Longest Palindromic Substring.txt

problem：
Given a string S, find the longest palindromic substring in S. You may assume that the maximum length of S is 1000, and there exists one unique longest palindromic substring.

solution：
思路一：O(n3)
暴力搜索法。枚举出所有的子串（O(n2)），并且依次检查子串是否是回文（O(n)）,所以需要的总时间复杂度是O(n3)

思路二：Time:O(n2),Space:O(n2)
动态规划法。运用回文的性质：F(i,j) = F(i+1,j-1)if s[i] == s[j].其中F(i,j)被定义为子串s[i...j]是否是回文。所以枚举长度从1~N的子串(O(n2))，再判断是否为回文(O(1)).总体时间复杂度O(n2), 空间复杂度O(n2)。注意字符串为空和字符串长度为1时的特殊处理
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string longestPalindrome(string s) 
{
  if(s == "")
		return "";
	else if(s.length() == 1)
		return s;
	bool isPalindrome[1000][1000] = {false};
	int longestBegin = 0;
	int maxLen = 0;
	for(int i = 0; i < s.length(); i++)
	{
		isPalindrome[i][i] = true;
		if(i < s.length() - 1 && s[i] == s[i+1])
		{
			isPalindrome[i][i+1] = true;
			longestBegin = i;
			maxLen = 2;
		}
	}
	for(int len = 3; len <= s.length(); len++)
		for(int i = 0; i < s.length() - len + 1; i++)
		{
			int j = i + len - 1;
			if(s[i] == s[j] && isPalindrome[i+1][j-1])
			{
				isPalindrome[i][j] = true;
				longestBegin = i;
				maxLen = len;
			}
		}

	return s.substr(longestBegin, maxLen);
}


思路三：Time:O(n2),Space:O(1)
考虑到回文是关于其中心对称，所以一个回文可以从它的中心往两边扩散，并且回文串有2N-1个这样的中心（中心或者在任意一个字符或者在任意两个字符的之间）。从中心扩展回文需要时间O(n),所以总的时间复杂度O(n2).
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string expandAroundCenter(string s, int l, int r)
{
	int n = s.length();
	while(l >= 0 && r <= n-1 && s[l] == s[r])
	{
		l--;
		r++;
	}
	return s.substr(l + 1, r- l -1);
}

string longestPalindrome(string s)
{
	int n = s.length();
	if(n == 0)
		return "";
	string longest = s.substr(0,1);
	for(int i = 0; i < n-1; ++i)
	{
		string p1 = expandAroundCenter(s, i, i);
		if(p1.length() > longest.length())
			longest = p1;

		string p2 = expandAroundCenter(s, i, i+1);
		if(p2.length() > longest.length())
			longest = p2;
	}
	return longest;
}