[Foglio 15] Esercizio 2

[Elia-Belli]

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Per ottenere le basi di $U,V$ riduco a scala le matrici che hanno come colonne i vettori dei rispettivi Span, le riduco a scala e l'indice delle colonne dei pivot ottenute ci indicano i vettori linearmente indipendenti anche delle matrici di partenza:

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ 1 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 2\\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\Rightarrow U=Span((1,1,1,1),(0,1,0,1))$$

$$\begin{pmatrix}2&2&2\\ 1&3&-1\\ -2&-2&-2\\ -1&-3&1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}2&2&2\\ 0&2&-2\\ 0&0&0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\Rightarrow V=Span((2,1,-2,-1),(2,3,-2,-3))$$

Facciamo la stessa cosa per i generatori di $U+V$ (ci conviene usare i vettori delle basi per averne 2 in meno):

$$\begin{pmatrix}1&0&2&2\\ 1&1&1&3\\ 1&0&-2&-2\\ 1&1&-1&-3\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&2&2\\ 0&1&-1&1\\ 0&0&-4&-4\\ 0&0&0&-4\end{pmatrix}\Rightarrow U+V=Span((1,1,1,1),(0,1,0,1),(2,1,-2,-1),(2,3,-2,-3))$$

Dalla cardinalità delle basi osserviamo la dimensione dei sottospazi e dal teorema della dimensione notiamo che $U\cap V=\underline 0$:

$$dim \ (U\cap V)=dim\ U+dim\ V-dim(U+W)=2+2-4=0$$

Quindi i sottospazi $U,V$ sono in somma diretta

[CiottoloMaggico]

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Soluzione Ufficiale