[A-L] (2023/24) Foglio 5 - Esercizio 5

[Elia-Belli]

[CuriousCI]

Si consideri il gruppo $(G, \star)$ e $H, H' \leq G$, verificare che $H_1\cap H_2 = H_I\leq G$. Usando il criterio, basta verificare che $\forall h_1, h_2 \in H_I, h_1 \star h_2^{-1} \in H_I$.

L'intersezione di 2 sottogruppi è un sottogruppo

Presi $h_1, h_2 \in H_I$, si ha che $h_1, h_2$ sono sia in $H_1$ sia in $H_2$ (essendo nell'intersezione), ma, per il punto 2. della definizione di sottogruppo, si ha che $h_2^{-1} \in H_1$ e che $h_2^{-1} \in H_2$, quindi $h_2^{-1} \in H_I$ (dato che sta in entrambi i sottogruppi, sta anche nell'intersezione). Usando il punto 1. della definizione di sottogruppo, si ha che $h_1 \star h_2^{-1} \in H_1$ e che $h_1 \star h_2^{-1} \in H_2$, per cui $h_1 \star h_2^{-1} \in H_I$

L'intersezione di $n$ sottogruppi è un sottogruppo

Si procede per induzione sul numero di sottogruppi. Il caso base $n = 2$ è stato già dimostrato al punto precedente, quindi si può procedere con il passo induttivo.

Sapendo che $\bigcap\limits_{i = 1}^{n} H_i \leq G$ bisogna dimostrare che $\bigcap\limits_{i = 1}^{n + 1} H_i \leq G$ è un sottogruppo, sapendo che $\forall i = 1, 2, ..., n + 1, H_i \leq G$. Si può riscrivere $\bigcap\limits_{i = 1}^{n + 1} H_i$ come $H_L = \bigcap\limits_{i = 1}^{n} H_i, H_R= H_{n + 1}, H_I = H_L \cap H_R$, per cui la dimostrazione è simile al passo base.

Presi $h_1, h_2 \in H_I$, si ha che $h_1, h_2$ sono sia in $H_L$ sia in $H_R$ (essendo nell'intersezione), ma, per il punto 2. della definizione di sottogruppo, si ha che $h_2^{-1} \in H_L$ e che $h_2^{-1} \in H_R$, quindi $h_2^{-1} \in H_I$ (dato che sta in entrambi i sottogruppi, sta anche nell'intersezione). Usando il punto 1. della definizione di sottogruppo, si ha che $h_1 \star h_2^{-1} \in H_L$ e che $h_1 \star h_2^{-1} \in H_R$, per cui $h_1 \star h_2^{-1} \in H_I$

[CiottoloMaggico]

Soluzione alternativa

[CarloDaRomadev]