[A-L] (2023/24) Foglio 1 - Esercizio 4

[Elia-Belli]

[Elia-Belli]

Dimostriamo le 3 proprietà di una relazione di equivalenza:

• Riflessività: per ipotesi e definizione di relazione d'eq. $\forall a \in A, (a,a) \in R_1,R_2$
  $\Rightarrow \forall a \in A, (a,a) \in R_1 \cap R_2$
• Simmetria: per ipotesi e definizione di relazione d'eq:
  $\forall (a,b) \in R_1 \Rightarrow (b,a) \in R_1$
  $\forall (a,b) \in R_2 \Rightarrow (b,a) \in R_2$
  $\Rightarrow (a,b) \in R_1 \cap R_2 \Rightarrow (b,a) \in R_1 \cap R_2$
• Transitività: per ipotesi e definizione di relazione d'eq:
  se $(a,b) \land (b,c) \in R_1 \Rightarrow (a,c) \in R_1$
  se $(a,b) \land (b,c) \in R_2 \Rightarrow (a,c) \in R_2$
  $\Rightarrow (a,b) \land (b,c) \in R_1 \cap R_2 \Rightarrow (a,c) \in R_1 \cap R_2$

[FeddyLix17]

mi trovo completamente in linea con questa dimostrazione, in particolare proporrei le seguenti modifiche
(sostanzialmente aggiungere degli ∀)

⇒ (a, b) ∈ R1 ∩ R2 ⇒ (b, a) ∈ R1 ∩ R2

-  ⇒  (a, b) ∈ R1 ∩ R2 ⇒ (b, a) ∈ R1 ∩ R2
+  ⇒ ∀(a, b) ∈ R1 ∩ R2 ⇒ (b, a) ∈ R1 ∩ R2

se (a, b) ∧ (b, c) ∈ R1 ⇒ (a, c) ∈ R1

- se (a, b) ∧ (b, c) ∈ R1 ⇒ (a, c) ∈ R1
+  ∀ (a, b) ∧ (b, c) ∈ R1 ⇒ (a, c) ∈ R1

se (a, b) ∧ (b, c) ∈ R2 ⇒ (a, c) ∈ R2

- se (a, b) ∧ (b, c) ∈ R2 ⇒ (a, c) ∈ R2
+  ∀ (a, b) ∧ (b, c) ∈ R2 ⇒ (a, c) ∈ R2

(a, b) ∧ (b, c) ∈ R1 ∩ R2 ⇒ (a, c) ∈ R1 ∩ R2

-   (a, b) ∧ (b, c) ∈ R1 ∩ R2 ⇒ (a, c) ∈ R1 ∩ R2
+ ∀ (a, b) ∧ (b, c) ∈ R1 ∩ R2 ⇒ (a, c) ∈ R1 ∩ R2 

[CarloDaRomadev]

@Elia-Belli grazie per la correzione.

così è corretto?

[Frisbon]

Spero sia giusto lmao