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// manage active state of menu based on current page
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// mark it active
menuAnchor.parent().addClass('active');
// if it's got a parent navbar menu mark it active as well
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<!-- tabsets -->
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border-right: 1px solid #ddd;
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content: "";
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.tabset-dropdown > .nav-tabs.nav-tabs-open:before {
content: "";
font-family: 'Glyphicons Halflings';
display: inline-block;
padding: 10px;
border-right: 1px solid #ddd;
}
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li.active {
display: block;
}
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a,
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a:focus,
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a:hover {
border: none;
display: inline-block;
border-radius: 4px;
}
.tabset-dropdown > .nav-tabs.nav-tabs-open > li {
display: block;
float: none;
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.tabset-dropdown > .nav-tabs > li {
display: none;
}
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<!-- code folding -->
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Papel da Estatistica no desenvolvimento científico
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Conceitos iniciais
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<li>
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Introdução a métodos de amostragem
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</li>
<li class="divider"></li>
<li class="dropdown-header">Análise exploratória de dados</li>
<li>
<a href="npest2_1.html">
<span class="fa fa-arrow-right"></span>
Parte 1
</a>
</li>
<li>
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Parte 2
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<li class="dropdown-header">Probabilidade e variáveis aleatórias</li>
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Probabilidade
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Variáveis aleatórias discretas
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Variáveis aleatórias contínuas
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<li class="dropdown-header">Inferência</li>
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Parte 1
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</li>
<li>
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Parte 2
</a>
</li>
<li class="divider"></li>
<li>
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Tópicos interessantes não abordados
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</ul>
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<tr>
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</td>
<td align="left" valign="top">
<div class="header">
<h4 style="font-size: 20px; margin: 10px auto 0 10px">
Noções de Probabilidade e Estatística
</h4>
<h5 style="margin: 0px 0px 10px 10px">
<a href="https://lineu96.github.io/st/">
<code>Lineu Alberto</code>
</a>
</h5>
</div>
</td>
</tr>
</table>
<div class="fluid-row" id="header">
</div>
<hr />
<font size="5">
<p align=”center”>
<b> Parte 6.2 - Inferência </b>
</center>
<p></font></p>
<font size="5">
<p align=”center”>
<b> Estimação por intervalo e testes de hipótese </b>
</center>
<p></font></p>
<hr />
<div id="estimacao-por-intervalo" class="section level1 tabset tabset-fade">
<h1><span class="header-section-number">1</span> <strong>Estimação por intervalo</strong></h1>
<p>Quando estimamos um parâmetro podemos ter estimativas pontuais, isto é, um único valor numérico para o parâmetro de interesse ou estimativas intervalares, isto é, um intervalo de possíveis valores para o parâmetro de interesse.</p>
<p>Por serem variáveis aleatórias, as estatísticas têm distribuição de probabilidade, são as chamadas distribuições amostrais, e os intervalos de confiança são obtidos a partir destas distribuições.</p>
<p>O intervalo de confiança é uma estimativa mais informativa pois, aliada à estimativa pontual, nos fornece informação quanto a precisão do valor observado.</p>
<p>Interpretação:</p>
<ol style="list-style-type: decimal">
<li><p>“<strong>Temos <span class="math inline">\(\gamma\)</span> % de confiança de que o intervalo entre (limite inferior) e (limite superior) realmente contém o parâmetro</strong>”.</p></li>
<li><p>“<strong>Se obtivermos várias amostras de mesmo tamanho e, para cada uma delas, calcularmos os correspondentes intervalos de confiança com coeficiente de confiança <span class="math inline">\(\gamma\)</span>, esperamos que a proporção de intervalos que contenham o valor do parâmetro seja igual a <span class="math inline">\(\gamma\)</span>.</strong>”</p></li>
</ol>
<p>Lembre-se: <strong>o parâmetro é fixo</strong>, contudo <strong>diferentes amostras levam a diferentes intervalos</strong>. Por isso esperamos que o <strong>intervalo contenha o parâmetro</strong> e não que o parâmetro esteja contido no intervalo.</p>
<hr />
<div id="intervalos-de-confianca-para-mu-com-sigma-conhecido" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">1.1</span> Intervalos de confiança para <span class="math inline">\(\mu\)</span>, com <span class="math inline">\(\sigma\)</span> conhecido</h2>
<p>O TCL permite a obtenção de intervalos de confiança para <span class="math inline">\(\mu\)</span>, mesmo quando a distribuição das variáveis aleatórias que constituem a amostra não seguem distribuição Normal. Neste caso, o intervalo terá coeficiente de confiança aproximadamente <span class="math inline">\(\gamma\)</span>, e esta aproximação melhora conforme se aumenta o tamanho amostral.</p>
<p>Se:</p>
<ul>
<li>Temos uma amostra aleatória simples.</li>
<li><span class="math inline">\(\sigma\)</span> é conhecido.</li>
<li>A população segue distribuição normal ou n > 30.</li>
</ul>
<p>Então:</p>
<ul>
<li>Determine o nível de confiança <span class="math inline">\(\gamma\)</span>.</li>
<li>Encontre o valor crítico <span class="math inline">\(z_{\gamma/2}\)</span>.</li>
<li>Calcule a margem de erro <span class="math inline">\(e = z_{\gamma/2} . \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)</span>.</li>
</ul>
<p>O intervalo de confiança para <span class="math inline">\(\mu\)</span>, com coeficiente de confiança <span class="math inline">\(\gamma\)</span> é dado por:</p>
<p><span class="math display">\[IC = \bar{x} \pm z_{\gamma/2}\left ( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right )\]</span></p>
<hr />
</div>
<div id="intervalos-de-confianca-para-mu-com-sigma-desconhecido" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">1.2</span> Intervalos de confiança para <span class="math inline">\(\mu\)</span>, com <span class="math inline">\(\sigma\)</span> desconhecido</h2>
<p>Na maioria das situações práticas, não sabemos o verdadeiro valor do desvio padrão populacional <span class="math inline">\(\sigma\)</span> e por isso, ao invés de utilizar a distribuição Normal, usa-se a <strong>t de Student</strong>. Esta distribuição possui caudas mais pesadas que a Normal, fazendo com que a incerteza a respeito da variabilidade seja incorporada no intervalo de confiança.</p>
<p>Se:</p>
<ul>
<li>Temos uma amostra aleatória simples.</li>
<li><span class="math inline">\(\sigma\)</span> é DESconhecido, mas temos uma estimativa <span class="math inline">\(s\)</span>.</li>
<li>A população segue distribuição normal ou n > 30.</li>
</ul>
<p>Então:</p>
<ul>
<li>Determine o nível de confiança <span class="math inline">\(\gamma\)</span>.</li>
<li>Encontre o valor crítico <span class="math inline">\(t_{\gamma/2}\)</span>.</li>
<li>Calcule a margem de erro <span class="math inline">\(e = t_{\gamma/2} . \frac{s}{\sqrt{n}}\)</span>.</li>
</ul>
<p>O intervalo de confiança para <span class="math inline">\(\mu\)</span>, com coeficiente de confiança <span class="math inline">\(\gamma\)</span> é dado por:</p>
<p><span class="math display">\[IC = \bar{x} \pm t_{\gamma/2}\left ( \frac{s}{\sqrt{n}} \right )\]</span></p>
<hr />
</div>
<div id="intervalo-de-confianca-para-a-proporcao-p" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">1.3</span> Intervalo de confiança para a proporção <span class="math inline">\(p\)</span></h2>
<p>O procedimento para obtenção de um intervalo de confiança para a proporção é:</p>
<p>Se:</p>
<ul>
<li>Temos uma amostra aleatória simples.</li>
<li>As condições para a distribuição binomial são satisfeitas:
<ul>
<li>As tentativas são independentes.</li>
<li>Há duas categorias de resultado (“sucesso”, “fracasso”).</li>
<li>A probabilidade de sucesso <span class="math inline">\(p\)</span> permanece constante.</li>
</ul></li>
<li>A distribuição Normal pode ser usada como aproximação para a distribuição binomial, ou seja, <span class="math inline">\(np ≥ 5\)</span> e <span class="math inline">\(np(1 − p) ≥ 5\)</span>.</li>
</ul>
<p>Então:</p>
<ul>
<li>Determine o nível de confiança <span class="math inline">\(\gamma\)</span>.</li>
<li>Encontre o valor crítico <span class="math inline">\(z_{\gamma/2}\)</span>.</li>
<li>Calcule a margem de erro <span class="math inline">\(e = z_{\gamma/2} . \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)</span>.</li>
</ul>
<p>O intervalo de confiança para <span class="math inline">\(p\)</span>, com coeficiente de confiança <span class="math inline">\(\gamma\)</span> é dado por:</p>
<p><span class="math display">\[IC = \hat{p} \pm z_{\gamma/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\]</span></p>
<p>Contudo, note que dentro da raiz na expressão do intervalo de confiança, há a quantidade <span class="math inline">\(p\)</span>, que é desconhecida. Duas abordagens são válidas:</p>
<ul>
<li>Substituir <span class="math inline">\(p\)</span> por <span class="math inline">\(\hat{p}\)</span>.</li>
<li>Substituir <span class="math inline">\(p\)</span> por <span class="math inline">\(1/4\)</span>, considerando que a expressão <span class="math inline">\(p(1-p)\)</span> tem valor máximo igual a <span class="math inline">\(1/4\)</span> quando <span class="math inline">\(0\leq p \leq 1\)</span>.</li>
</ul>
<p>A primeira alternativa é considerada <strong>otimista</strong>, pois considera que a estimativa <span class="math inline">\(\hat{p}\)</span> é suficientemente próxima da verdadeira proporção <span class="math inline">\(p\)</span>. Enquanto que a segunda alternativa é considerada <strong>conservadora</strong>, pois considera o pior cenário possível, fazendo com que o intervalo de confiança fique maior.</p>
<hr />
</div>
</div>
<div id="teste-de-hipoteses" class="section level1">
<h1><span class="header-section-number">2</span> <strong>Teste de hipóteses</strong></h1>
<p>Os principais objetivos da Inferência Estatística são estimar parâmetros populacionais (por meio de estimativas pontuais e intervalares) e testar hipóteses sobre estes parâmetros.</p>
<p>Uma <strong>hipótese</strong> é uma afirmativa sobre uma propriedade da população e um <strong>teste de hipótese</strong> é o procedimento pelo qual se verifica esta propriedade.</p>
<p>Em geral, enunciamos uma hipótese <strong>nula</strong> e uma <strong>alternativa</strong> de forma que:</p>
<ul>
<li><span class="math inline">\(H_{0}\)</span>: Hipótese de <strong>igualdade</strong>. Afirma-se que o valor do parâmetro é igual a algum valor especificado.</li>
<li><span class="math inline">\(H_{1}\)</span>: Hipótese de <strong>diferença</strong>. Afirma-se que o valor do parâmetro é apenas maior, ou apenas menor, ou ainda apenas diferente daquele que foi enunciado na hipótese nula.</li>
</ul>
<p>As hipóteses, considerando <span class="math inline">\(\theta\)</span> um parâmetro de interesse, podem ser:</p>
<center>
<table>
<tr>
<td>
<span class="math display">\[
\left\{\begin{matrix}
H_0: \theta = \theta_0
\\
H_1: \theta \neq \theta_0
\end{matrix}\right.\\
\]</span>
</td>
<td>
</td>
<td>
<span class="math display">\[
\left\{\begin{matrix}
H_0: \theta = \theta_0
\\
H_1: \theta < \theta_0
\end{matrix}\right.\\
\]</span>
</td>
<td>
</td>
<td>
<span class="math display">\[
\left\{\begin{matrix}
H_0: \theta = \theta_0
\\
H_1: \theta > \theta_0
\end{matrix}\right.\\
\]</span>
</td>
</tr>
</table>
</center>
<p>Na prática podemos <strong>rejeitar</strong> ou <strong>não rejeitar</strong> a hipótese nula <span class="math inline">\(H_{0}\)</span>. Não se usa o termo <strong>aceitar</strong> a hipótese nula pois não se pode aceitar uma hipótese baseada apenas em evidências amostrais.</p>
<p>Podemos cometer erros ao testar hipóteses, são eles:</p>
<ul>
<li>Erro do tipo I (<span class="math inline">\(\alpha\)</span>): <strong>Rejeitar</strong> <span class="math inline">\(H_{0}\)</span> quando <span class="math inline">\(H_{0}\)</span> é <strong>verdadeira</strong>.</li>
<li>Erro do tipo II (<span class="math inline">\(\beta\)</span>): <strong>Não rejeitar</strong> <span class="math inline">\(H_{0}\)</span> quando <span class="math inline">\(H_{0}\)</span> é <strong>falsa</strong>.</li>
</ul>
<p>O ideal é que <span class="math inline">\(\alpha\)</span> e <span class="math inline">\(\beta\)</span> sejam próximos de 0, na prática a medida que diminui-se o <span class="math inline">\(\alpha\)</span>, <span class="math inline">\(\beta\)</span> aumenta. Nossa preocupação é sempre evitar o erro do tipo I. Por isso <span class="math inline">\(\alpha\)</span> recebe o nome de <strong>nível de significância</strong>.</p>
<p>As etapas para realização de um teste de hipóteses são:</p>
<ul>
<li>Enunciar as hipóteses nula e alternativa.</li>
<li>Definir a forma da região crítica, com base na hipótese alternativa.</li>
<li>Identificar a distribuição do estimador e obter sua estimativa.</li>
<li>Fixar <span class="math inline">\(\alpha\)</span> e obter a região crítica.</li>
<li>Interpretar o resultado.</li>
</ul>
<hr />
<div id="teste-para-a-media-populacional" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">2.1</span> Teste para a média populacional</h2>
<p>Considerando dados em que o modelo Normal é adequado, quando estamos interessados em testar hipóteses acerca da média populacional utilizamos a média amostral <span class="math inline">\(\bar{X}\)</span>, pois é um estimador não viciado e consistente de <span class="math inline">\(\mu\)</span>.</p>
<p>Considere um exemplo genérico, em que estamos interessados em verificar se a média é igual ou menor que 18. Para isso, considere que a variável de interesse segue distribuição Normal com desvio padrão conhecido igual a 6 e o tamanho amostral é igual a 30. Logo as hipóteses de interesse são:</p>
<p><span class="math display">\[
\left\{\begin{matrix}
H_0: \mu = 18
\\
H_1: \mu < 18
\end{matrix}\right.\\
\]</span></p>
<p>Com <span class="math inline">\(\alpha\)</span> conhecido, o valor crítico <span class="math inline">\(x_c\)</span> é dado por</p>
<p><span class="math display">\[
P(\bar{X}<x_c|\mu=18) = P(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} < \frac{x_c-18}{6/\sqrt{30}}) = P(Z < z_c)
\]</span></p>
<p><span class="math display">\[
z_c= \frac{x_c-18}{6/\sqrt{30}} \Rightarrow x_c = 18+z_c \frac{6}{\sqrt{30}}
\]</span></p>
<p>Considerando <span class="math inline">\(\alpha = 0,05\)</span>, <span class="math inline">\(z_c=-1,64\)</span> e <span class="math inline">\(x_c = 16,20\)</span>. Como se trata de um teste unilateral à esquerda, a chamada Região Crítica (conjunto de números reais para os quais rejeita-se a hipótese nula) é dada por:</p>
<p><span class="math display">\[RC=\left \{ x \in \mathbb{R}: x < 16,20 \right \}\]</span></p>
<p>Se o valor observado pertencer à chamada região crítica, rejeita-se a hipótese nula. Então, caso a amostra forneça média amostral menor que 16,20, este valor pertencerá à região crítica e conclui-se que rejeitamos <span class="math inline">\(H_0\)</span> ao nível de significância de 5% (<span class="math inline">\(\alpha = 0,05\)</span>). Caso contrário, conclui-se que não houve evidência suficiente para a não rejeição da hipótese nula.</p>
<hr />
<p>Caso a hipótese de interesse fosse:</p>
<p><span class="math display">\[
\left\{\begin{matrix}
H_0: \mu = 18
\\
H_1: \mu > 18
\end{matrix}\right.\\
\]</span></p>
<p>Alteraria-se o <span class="math inline">\(z_c\)</span> para 1,64, pois é o valor da distribuição Normal Padrão cuja área restante à direita é igual ao 0,05 especificado como <span class="math inline">\(\alpha\)</span>. As interpretações seguem a mesma lógica.</p>
<hr />
<p>Caso a hipótese de interesse fosse:</p>
<p><span class="math display">\[
\left\{\begin{matrix}
H_0: \mu = 18
\\
H_1: \mu \neq 18
\end{matrix}\right.\\
\]</span></p>
<p>existiriam dois valores <span class="math inline">\(x_c\)</span>: um à esquerda e outro à direita. Para obtenção destes valores basta utilizar o valor <span class="math inline">\(\alpha/2\)</span> e encontrar os correspondentes valores <span class="math inline">\(x_c\)</span> tanto para o caso da hipótese alternativa ser <span class="math inline">\(\mu<18\)</span> quanto para <span class="math inline">\(\mu>18\)</span>, caso o valor obtido esteja dentro de qualquer uma das duas regiões, rejeita-se a hipótese nula.</p>
<hr />
<p>A ausência de normalidade pode ser contornada com o auxílio do Teorema Central do Limite que nos garante que, para amostras grandes, a média amostral tem distribuição Normal.</p>
<hr />
<p>Lembrando o que foi apresentado anteriormente, a proporção (número de sucessos/número de tentativas) pode ser interpretada como a média de uma variável aleatória convenientemente definida. Desta forma, o procedimento para testar hipóteses a respeito da proporção é extremamente similar ao que foi apresentado. Para esta situação, admitimos que:</p>
<p><span class="math display">\[\hat{p} \sim N(p,p(1-p)/n)\]</span></p>
<hr />
</div>
<div id="teste-para-a-media-com-variancia-desconhecida" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">2.2</span> Teste para a média com variância desconhecida</h2>
<p>Na prática, existem diversas situações em que a variância populacional é desconhecida. Lembre-se que o TCL nos garante que a média amostral segue sempre distribuição Normal quando o tamanho amostral aumenta.</p>
<p>Contudo a ausência de informação quanto à variabilidade da população gera a necessidade de estimarmos esta quantidade. Em geral utiliza-se a já apresentada estatística <span class="math inline">\(S^2\)</span>.</p>
<p>E a variável padronizada é dada por:</p>
<p><span class="math display">\[
T = \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}
\]</span></p>
<p>A variável <span class="math inline">\(T\)</span> segue distribuição <span class="math inline">\(t\)</span> de Student, denotada por <span class="math inline">\(t_{(n-1)}\)</span> em que <span class="math inline">\((n-1)\)</span> são os chamados graus de liberdade da distribuição.</p>
<p>Tal como a distribuição Normal, trata-se de uma distribuição com densidade de probabilidade consideravelmente complexa e usa-se tabelas para obtenção de probabilidades de interesse ao invés de calcular via integração.</p>
<p>A <span class="math inline">\(t\)</span> é simétrica, tal como a distribuição Normal. E a medida que o tamanho amostral aumenta, as densidades convergem. Para tamanhos amostrais reduzidos a diferença entre as distribuições está principalmente nas caudas, a variabilidade da distribuição <span class="math inline">\(t\)</span> é maior que a da Normal, fazendo com que as caudas sejam mais “pesadas” e a incerteza quanto à ausência do real valor da variância seja incorporado pelo modelo adotado.</p>
<p>Note que como utiliza-se a variância amostral, diferentes amostras vão resultar em diferentes resultados e, em alguns casos, as conclusões podem mudar de amostra para amostra.</p>
<p>Considere um exemplo genérico em que estamos interessados em testar:</p>
<p><span class="math display">\[
\left\{\begin{matrix}
H_0: \mu = 12
\\
H_1: \mu \neq 12
\end{matrix}\right.\\
\]</span></p>
<p>em um problema em que a amostra fornecida para a variável de interesse foi: 14,4; 12,9; 15,0; 13,7; e 13,5. Não temos informação quanto à variância populacional e desejamos testar a hipótese considerando 1% de significância.</p>
<p>A região crítica é da forma: <span class="math inline">\(RC = \left \{ t \in \mathbb{R}| t<t_1 \ ou \ t<t_2 \right \}.\)</span> Para obtenção das regiões críticas temos:</p>
<p><span class="math display">\[
T=\frac{\bar{X}-12}{S/\sqrt{5}}\sim t_{(4)}.
\]</span></p>
<p>E, da tabela da distribuição <span class="math inline">\(t\)</span> temos:</p>
<p><span class="math display">\[
P(t<t_1)=0,01/2 \Rightarrow t_1=-4,604
\\
P(t>t_2)=0,01/2 \Rightarrow t_2=4,604
\]</span></p>
<p>A média amostral é igual a 13,9, enquanto que a variância foi igual a 0,67. Logo, o <span class="math inline">\(t\)</span> calculado é dado por:</p>
<p><span class="math display">\[
t_c=\frac{\bar{X}-12}{S/\sqrt{5}}=\frac{13,9-12}{0,82/\sqrt{5}}=5,18
\]</span></p>
<p>Como o valor calculado pertence à região crítica, rejeitamos a hipótese nula.</p>
<hr />
<p>Críticas e sugestões a este material sempre serão bem vindas.</p>
<p>Para entrar em contato comigo, envie uma mensagem para <a href="mailto:[email protected]" class="email">[email protected]</a>.</p>
<hr />
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</div>
</div>
</div>
</div>
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