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1074. 元素和为目标值的子矩阵数量

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题目描述

给出矩阵 matrix 和目标值 target，返回元素总和等于目标值的非空子矩阵的数量。

子矩阵 x1, y1, x2, y2 是满足 x1 <= x <= x2 且 y1 <= y <= y2 的所有单元 matrix[x][y] 的集合。

如果 (x1, y1, x2, y2) 和 (x1', y1', x2', y2') 两个子矩阵中部分坐标不同（如：x1 != x1'），那么这两个子矩阵也不同。

 

示例 1：

输入：matrix = [[0,1,0],[1,1,1],[0,1,0]], target = 0
输出：4
解释：四个只含 0 的 1x1 子矩阵。

示例 2：

输入：matrix = [[1,-1],[-1,1]], target = 0
输出：5
解释：两个 1x2 子矩阵，加上两个 2x1 子矩阵，再加上一个 2x2 子矩阵。

示例 3：

输入：matrix = [[904]], target = 0
输出：0

 

提示：

• 1 <= matrix.length <= 100
• 1 <= matrix[0].length <= 100
• -1000 <= matrix[i] <= 1000
• -10^8 <= target <= 10^8

解法

方法一：枚举上下边界 + 前缀和 + 哈希表

我们可以枚举矩阵的上下边界 $i$ 和 $j$，每次算出当前上下边界内每列的元素和，记为数组 $col$，然后问题就转换为如何在数组 $col$ 中寻找和为目标值 $target$ 的子数组个数。我们累加这些子数组的个数，就是题目要求的答案。

那么题目就变成了：给定一个数组 $nums$ 和目标值 $target$，计算有多少个子数组的和为 $target$，我们可以通过函数 $f(nums, target)$ 来求解。

函数 $f(nums, target)$ 的计算方法如下：

• 定义一个哈希表 $d$，用来记录出现过的前缀和以及其出现次数，初始时 $d[0] = 1$；
• 初始化变量 $s = 0, cnt = 0$，其中 $s$ 表示前缀和，而 $cnt$ 表示和为 $target$ 的子数组个数；
• 从左到右遍历数组 $nums$，对于当前遍历到的元素 $x$，更新前缀和 $s = s + x$，如果 $d[s - target]$ 的值存在，那么更新 $cnt = cnt + d[s - target]$，即子数组个数增加 $d[s - target]$。然后更新哈希表中元素 $d[s]$ 的值，即 $d[s] = d[s] + 1$；继续遍历下一个元素；
• 遍历结束之后，返回子数组个数 $cnt$。

时间复杂度 $O(m^2 \times n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别是矩阵的行数和列数。

class Solution:
    def numSubmatrixSumTarget(self, matrix: List[List[int]], target: int) -> int:
        def f(nums: List[int]) -> int:
            d = defaultdict(int)
            d[0] = 1
            cnt = s = 0
            for x in nums:
                s += x
                cnt += d[s - target]
                d[s] += 1
            return cnt

        m, n = len(matrix), len(matrix[0])
        ans = 0
        for i in range(m):
            col = [0] * n
            for j in range(i, m):
                for k in range(n):
                    col[k] += matrix[j][k]
                ans += f(col)
        return ans

class Solution {
    public int numSubmatrixSumTarget(int[][] matrix, int target) {
        int m = matrix.length, n = matrix[0].length;
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            int[] col = new int[n];
            for (int j = i; j < m; ++j) {
                for (int k = 0; k < n; ++k) {
                    col[k] += matrix[j][k];
                }
                ans += f(col, target);
            }
        }
        return ans;
    }

    private int f(int[] nums, int target) {
        Map<Integer, Integer> d = new HashMap<>();
        d.put(0, 1);
        int s = 0, cnt = 0;
        for (int x : nums) {
            s += x;
            cnt += d.getOrDefault(s - target, 0);
            d.merge(s, 1, Integer::sum);
        }
        return cnt;
    }
}

class Solution {
public:
    int numSubmatrixSumTarget(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            vector<int> col(n);
            for (int j = i; j < m; ++j) {
                for (int k = 0; k < n; ++k) {
                    col[k] += matrix[j][k];
                }
                ans += f(col, target);
            }
        }
        return ans;
    }

    int f(vector<int>& nums, int target) {
        unordered_map<int, int> d{{0, 1}};
        int cnt = 0, s = 0;
        for (int& x : nums) {
            s += x;
            if (d.count(s - target)) {
                cnt += d[s - target];
            }
            ++d[s];
        }
        return cnt;
    }
};

func numSubmatrixSumTarget(matrix [][]int, target int) (ans int) {
	m, n := len(matrix), len(matrix[0])
	for i := 0; i < m; i++ {
		col := make([]int, n)
		for j := i; j < m; j++ {
			for k := 0; k < n; k++ {
				col[k] += matrix[j][k]
			}
			ans += f(col, target)
		}
	}
	return
}

func f(nums []int, target int) (cnt int) {
	d := map[int]int{0: 1}
	s := 0
	for _, x := range nums {
		s += x
		if v, ok := d[s-target]; ok {
			cnt += v
		}
		d[s]++
	}
	return
}

function numSubmatrixSumTarget(matrix: number[][], target: number): number {
    const m = matrix.length;
    const n = matrix[0].length;
    let ans = 0;
    for (let i = 0; i < m; ++i) {
        const col: number[] = new Array(n).fill(0);
        for (let j = i; j < m; ++j) {
            for (let k = 0; k < n; ++k) {
                col[k] += matrix[j][k];
            }
            ans += f(col, target);
        }
    }
    return ans;
}

function f(nums: number[], target: number): number {
    const d: Map<number, number> = new Map();
    d.set(0, 1);
    let cnt = 0;
    let s = 0;
    for (const x of nums) {
        s += x;
        if (d.has(s - target)) {
            cnt += d.get(s - target)!;
        }
        d.set(s, (d.get(s) || 0) + 1);
    }
    return cnt;
}