[A-L] (2023/24) Foglio 7 - Esercizio 3

[Elia-Belli]

[cornflexxx]

Partiamo dicendo che sicuramente $Id_{\mathbb{Z} _n} \in Aut(\mathbb{Z} _n)$ , ovvero l'applicazione identica da $\mathbb{Z} _n \to \mathbb{Z} _n$. Come già è stato dimostrato un omomorfismo mappa sempre l'elemento neutro nell'elemento neutro, quindi possiamo aspettarci che il gruppo degli automorfismi contenga delle applicazioni che fanno corrispondere i due elementi neutri e poi permutano gli altri elementi. Questi tipi di applicazioni sono suriettive quando fanno corrispondere un generatore ad un altro generatore del gruppo.

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Esempio in $\mathbb{Z} _6$:

Consideriamo un'applicazione $\phi ([1])\to[5]$, sappiamo che questa applicazione è suriettiva perché i soli multipli di $[5]$ ci permettono di mappare tutto $\mathbb{Z} _6$, infatti $[z]\in\mathcal{U}(\mathbb{Z} _n)\Rightarrow$ è un generatore del gruppo. Quindi svolgendo i calcoli dell'intero periodo di $[5]$ otteniamo la seguente mappa:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2& 3& 4& 5&6 \\ 5&4 &3 &2 &1 & 6 \end{bmatrix} $$

Più in generale $\phi$ rappresenta un insieme di endomorfismi suriettivi che mappano un generatore in un altro generatore del gruppo. Quindi sono permutazioni che spostano un elemento $[z]\in\mathbb{Z} _n\to[uz]$, dove $u \in \mathcal{U}(\mathbb{Z} _n)$. In effetti anche l'applicazione identità fa questo passaggio : $Id([z])=[1]\cdot[z]$ con $[1]\in\mathcal{U}(\mathbb{Z} n)$. Quindi in generale tutti gli omomorfismi del tipo $\phi{u}\in Aut(\mathbb{Z} _n)$ con $u\in\mathcal{U}(\mathbb{Z} _n)$. Tali omomorfismi oltre ad essere suriettivi sono anche iniettivi, infatti possiamo verificare che l'elemento neutro ovvero $[0]=[n]$ è l'unico ad essere mappato da $\phi_u$ in se stesso (in tutte le permutazioni che facciamo non viene mai "toccato"), quindi il $Ker\phi_u =$ { $[n]$ }.

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Quindi ad $Aut(\mathbb{Z} _n)$ appartengono tutte le funzioni così definite:

$$\phi_u:\begin{array}{rcl} \mathbb{Z}_n & \longrightarrow & \mathbb{Z}_n \\ \phi([z]) & \longrightarrow & [uz] \end{array}\quad \text{con $u\in\mathcal{U}(\mathbb{Z}_n)$}$$

Ma allora $|Aut(\mathbb{Z} _n)|=|\mathcal{U}(\mathbb{Z}_n)|=\varphi(n)$

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Verifica di $(Aut(\mathbb{Z} _n),\circ)$:

• L'operatore $\circ$ è ben definito infatti: $\phi_u\circ\phi_{u'}([z])=\phi_u([u'z])=[uu'z]$, essendo $u,u',z\in\mathbb{Z}_n\Rightarrow [uu'z]\in\mathbb{Z}_n$
• Per $\circ$ vale la proprietà associativa
• $\phi_u \circ Id([z]) =\phi_u([z])=Id\circ\phi_u([z])$
• $\forall \phi_u\in Aut(\mathbb{Z_n})\quad\exists\quad\phi_{u'}\circ\phi_u([z])=Id([z])$, per dimostrarlo ci basta svolgere l'operazione e notare che : $\phi_{u'}([uz])=[u'uz]$, sappiamo che $u,u'\in\mathcal{U}(\mathbb{Z} _n)$, quindi $u$ ammette un inverso in $\mathbb{Z}_n$.

$(Aut(\mathbb{Z} _n),\circ)$ è abeliano : $\phi_u\circ\phi _{u'}=[uu'g]=[u'ug]=\phi _{u'}\circ\phi_u$ (dovuto al fatto che anche gli interi modulo n rispetto alla somma sono un gruppo commutativo)

[CiottoloMaggico]