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---
title: "Análisis de Datos Categóricos (SOC3070)"
subtitle: "Clase #8: Regresión Logística"
author: "<br> Mauricio Bucca <br> [github.com/mebucca](https://github.com/mebucca) <br> [email protected]"
date: "`r format(Sys.time(), '%d %B, %Y')`"
output:
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---
class: inverse, center, middle
```{r xaringan-themer, include=FALSE, warning=FALSE}
library(tidyverse)
library(xaringanthemer)
style_duo_accent(primary_color ="#FF2400", secondary_color = "#FFD700",
background_color = "#f8f7f3",
header_font_google = google_font("Archivo"),
text_font_google = google_font("Inconsolata"),
link_color= "#A8C3E6"
)
```
#Modelos Lineales Generalizados (GLM)
---
## Más allá del modelo de regresión lineal (LM)
LM es un marco muy útil y productivo, pero hay situaciones en las que no proporciona una descripción adecuada de los datos. En particular:
<br>
--
- Cuando $y_i$'s no distribuyen normal
--
- Cuando el rango de $y_i$'s está restringido (por ejemplo, binario, recuento)
--
- Cuando la varianza de los $y_i$'s no es independiente de su valor esperado.
<br>
--
.bold[GLM] ofrece un marco mucho más general y flexible que incorpora y amplía el LM para abordar estas cuestiones.
---
## Estructura de los modelos lineales generalizados
Un modelo lineal generalizado tiene cuatro componentes:
.pull-left[
- Un _componente aleatorio_
- Un _componente sistemático_
- Una _función de enlace_ (link).
]
.pull-right[
![nelder](nelder.png)
]
---
## Componente Aleatorio
$$\newcommand{\vect}[1]{\boldsymbol{#1}}$$
El componente aleatorio de un GLM identifica la distribución de probabilidad de la variable dependiente
--
- Mientras que la LM asume que la variable dependiente sigue una distribución normal, GLM abarca un conjunto más amplio de distribuciones, .bold[tanto continuas como discretas], siempre y cuando pertenezcan a la clase más general de la [_familia exponencial de distribuciones_](https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_family).
<br>
--
.center[
![Some distributions of the exponential family and their relationship](expo_fam.png)
]
---
## Componente Sistemático
El componente sistemático de un GLM especifica las variables explicativas, es decir, las $x$'s en el lado derecho de la ecuación
<br>
.content-box-primary[
$$\color{white}{\eta_{i} = \beta_{0} + \beta_{1} x_{i1} + \dots + \beta_{k} x_{ik}}$$
]
<br><br>
--
- En terminología GLM $\eta$ se denomina .bold[predictor lineal].
--
- $\eta$ es lineal "en parámetros": no vamos a encontrar términos del tipo $\beta_{0}*\beta_{1}$ o $\beta_{1}^{\beta_{0}}$.
--
- pero puede ser no lineal "en variables" (por ejemplo, interacciones, términos cuadrados, etc.): $\beta_{1}x_{1} + \beta_{2}x_{1}^2$
---
## Función de enlace (link)
En el .bold[LM estándar], la media condicional del resultado $\mu_{i}$ está linealmente relacionada con los predictores del modelo.
$$\underbrace{\mathbb{E}(y_{i} \mid x_{1}, \dots x_{k} )}_{\mu_{i}} = \underbrace{\beta_{0} + \beta_{1} x_{i1} + \dots + \beta_{k} x_{ik}}_{\eta_{i}}$$
<br>
--
- .bold[GLM] permiten una relación más general y flexible: en un GLM el componente sistemático $\eta_{i}$ debe estar relacionado linealmente con una función $g(\cdot)$ de $\mu_{i}$. Dicha función se denomina *función de enlace*. Formalmente,
.content-box-primary[
$$\color{white}{g\Big(\mathbb{E}(y_{i} \mid x_{1}, \dots x_{k})\Big) = g(\mu_{i}) = \eta_{i}}$$]
--
- Ejemplo, si $g(\cdot) = \ln(\cdot)$, entonces $\ln \mu_{i} = \eta_{i}$
- La _función de enlace_ cumple un objetivo importante: mantener $\mu_{i}$ dentro de su rango natural.
- Ejemplo: si $y_{i}$ es estrictamente positivo (ingreso), $\eta_{i} \in (-\infty, \infty+)$ pero $\mu_{i} = e^{\eta_{i}} \in (0, \infty+)$
---
## Función de Enlace (link)
<br>
Más allá de este ejemplo, hay una variedad de posibles funciones de enlace:
<br>
.center[![Some commonly used link functions](link_fn.png)]
---
class: inverse, middle
# .......... Definiendo un GLM .....
.img-right[![mizer](mixer.png)]
---
## Definiendo un GLM
La estructura básica de un GLM se especifica mediante la elección de dos componentes: (1) .bold[componente sistemático] (la distribución de la variable dependiente ) y (2) la .bold[función de enlace].
<br>
\begin{align}
GLM:
\begin{cases}
&y_{i} \sim f(\mu_{i},\sigma_{i}) \\ \\
& g(\mu_{i}) = \eta_{i}
\end{cases}
\end{align}
<br>
--
Cualquier combinación de estos componentes definirá un GLM diferente. Algunas de estas combinaciones son especialmente relevantes:
| Distribution | Canonical Link: $\eta = g(\mu)$ | Link name | Model name |
| ----------------- | ------------------ | --------------------- | -------------------- |
| Normal (Gaussian) | $\eta = \mu$ | identity | Standard regression |
| Poisson | $\eta = \log(\mu)$ | logarithm | Poisson regression |
| Bernoulli / Binomial | $\eta = \log(\mu/(1-\mu))$ | logit | Logistic regression |
| Gamma | $\eta = (1/\mu)$ | reciprocal | Gamma regression |
---
class: inverse, center, middle
#Regresión Logística
---
## Estructura de un modelo de regresión logística
Podemos pensar en un modelo de regresión logística de la siguiente forma:
<br>
--
.bold[Configuración]
- Tenemos $n$ observaciones (individuos) independientes: $i = 1, \dots, n$
--
- Para cada observación observamos datos $y_{i}, \dots , y_{n}$ que actuan como variable dependiente, donde $y_{i} \in \{0,1\}$
--
- Asumimos que estos datos son realizaciones de $n$ variables aleatorias Bernoulli con probabilidades desconocidas: $Y_{i} \sim \text{Bernoulli}(p_{i})$
- Alternativamente, recuento de éxitos puede tratarse como una variable Binomial.
--
- Asumimos que dichas probabilidades pueden variar de individuo en individuo.
- Un modelo con un $p_{i}$ para cada observación $i$ es un modelo "just-identified" (o saturado). Posible, pero no es un "modelo".
---
## Estructura de un modelo de regresión logística
Formalmente,
$$Y_{i} \sim \text{Bernoulli}(p_{i})$$
es decir
$$\quad \mathbb{P}(Y_{i}= y) = p_{i}^{y}(1-p_{i})^{1-y} \quad \text{ donde } \quad y \in \{0,1\}$$
<br>
<br>
--
La pregunta es: ¿como estimamos $p_{i}$ de tal manera que ... ?
<br>
--
- Describamos $p_{i}$ con un número de parámetros $k<n$
--
- $\hat{p}_{i} \in [0,1]$
---
## Estructura de un modelo de regresión logística
El modelo de regresión logística aborda este problema de la siguiente manera:
.content-box-blue[
$$p_{i} = \frac{e^{\eta_{i}}}{1 + e^{\eta_{i}}} \quad \quad \text{donde} \quad \quad \eta_{i} = \beta_{0} + \beta_{1}x_{1i} + \dots + \beta_{k}x_{ki}$$
]
<br>
--
.bold[Importante] notar que:
--
- Esta función (llamada *sigmoide*) tiene la propiedad clave de estar restringida al intervalo $[0, 1]$.
- $e^{\eta_{i}} > 0$, de tal manera que el numerador es siempre menor que el denominador. Por lo tanto, $0 < p_{i} <1$.
--
- $x_{1} \dots x_{k}$ son predictores o variables independientes
--
- $\beta_{1} \dots \beta_{k}$ son los respectivos "efectos" de los predictores sobre $\eta_{i}$
--
- $p_{i}$ .bold[no está relacionado linealmente] con sus predictores
---
## Estructura de un modelo de regresión logística
Sin embargo, $\eta_{i} = \beta_{0} + \beta_{1}x_{1i} + \dots + \beta_{k}x_{ki}$ si es una función lineal de los predictores.
--
Por tanto, es conveniente expresar $\eta$ en función de $p$ ...
--
Paso a paso:
.img-right[
![mostaza](mostaza-merlo.jpg)
]
--
$p_{i} = \frac{e^{\eta_{i}}}{1 + e^{\eta_{i}}} = \frac{1}{e^{- \eta_{i}} + 1}$
--
$e^{-\eta_{i}} + 1 = \frac{1}{p_{i}}$
--
$e^{- \eta_{i}} = \frac{1}{p_{i}} - 1 = \frac{1 - p_{i}}{p_{i}}$
--
$e^{\eta_{i}} = \frac{p_{i}}{1 - p_{i}}$
--
$\eta_{i} = \ln \frac{p_{i}}{1 - p_{i}} \quad \quad$
--
es decir, el log de las odds o log-odds
--
.content-box-yellow[
$$\text{Por tanto} \quad \quad \ln \frac{p_{i}}{1 - p_{i}} = \eta_{i} = \beta_{0} + \beta_{1}x_{1i} + \dots + \beta_{k}x_{ki}$$
]
---
## Estructura de un modelo de regresión logística
```{r, include=TRUE, echo=FALSE, warning=FALSE, message=FALSE, fig.height=8, fig.width=12}
library("tidyverse")
library("cowplot")
theme_set(theme_cowplot())
units <- tibble(p = seq(from=0, to=1, by=0.01)) %>% mutate(odd = p/(1-p)) %>%
mutate(log_odd = log(odd))
# p to odds
p = 0.75
o = p/(1-p)
q = 1-p
inv_o = q/(1-q)
log_o <- log(o)
log_inv_o <- log(inv_o)
# p to log odds
positions_v1 <- data.frame(x1 =log_o, x2 =log_o, y1 =0 , y2=p )
positions_h1 <- data.frame(x1 =-Inf, x2 =log_o, y1=p , y2=p )
positions_v2 <- data.frame(x1 =log_inv_o , x2 =log_inv_o , y1 =0 , y2=q )
positions_h2 <- data.frame(x1 =-Inf , x2 =log_inv_o , y1 =q , y2=q )
logodd_p <- units %>% ggplot(aes(x=log_odd, y=p, colour="")) + geom_line(size=1.5) +
scale_color_viridis_d() +
xlim(-8,8) +
geom_segment(aes(x = x1, y = y1, xend = x2, yend = y2, colour="-"), data = positions_v1, size=1.5) +
geom_segment(aes(x = x1, y = y1, xend = x2, yend = y2, colour="-"), data = positions_h1, size=1.5) +
geom_segment(aes(x = x1, y = y1, xend = x2, yend = y2, colour="-"), data = positions_v2, size=1.5) +
geom_segment(aes(x = x1, y = y1, xend = x2, yend = y2, colour="-"), data = positions_h2, size=1.5) +
annotate(geom="text", x=-3.8, y=0.28, label='bold("(log-odd=-1.1,p=0.25)")', color="black", parse=TRUE, size=8) +
annotate(geom="text", x=4, y=0.78, label='bold("(log-odd=1.1,p=0.75)")', color="black", parse=TRUE, size=8) +
labs(title = "Log-odd a probability", y="p", x="ln p/(1-p)") +
guides(fill=FALSE, color=FALSE) +
theme(axis.text.y = element_text(size = 22), axis.text.x = element_text(size = 22),
axis.title.y = element_text(size = 24), axis.title.x = element_text(size = 24),
legend.text = element_text(size = 18), legend.position="none")
print(logodd_p)
```
---
## Regresión Logística es un tipo de GLM
Regresión Logística es un GLM con componente aleatorio .bold[Bernoulli/Binomial] y función de enlace .bold[logit].
<br>
--
- Componente aleatorio: $y_{1}, \dots y_{n}$ son $n$ variables independientes con distribución $\text{Bernoulli}(p_{i})$
- donde $p_{i} \equiv \mu_{i}$
--
- Función de enlace: $\text{logit}(x) = \ln \frac{x}{1 - x}$
--
- Componente sistemático: $\ln \frac{p_{i}}{1 - p_{i}} = \eta_{i} = \beta_{0} + \beta_{1} x_{i1} + \dots + \beta_{k} x_{ik}$
--
- Función media: $p_{i} = \text{logit}^{-1}(\eta_{i}) = \frac{e^{\eta_{i}}}{1 + e^{\eta_{i}}}$
---
## Regresión Logística es un tipo de GLM
- Varianza $\mathbb{Var}(y_{i}) = \phi V(p_{i}), \quad$
--
$\text{donde} \quad V(p_{i})= \frac{dp_{i}}{d\eta_{i}}$.
--
- $\eta_{i} = \ln \frac{p_{i}}{1 - p_{i}} = \ln(p_{i}) - \ln(1 - p_{i})$
--
- $\frac{d \eta_{i}}{d p_{i}} = \frac{1}{p_{i}} + \frac{1}{1 - p_{i}} = \frac{1}{p_{i}(1 - p_{i})}$
--
- $\frac{d p_{i}}{d \eta_{i}} = p_{i}(1 - p_{i})$
--
Por tanto, $\mathbb{Var}(y_{i}) = \phi V(p_{i}) = \phi p_{i}(1 - p_{i})$, con $\phi=1$
<br>
En resumen, en un modelo de regresión logística
.content-box-blue[
$$y_{i} \sim \text{Bernoulli}\Bigg(p_{i} = \frac{e^{\eta_{i}}}{1 + e^{\eta_{i}}}\Bigg)$$
]
---
## Regresión Logística en la práctica
Para ejemplificar el uso de regresión logística continuaremos trabajando con los datos de infidelidad.
```{r, include=TRUE, echo=FALSE, warning=FALSE, message=FALSE}
# load data on extra-marital affairs from package "Ecdat"
library("Ecdat")
library("viridis")
library("modelr")
data(Fair)
affairsdata <- Fair %>% as_tibble()
# create a binary variable indicating wether persons has ever had an affair
affairsdata <- affairsdata %>%
mutate(everaffair = case_when(nbaffairs == 0 ~ "Never", nbaffairs > 0 ~ "At least once") ) %>%
# map into 0/1 code
mutate(everaffair_d = case_when(nbaffairs == 0 ~ 0, nbaffairs > 0 ~ 1))
# display the data as a tibble
affairsdata %>% arrange(age) %>% select(-occupation) %>% tail(15)
```
---
## Regresión Logística en la práctica
Ajustaremos el siguiente modelo: $\text{logit(everaffair}_{i}) = \beta_{0} + \beta_{1}*\text{rate}_{i}$, que modela el log de la odd de tener un affair como función de la auto-evaluación del matrimonio, desde 1 (muy infeliz) a 5 (muy feliz).
```{r}
logit_affairs_rate <- glm(everaffair_d ~ rate, family=binomial(link="logit"), data=affairsdata); summary(logit_affairs_rate)
```
---
## Regresión Logística en la práctica
.pull-left[
```{r, echo=FALSE}
p_mu <- affairsdata %>% with(mean(everaffair_d,na.rm=TRUE))
b0 <- logit_affairs_rate$coefficients[1]
b1 <- logit_affairs_rate$coefficients[2]
# plot the result
grid <- affairsdata %>%data_grid(rate,.model=logit_affairs_rate)
predictions <- cbind(grid,logit_hat = predict(logit_affairs_rate, newdata = grid)) %>%
mutate(p_hat= 1/(1 + exp(-logit_hat)))
affairsdata %>% ggplot(aes(x=rate, y=everaffair_d, group=1, colour=1)) +
stat_function(fun = function(.x) b0 + b1*.x, alpha = 0.5, size=1.5) +
geom_hline(yintercept = b0 + b1*1, linetype="dotted", color = "blue", alpha=0.5, size=1.5) +
geom_hline(yintercept = b0 + b1*5, linetype="dotted", color = "blue", alpha=0.5, size=1.5) +
geom_line(data=predictions, aes(x=rate, y=logit_hat, group=3, colour=3), size=2, alpha = 1) +
xlim(-6,12) +
scale_color_viridis() + scale_fill_viridis() +
guides(fill=FALSE, color=FALSE) +
theme(axis.text.y = element_text(size = 22), axis.text.x = element_text(size = 22),
axis.title.y = element_text(size = 24), axis.title.x = element_text(size = 24),
legend.text = element_text(size = 18), legend.position="none") +
labs(x="rate marriage", y="logit(Affair)") +
annotate('text', x = 3.7, y = 0.8, label = "beta[1]==-0.51", parse = TRUE, size=8)
```
]
--
.pull-right[
```{r, echo=FALSE}
affairsdata %>% ggplot(aes(x=rate, y=everaffair_d, group=1, colour=1)) +
stat_function(fun = function(.x) 1/(1 + exp(-(b0 + b1*.x))), alpha = 0.5, size=1.5) +
geom_hline(yintercept = 1/(1 + exp(-(b0 + b1*1))), linetype="dotted", color = "blue", alpha=0.5, size=1.5) +
geom_hline(yintercept = 1/(1 + exp(-(b0 + b1*5))), linetype="dotted", color = "blue", alpha=0.5, size=1.5) +
geom_line(data=predictions, aes(x=rate, y=p_hat, group=3, colour=3), size=2, alpha = 1) +
xlim(-6,12) +
scale_color_viridis() + scale_fill_viridis() +
guides(fill=FALSE, color=FALSE) +
theme(axis.text.y = element_text(size = 22), axis.text.x = element_text(size = 22),
axis.title.y = element_text(size = 24), axis.title.x = element_text(size = 24),
legend.text = element_text(size = 18), legend.position="none") +
labs(x="rate marriage", y="P(Affair)")
```
]
---
class: inverse, center, middle
## Estimación (MLE)
---
## Estimación (MLE)
Retomando nuestro ejemplo anterior,
.pull-left[
```{r, echo=FALSE}
logit_affairs_rate <- glm(everaffair_d ~ rate, family=binomial(link="logit"), data=affairsdata); summary(logit_affairs_rate)
```
]
--
.pull-right[
.bold[¿De donde vienen estos números?]
]
---
## Estimación (MLE)
Recordar que cada observación es una manifestación de una variable Bernoulli:
--
$Y_{i} \sim \text{Bernoulli}(p_{i}) \quad \text{ es decir } \quad \mathbb{P}(Y_{i}= y) = p_{i}^{y}(1-p_{i})^{1-y} \quad \text{ donde } \quad y \in \{0,1\}$
--
Por tanto, la probabilidad de observar estos datos es descrita por la siguiente función:
$$\mathbb{P}(y_{1}, \dots, y_{1}) = \Pi_{i=1}^{n} p_{i}^{y_{i}}(1-p_{i})^{1-y_{i}}$$
<br>
--
En consecuencia, la .bold[likelihood function] de $p_{i}$ es:
$$\mathcal{L}(p_{i} \mid y_{1}, \dots, y_{1}) = \Pi_{i=1}^{n} p_{i}^{y_{i}}(1-p_{i})^{1-y_{i}}$$
--
y la .bold[log likelihood function] de $p_{i}$ es:
$$\ell\ell(p_{i} \mid y_{1}, \dots, y_{1}) = \sum_{i=1}^{n} \bigg( y_{i} \ln p_{i} + (1-y_{i}) \ln(1-p_{i}) \bigg)$$
---
## Estimación (MLE)
La .bold[log likelihood function] de $p$ es:
$$\ell\ell(p_{i} \mid y_{1}, \dots, y_{1}) = \sum_{i=1}^{n} \bigg( y_{i} \ln p_{i} + (1-y_{i}) \ln(1-p_{i}) \bigg)$$
--
Pero no estamos estimando $p_{i}$ directamente, sino que lo modelamos como un función de otros predictores.
--
específicamente: $p_{i} =\frac{1}{1 + e^{-(\beta_{0} + \beta_{1}\text{rate}_{i}})}$
--
por tanto,
$$\ell\ell(\beta_{0},\beta_{1} \mid y_{1}, \dots, y_{1}) = \sum_{i=1}^{n} \bigg( y_{i} \ln \frac{1}{1 + e^{-(\beta_{0} + \beta_{1}\text{rate}_{i})}} + (1-y_{i}) \ln(1-\frac{1}{1 + e^{-(\beta_{0} + \beta_{1}\text{rate}_{i})}}) \bigg)$$
En definitiva, nuestros MLE son:
$$\hat{\beta_{0}},\hat{\beta_{1}} = \underset{\beta_{0},\beta_{1}}{\arg\max\ } \sum_{i=1}^{n} \bigg( y_{i} \ln \frac{1}{1 + e^{-(\beta_{0} + \beta_{1}\text{rate}_{i})}} + (1-y_{i}) \ln(1-\frac{1}{1 + e^{-(\beta_{0} + \beta_{1}\text{rate}_{i})}}) \bigg)$$
---
## Estimación (MLE)
- No hay solución analítica (en general) para esta maximización. Típicamente se usa Fisher’s Scoring Method (un algoritmo de búsqueda) para obtener los MLE.
- Para ejemplificar podemos implementar una optimización numérica simple e ineficiente para buscar los MLE.
--
Para acelerar la búsqueda usaremos valores en la proximidad de las estimaciones reportadas arriba (que normalmente no conoceríamos):
.bold[Implentación en] `R`:
```{r, include=TRUE, echo=TRUE, warning=FALSE, message=FALSE}
ll <- function(b0,b1) {
y = affairsdata$everaffair_d
eta = b0 + b1*affairsdata$rate
ell = sum( y*log(1/(1 + exp(-eta))) + (1-y)*log(1 - (1/(1 + exp(-eta)))))
return(ll = ell)
}
```
--
```{r}
ll(b0=0,b1=0); ll(b0=-1,b1=2)
```
---
## Estimación (MLE)
.bold[Implentación en] `R`:
```{r, include=TRUE, echo=TRUE, warning=FALSE, message=FALSE}
# Evaluar la log-likelihood function para muchas combinaciones de posibles valores de b0 y b1
parameter_space <- expand.grid(beta0 = seq(-1,1,length.out=500), beta1 = seq(-1,1,length.out=500)) %>%
rowwise() %>% mutate(loglik = ll(beta0,beta1))
# Encuentra el par de valores b0,b1 que dan el mayor valor para la log-likelihood function
m <- parameter_space %>% as.matrix()
m[which.max(m[,3]),]
```
---
## Estimación (MLE)
.pull-left[
```{r, include=TRUE, echo=FALSE, warning=FALSE, message=FALSE}
# Plot all LL values
parameter_space %>% as.data.frame() %>% ggplot(aes(x=beta0, y=beta1, z = loglik)) + geom_contour(bins = 700) + geom_contour_filled(bins = 500, alpha=0.75) +
geom_point(aes(x=m[which.max(m[,3]),1], m[which.max(m[,3]),2]), size=1.5) +
guides(fill=FALSE, color=FALSE) + labs(x=quote(beta[0]), y=quote(beta[1])) +
annotate(geom="text", x=0.56, y=-0.63, label='bold("(0.83,-0.51)")', color="black", parse=TRUE, size=6) +
theme(axis.text.y = element_text(size = 22), axis.text.x = element_text(size = 22),
axis.title.y = element_text(size = 24), axis.title.x = element_text(size = 24),
legend.text = element_text(size = 18), legend.position="none")
```
]
--
.pull-right[
```{r, include=TRUE, echo=FALSE, warning=FALSE, message=FALSE}
summary(logit_affairs_rate)
```
]
---
class: inverse, center, middle
.huge[
**Hasta la próxima clase. Gracias!**
]
<br>
Mauricio Bucca <br>
https://mebucca.github.io/ <br>
github.com/mebucca