }
        return ans;
    }
};

func maximizeWin(prizePositions []int, k int) (ans int) {
	n := len(prizePositions)
	f := make([]int, n+1)
	for i, x := range prizePositions {
		j := sort.Search(n, func(h int) bool { return prizePositions[h] >= x-k })
		ans = max(ans, f[j]+i-j+1)
		f[i+1] = max(f[i], i-j+1)
	}
	return
}

function maximizeWin(prizePositions: number[], k: number): number {
    const n = prizePositions.length;
    const f: number[] = Array(n + 1).fill(0);
    let ans = 0;
    const search = (x: number): number => {
        let left = 0;
        let right = n;
        while (left < right) {
            const mid = (left + right) >> 1;
            if (prizePositions[mid] >= x) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    };
    for (let i = 1; i <= n; ++i) {
        const x = prizePositions[i - 1];
        const j = search(x - k);
        ans = Math.max(ans, f[j] + i - j);
        f[i] = Math.max(f[i - 1], i - j);
    }
    return ans;
}