Unique Binary Search Tree.txt

problem：
Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3
   
-----------------------------------------------------------------------------------

solution：
定义Count[i] 为以[0,i]能产生的Unique Binary Tree的数目，

如果数组为空，毫无疑问，只有一种BST，即空树，
Count[0] =1

如果数组仅有一个元素{1}，只有一种BST，单个节点
Count[1] = 1

如果数组有两个元素{1,2}， 那么有如下两种可能
1                       2
  \                    /
    2                1
Count[2] = Count[0] * Count[1]   (1为根的情况)
           + Count[1] * Count[0]  (2为根的情况。

再看一遍三个元素的数组，可以发现BST的取值方式如下：
Count[3] = Count[0]*Count[2]  (1为根的情况)
           + Count[1]*Count[1]  (2为根的情况)
           + Count[2]*Count[0]  (3为根的情况)

所以，由此观察，可以得出Count的递推公式为
Count[i] = ∑ Count[0...k] * [ k+1....i]     0<=k<i-1
问题至此划归为一维动态规划。
//numTrees(i+1)=append the last node to the rightmost leaf of bst(i)[numTrees(i)] +
//append the last node as the root of bst(i)[numTrees(i)] +
//insert the last node as non-leaf node sum(k=1...i)(bst(k-1)*bst(i-k)
//卡特兰数（括号化、出栈次数、凸多边形三角划分、给定结点组成二叉树）

int numTrees(int n)
{
	vector<int> bst(n + 1, 0);
	bst[0] = 1;
	bst[1] = 1;
	bst[2] = 2;
	for (int i=3; i<=n; i++) {
		for (int j=0; j<=i-1; j++) {
			bst[i] += bst[j]*bst[i-1-j];
		}
	}
	return bst[n];
}