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// manage active state of menu based on current page
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// active menu anchor
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href = href.substr(href.lastIndexOf('/') + 1)
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// mark it active
menuAnchor.parent().addClass('active');
// if it's got a parent navbar menu mark it active as well
menuAnchor.closest('li.dropdown').addClass('active');
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<!-- tabsets -->
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display: inline-table;
max-height: 500px;
min-height: 44px;
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.tabset-dropdown > .nav-tabs > li.active:before {
content: "";
font-family: 'Glyphicons Halflings';
display: inline-block;
padding: 10px;
border-right: 1px solid #ddd;
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.tabset-dropdown > .nav-tabs.nav-tabs-open > li.active:before {
content: "";
border: none;
}
.tabset-dropdown > .nav-tabs.nav-tabs-open:before {
content: "";
font-family: 'Glyphicons Halflings';
display: inline-block;
padding: 10px;
border-right: 1px solid #ddd;
}
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li.active {
display: block;
}
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a,
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a:focus,
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a:hover {
border: none;
display: inline-block;
border-radius: 4px;
}
.tabset-dropdown > .nav-tabs.nav-tabs-open > li {
display: block;
float: none;
}
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li {
display: none;
}
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<!-- code folding -->
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#TOC {
position: relative;
width: 100%;
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max-width: none;
}
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line-height: 20px;
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font-size: 0.90em;
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border-radius: 0px;
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Lineu A.C.F
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<span class="fa fa-github"></span>
</a>
</li>
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margin-top: 10px;
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table.header > tbody {
border-bottom: 0px;
border-top: 0px;
}
</style>
<table class="header" width="100%" align="center">
<tr>
<td align="left" valign="bottom" width="90px">
<a href="https://lineu96.github.io/npest/">
<img src="img/est.jpg" width="100%" />
</a>
</td>
<td align="left" valign="top">
<div class="header">
<h4 style="font-size: 20px; margin: 10px auto 0 10px">
Noções de Probabilidade e Estatística
</h4>
<h5 style="margin: 0px 0px 10px 10px">
<a href="https://lineu96.github.io/st/">
<code>Lineu Alberto</code>
</a>
</h5>
</div>
</td>
</tr>
</table>
<div class="fluid-row" id="header">
</div>
<hr />
<font size="5">
<p align=”center”>
<b> Parte 5 - Variáveis aleatórias contínuas </b>
</center>
<p></font></p>
<hr />
<div id="variaveis-aleatorias-continuas" class="section level1">
<h1><span class="header-section-number">1</span> <strong>Variáveis aleatórias contínuas</strong></h1>
<p>Uma variável aleatória é classificada como contínua se assume valores em qualquer intervalo dos números reais, ou seja, um conjunto de valores não enumerável. Dessa forma, não é possível atribuir probabilidades para um ponto específico, apenas para intervalos da reta.</p>
<hr />
</div>
<div id="funcao-densidade-de-probabilidade" class="section level1">
<h1><span class="header-section-number">2</span> <strong>Função densidade de probabilidade</strong></h1>
<p>A atribuição de probabilidades para o caso contínuo é definida pela área abaixo de uma função positiva denominada densidade de probabilidade que, tal como no caso discreto, caracteriza completamente o comportamento da variável aleatória.</p>
<p>A função <span class="math inline">\(f(x)\)</span> é chamada função densidade de probabilidade (fdp) para uma variável aleatória contínua <span class="math inline">\(X\)</span> se satisfaz as seguintes condições:</p>
<ul>
<li><p><span class="math inline">\(f(x) \geq 1\)</span></p></li>
<li><p><span class="math inline">\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1\)</span></p></li>
</ul>
<p>Através da função densidade de probabilidade é possível atribuir probabilidades à intervalos de valores da variável aleatória do tipo <span class="math inline">\([a,b]\)</span> da seguinte forma:</p>
<p><span class="math display">\[P[a<X<b] = \int_{a}^{b}f(x)dx\]</span></p>
<p>Note como não é possível atribuir probabilidades a valores individuais, pois a probabilidade no caso contínuo é definida apenas para intervalos, desta forma a probabilidade para valores individuais é igual a 0 pois não há área sob a curva.</p>
<p>Além disso, as probabilidades calculadas sobre os intervalos <span class="math inline">\([a,b]\)</span>, <span class="math inline">\((a,b]\)</span>, <span class="math inline">\([a,b)\)</span> e <span class="math inline">\((a,b)\)</span> são as mesmas, para quaisquer valores de <span class="math inline">\(a\)</span> e <span class="math inline">\(b\)</span>.</p>
<hr />
</div>
<div id="medidas-de-posicao-para-v.as-continuas" class="section level1 tabset tabset-fade">
<h1><span class="header-section-number">3</span> <strong>Medidas de posição para V.A’s contínuas</strong></h1>
<p>Tal como no caso discreto, a descrição completa do comportamento de uma variável aleatória contínua é feita através da sua função densidade de probabilidade, desta forma as medidas de posição da variável aleatória envolvem esta função.</p>
<p>A definição da mediana é idêntica ao caso discreto. Para a média adapta-se a expressão pois passa-se a usar a integral e não mais o somatório. Já para a moda toma-se o máximo da função densidade de probabilidade, isto é, o ponto mais alto da função.</p>
<hr />
<div id="media" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">3.1</span> <strong>Média</strong></h2>
<p>O valor esperado, média ou esperança da variável aleatória contínua <span class="math inline">\(X\)</span>, com função densidade dada por <span class="math inline">\(f(x)\)</span> é dada pela expressão:</p>
<p><span class="math display">\[E(X)=\mu=\int_{-\infty}^{\infty}x f(x)dx\]</span></p>
<hr />
</div>
<div id="mediana" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">3.2</span> <strong>Mediana</strong></h2>
<p>A mediana é o valor <span class="math inline">\(Md\)</span> que satisfaz às seguintes condições</p>
<p><span class="math display">\[P(X \geq Md) \geq 1/2 \ e \ P(X \leq Md) \leq 1/2\]</span></p>
<hr />
</div>
<div id="moda" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">3.3</span> <strong>Moda</strong></h2>
<p>A moda (<span class="math inline">\(Mo\)</span>) é o valor tal que</p>
<p><span class="math display">\[f(Mo) = max(f(x))\]</span></p>
<hr />
</div>
</div>
<div id="medidas-de-dispersao-para-v.as" class="section level1">
<h1><span class="header-section-number">4</span> <strong>Medidas de dispersão para V.A’s</strong></h1>
<p>Para uma variável aleatória <span class="math inline">\(X\)</span> com densidade <span class="math inline">\(f(x)\)</span>, a variância é dada por</p>
<p><span class="math display">\[\sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x)dx,\]</span></p>
<p>ou alternativamente</p>
<p><span class="math display">\[\sigma^2 = E(X^2)-\mu^2\]</span></p>
<p>em que</p>
<p><span class="math display">\[E(X^2)=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x)dx\]</span></p>
<p>O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e tem a mesma unidade de medida que a variável original.</p>
<hr />
</div>
<div id="principais-modelos-continuos" class="section level1">
<h1><span class="header-section-number">5</span> <strong>Principais modelos contínuos</strong></h1>
<p>Algumas variáveis aleatórias aparecem com bastante frequência em situações práticas. Nesses casos, a função densidade de probabilidade pode ser escrita de maneira mais compacta, isto é, existe uma lei para atribuir as probabilidades.</p>
<p>Os mais famosos modelos contínuos de probabilidade são:</p>
<ul>
<li><strong>Uniforme contínuo</strong></li>
<li><strong>Exponencial</strong></li>
<li><strong>Normal</strong></li>
</ul>
<hr />
<div id="uniforme-continuo" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">5.1</span> <strong>Uniforme contínuo</strong></h2>
<p>Uma variável aleatória <span class="math inline">\(X\)</span> tem distribuição Uniforme Contínua no intervalo <span class="math inline">\([a,b]\)</span>, <span class="math inline">\(a<b\)</span>, se sua função densidade de probabilidade é dada por:</p>
<p><span class="math display">\[f(x)=
\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\
0, & caso \ contrário
\end{matrix}\right.\]</span></p>
<p>Para indicar que a variável aleatória X segue o modelo Uniforme Contínuo usa-se a notação <span class="math inline">\(X \sim U[a,b]\)</span>. O modelo Uniforme pressupõe que os valores possíveis para a variável têm todos a mesma probabilidade de ocorrência.</p>
<p>Além disso, <span class="math inline">\(E(X)=\frac{a+b}{2}\)</span> e <span class="math inline">\(\sigma^2=\frac{(b-a)^2}{12}\)</span>.</p>
<hr />
<p><img src="npest5_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png" width="480" style="display: block; margin: auto;" /></p>
<hr />
</div>
<div id="exponencial" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">5.2</span> <strong>Exponencial</strong></h2>
<p>Seja <span class="math inline">\(X\)</span> uma variável aleatória que assume valores não negativos. Dizemos que <span class="math inline">\(X\)</span> segue o modelo Exponencial com parâmetro <span class="math inline">\(\alpha>0\)</span> se sua densidade é:</p>
<p><span class="math display">\[f(x)=
\left\{\begin{matrix}
\alpha e^{-\alpha x}, & x \geq 0 \\
0, & caso \ contrário
\end{matrix}\right.\]</span></p>
<p>Para indicar que a variável aleatória X segue o modelo Exponencial usa-se a notação <span class="math inline">\(X \sim Exp(\alpha)\)</span>. Além disso, <span class="math inline">\(E(X) = \frac{1}{\alpha}\)</span> e <span class="math inline">\(Var(X) = \frac{1}{\alpha^2}\)</span>.</p>
<p>O cálculo de probabilidades com a Exponencial fica da seguinte forma:</p>
<p><span class="math display">\[P(a < X < b) = \int_{a}^{b} \alpha e^{-\alpha x}dx = -e^{-\alpha x}|^{b}_{a} = e^{-\alpha a} - e^{-\alpha b}.\]</span></p>
<hr />
<p><img src="npest5_files/figure-html/unnamed-chunk-3-1.png" width="480" style="display: block; margin: auto;" /></p>
<hr />
</div>
<div id="normal" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">5.3</span> <strong>Normal</strong></h2>
<p>Dentre todos os modelos teóricos, contínuos ou discretos, o mais importante e utilizado é o modelo Normal.</p>
<p>Dizemos que uma variável aleatória contínua <span class="math inline">\(X\)</span> tem distribuição Normal com parâmetros <span class="math inline">\(\mu\)</span> (média) e <span class="math inline">\(\sigma^2\)</span> (variância), se sua função densidade de probabilidae é dada por:</p>
<p><span class="math display">\[f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, -\infty<x<\infty\]</span></p>
<p>Usa-se a notação <span class="math inline">\(X \sim N(\mu,\sigma^2)\)</span>.</p>
<p>Algumas propriedades da distribuição Normal são:</p>
<ul>
<li><span class="math inline">\(f(x)\)</span> é simétrica em relação a <span class="math inline">\(\mu\)</span>.</li>
<li><span class="math inline">\(f(x)\)</span> vai para 0 quando <span class="math inline">\(x\)</span> vai para <span class="math inline">\(\pm \infty\)</span>.</li>
<li>O valor máximo de <span class="math inline">\(f(x)\)</span> se dá para <span class="math inline">\(x=\mu\)</span>.</li>
</ul>
<p>Para cálculo de probabilidades de fenômenos que seguem distribuição Normal deve-se resolver a integral da função densidade no intervalo de interesse, isto é,</p>
<p><span class="math display">\[P(a \leq X \leq b) = \int_a^b \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx.\]</span></p>
<p>Contudo esta integral só pode ser resolvida de modo aproximado através de métodos numéricos. Por essa razão a obtenção de probabilidades para o modelo Normal são calculadas manualmente (com o auxílio de tabelas) ou com o auxílio de um computador.</p>
<p>Para o cálculo via tabelas utiliza-se uma transformação que conduz sempre ao cálculo de probabilidades com uma variável com média 0 e variância 1, ou seja, transforma-se uma variável <span class="math inline">\(X \sim N(\mu,\sigma^2)\)</span> em uma variável <span class="math inline">\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\)</span> e <span class="math inline">\(Z \sim N(0,1)\)</span>. Diz-se que a variável <span class="math inline">\(Z\)</span> segue uma distribuição Normal Padrão ou Normal Reduzida.</p>
<p>Para determinar a probabilidade de <span class="math inline">\(X \in [a,b]\)</span>, procedemos da seguinte forma:</p>
<p><span class="math display">\[P(a \leq X \leq b) = P\left ( \frac{a-\mu}{\sigma} \leq \frac{X-\mu}{\sigma} \leq \frac{b-\mu}{\sigma} \right ) \]</span></p>
<p>isto é,</p>
<p><span class="math display">\[P(a \leq X \leq b) = P \left ( \frac{a-\mu}{\sigma} \leq Z \leq \frac{b-\mu}{\sigma} \right ) .\]</span></p>
<p>Desta forma, para quaisquer valores de <span class="math inline">\(\mu\)</span> e <span class="math inline">\(\sigma\)</span> utilizamos uma tabela da distribuição Normal Padrão para obter probabilidades.</p>
<hr />
<p><img src="npest5_files/figure-html/unnamed-chunk-4-1.png" width="480" style="display: block; margin: auto;" /></p>
<p>A distribuição Normal é uma das mais importantes na Estatística. Diversos fenômenos comportam-se tal como esta distribuição, em que há valores muito frequentes em torno da média e, conforme se distancia da média, as frequências se reduzem. Além disso, ela pode ser usada como aproximação para outras distribuições como, por exemplo, a Binomial em que se <span class="math inline">\(X \sim Bin(n,p)\)</span>, <span class="math inline">\(E(x) = np\)</span> e <span class="math inline">\(Var(x) = np(1-p)\)</span> uma aproximação é dada por <span class="math inline">\(Y \sim N(np, np(1-p))\)</span> e é utilizada sem grandes perdas quando a média e a variância da Binomial são maiores que 5.</p>
<hr />
<p>Críticas e sugestões a este material sempre serão bem vindas.</p>
<p>Para entrar em contato comigo, envie uma mensagem para <a href="mailto:[email protected]" class="email">[email protected]</a>.</p>
<hr />
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