[A-L] (2023/24) Foglio 5 - Esercizio 2

[Elia-Belli]

[CuriousCI]

1. Si consideri $(\mathbb{Z}, +)$ dato $h \in\mathbb{Z}$, si ha quindi $\langle h \rangle = \{ k\cdot h, k \in \mathbb{Z} \}$, ma $k \cdot h = 0 \iff k = 0 \lor h = 0$ (rispetto alla somma), quindi l'ordine di un qualsiasi $h$ è \infty dato che l'ordine è un numero intero positivo, ma non esiste nessun intero positivo per cui $k \cdot h = 0$, a meno che $h = 0$, caso in cui $o(h) = 1$
2. Si consideri $(\mathbb{Z}_n, +)$, si ha quindi $[1] \in \mathbb{Z}_n$ per cui $\langle [1] \rangle = \{ k \cdot [1], k \in \mathbb{Z} \}$. Per determinare $o([1])$ basta trovare $k$ tale che $1 \cdot k \equiv_n 0 \implies k \equiv_n 0 \implies k \equiv_n n \implies o([1]) = n, [1] \in \mathbb{Z}_n$ (ricordo che 0 è l'elemento neutro rispetto alla somma, non 1)
3. $o(H_d) = k$ dato che $[0] = [n] = k\cdot d$
4. Si consideri $(\mathbb{Z}_15, +)$, per determinare $o([3])$, dato che $\langle [3] \rangle = \{ k \cdot [3], k \in \mathbb{Z} \}$, basta determinare $3k \equiv_{15} 0 \implies k \equiv_{15} 5 \implies o([3]) = 5$. Non bisogna trovare tutte le soluzioni dell'equazione, dato che basta trovare $n$ minimo.

[18xChris]

Convengo con le soluzioni sopra esposte, aggiungo che nel punto 3 la soluzione è k perché n = kd e quindi sommando k volte [d] abbiamo [n]

[CiottoloMaggico]

Analogo @CuriousCI