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高三一轮复习——平面向量.md

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【基础知识】 一、向量的有关概念 1、向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有 向线段的长度). 2、向量的表示方法: (1) 字母表示法:如 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \cdots$ 等. （2）几何表示法:用一条有向线段表示向量. 如 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D}$ 等. (3) 坐标表示法: 在平面直角坐标系中, 设向量 $\overrightarrow{O A}$ 的起点 $O$ 为在坐标原点, 终点 $A$ 坐标为 $(x, y)$, 则 $(x, y)$ 称为 $\overrightarrow{O A}$ 的坐标, 记为 $\overrightarrow{O A}=(x, y)$. 注: 向量既有代数特征, 又有几何特征, 它是数形兼备的好工具. 3、相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 相等,记为 $\vec{a}=\vec{b}$. 注: 向量不能比较大小 4、零向量:长度为零的向量叫零向量. 零向量只有一个,其方向是任意的. 5、单位向量:长度等于 1 个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量. 6、共线 (平行) 向量: 方向相同或相反的非零向量,叫共线向量. 任一组共线向量都可以移到 同一直线上. 枧定: $\overrightarrow{0}$ 与任一向量共线.. 7、相反向量: 长度相等且方向相反的向量.

2、党乘运算 (1) 貶定: 实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a} \mathrm{~ 的 积 是 一 个 向 量 , ~ 这 种 运 算 叫 做 向 恙 的 数 來}$ (2) 平面向量共线定理: 向量 $\vec{a}(\vec{a} \neq 0)$ 与 $\vec{b}$ 共线, 当且仪当有唯一一个实数 $\lambda$, 使 $\vec{b}=\lambda \vec{a}$. 3、平面向荲数荲积 (1) $\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$ （2） $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为: $|\vec{a}| \cos \theta$ (3) $\vec{a}^{2}=|\vec{a}|^{2} \Leftrightarrow|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}^{2}}$ 向量夹角的确定：向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角 $\theta$ 指的是将 $\vec{a}, \vec{b}$ 的起点重合所成的角, $\theta \in[0, \pi]$ 4、平面向軍基本定理 如果 $\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}$ 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内任一向量 $\vec{a}$ ，有且只有一 对实数 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$, 化 $\vec{a}=\lambda_{1} \overrightarrow{e_{1}}+\lambda_{2} \overrightarrow{e_{2}}$ （1）不共线的向量即可作为一组基底表示肵有的向量 (2) 唯一性: 若 $\vec{a}=\lambda_{1} \vec{e}{1}+\lambda{2} \overrightarrow{e_{2}}$ 且 $\vec{a}=\mu_{1} \overrightarrow{e_{1}}+\mu_{2} \overrightarrow{e_{2}}$, 则 $\left{\begin{array}{l}\lambda_{1}=\mu_{1} \ \lambda_{2}=\mu_{2}\end{array}\right.$ 5、平面向鼌的坐标运算. (1) 设 $\vec{a}=\left(x_{1}, y_{1}\right), \vec{b}=\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 则: $$ \begin{aligned} &\vec{a}+\vec{b}=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right) \quad \vec{a}-\vec{b}=\left(x_{1}-x_{2}, y_{1}-y_{2}\right) \ &\lambda \vec{a}=\left(\lambda x_{1}, \lambda y_{1}\right) \quad \vec{a} / / \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}=\lambda \vec{b} \Leftrightarrow x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}=0 \ &\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \Leftrightarrow x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}=0 \quad \cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}} \end{aligned} $$ （2）设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 则： $$ \overrightarrow{A B}=\left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}\right) \quad|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} $$ $\begin{array}{|c|l|} \hline \text { 方法 } & {\text { 适用范围 }} \ \hline \text { 定义法 } & \text { 已知或可求两个向量的模和夹角 } \ \hline \text { 基底法 } & \begin{array}{l} \text { 直接利用定义法求数量积不可行时, 可选取合适的一组基底, 利用平面向 } \ \text { 量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来, 进而根据数量积的运 } \ \text { 算律和定义求解 } \end{array} \ \hline \text { 坐标法 } & \begin{array}{l} \text { (1)已知或可求两个向量的坐标;}\ \text{(2)已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积 } \end{array}\ \hline \end{array}$

在处理向量数量积问题时, 若几何图形特殊 (如正方形, 等边三角形等), 易于建系并 写出点的坐标, 则考虑将向量坐标化,一旦所求向量用坐标表示, 其数量积等问题迎刃而解。

(1) 具备对称性质的图形: 长方形, 正方形, 等边三角形, 圆形 (2) 带有直角的图形: 直角梯形, 直角三角形 (3) 具备特帙角度的图形 $\left(30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}\right.$ 等) 6、模长 (1) 有关模长的不等问题: 通常考虑利用 “模长平方” 或 “坐标化” 得到模长与某个变量 间的函数关系, 从而将问题转化为求函数最值问题 （2）利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形, 且所求向量与 几何图形中的㭉条线段相关, 则可考虑利用条件中的几何知识处理模长 7、线段定比分点 (1) $\overline{P_{1} P_{2}}$ 定比分点坐标公式: 设 $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), P(x, y), \overrightarrow{P_{1} P}=\lambda \overrightarrow{P P_{2}}$ 则: $\left{\begin{array}{l}x=\dfrac{x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda} \ y=\dfrac{y_{1}+\lambda y_{2}}{1+\lambda}\end{array}(\lambda \neq-1)\right.$, 特殊地, 当 $\lambda=1$ 时 得中点坐标公式: $\left{\begin{array}{l}x=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} \ y=\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\end{array}\right.$ 另外, 注意一下定比分点的向量公式: $O$ 为平面内任意一点, $\overrightarrow{P_{1} P}=\lambda \overrightarrow{P P_{2}}$, 则 $\overrightarrow{O P}=\dfrac{\overrightarrow{O P_{1}}+\lambda \overrightarrow{O P_{2}}}{1+\lambda}(\lambda \neq-1)$. (2) 三角形重心公式及推导 (见课本例 2): 三角形重心公式: $\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \dfrac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$ 8、点的平移公式 平移前的点为 $P(x, y)$ (原坐标), 平移后的对应点为 $P^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ (新坐标), 平移向量为 $\overrightarrow{P P^{\prime}}=(h, k), \quad$ 则 $\left{\begin{array}{l}x^{\prime}=x+h \ y^{\prime}=y+k .\end{array}\right.$, 从而函数 $y=f(x)$ 的图像按向量 $\vec{a}=(h, k)$ 平移后的图像 的解析式为 $y-k=f(x-h)$.

向量的概念与线性运算

知识框架

  1. 字母表示的线性运算

  2. 共线平行求参

  3. 基底思想与路径分析

  4. 共线定理的直接应用

  5. 共线定理与基底思想

  6. 向量加法运算几何意义的中点技巧

  7. 共线定理的代换

  8. 基底表示一基底转换

  9. 模长不等式的应用

  10. 综合建系一仿射

    典例精练

一、字母表示的线性运算 例 1 计算下列向量 (1) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}=$ (2) $\overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{Q W}=$ (3) $\overrightarrow{P Q}=(3,7), \overrightarrow{A B}=(2,5)$, 则 $\overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{A B}=$ (4) $\overrightarrow{P Q}=(3,7), \overrightarrow{A B}=(2,5)$, 则 $\overrightarrow{P Q}-\overrightarrow{A B}=$ (5) 已知点 $A(0,1), B(2,2)$, 则 $5 \overrightarrow{A B}=$ 练 1 计算下列向量 (1) $\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=$ (2) $\overrightarrow{P Q}-\overrightarrow{P W}=$ (3) $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(2,3)$, 则 $\vec{a}+\vec{b}=$ (4) $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(2,3)$, 则 $\vec{a}-\vec{b}=$ 二、共线平行求参数 例 2 已知向量 $\boldsymbol{a}=(m, 4), \boldsymbol{b}=(3,-2)$, 且 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$, 则 $m=$ 练 2 已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,2), \boldsymbol{b}=(2,-2), \boldsymbol{c}=(1, \lambda)$. 若 $\boldsymbol{c} / /(2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$, 则 $\lambda=$ 三、基底思想与路径分析 $\star \star \star \star$ 例 3 设 $D, E, F$ 分别为 $\triangle A B C$ 三边 $B C, C A, A B$ 的中点, 则 $\overrightarrow{D A}+$ $2 \overrightarrow{E B}+3 \overrightarrow{F C}=$ A. $\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A D}$ B. $\dfrac{3}{2} \overrightarrow{A D}$ C. $\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}$ D. $\dfrac{3}{2} \overrightarrow{A C}$ 练 3 在 $\triangle O A B$ 中, 若点 $C$ 满足 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{C B}, \overrightarrow{O C}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B}$, 则 $\dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{1}{\mu}=$ A. $\dfrac{1}{3}$ B. $\dfrac{2}{3}$ C. $\dfrac{2}{9}$ D. $\dfrac{9}{2}$ 四、向量共线定理的直接应用一用一次 例 4 如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\overrightarrow{A N}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}, P$ 是 $B N$ 上的一点, 若 $\overrightarrow{A P}=$ $m \overrightarrow{A B}+\dfrac{2}{11} \overrightarrow{A C}$, 则实数 $m$ 的值为

五、共线定理与基底思想一用两次 例 5 如图, 一直线 $E F$ 与平行四边形 $A B C D$ 的两边 $A B, A D$ 分 别交于 $E, F$ 两点, 且交其对角线 $A C$ 于 $K$, 其中, $\overrightarrow{A E}=\frac{2}{5} \overrightarrow{A B}$, $\overrightarrow{A F}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A K}=\lambda \overrightarrow{A C}$, 则 $\lambda$ 的值为

练 5 在平行四边形 $A B C D$ 中, 点 $E$ 为 $C D$ 的中点, $B E$ 与 $A C$ 的交 点为 $F$, 设 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}$, 则向量 $\overrightarrow{B F}$ 等于 A. $\dfrac{1}{3} \boldsymbol{a}+\dfrac{2}{3} \boldsymbol{b}$ B. $-\dfrac{1}{3} \boldsymbol{a}-\dfrac{2}{3} \boldsymbol{b} \quad$ C. $-\dfrac{1}{3} \boldsymbol{a}+\dfrac{2}{3} \boldsymbol{b}$ D. $\dfrac{1}{3} \boldsymbol{a}-\dfrac{2}{3} \boldsymbol{b}$ 六、向量加法运算几何意义的中点技巧 例 6 已知点 $P$ 为四边形 $A B C D$ 所在平面内一点, 且满足 $\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{C D}=$ $\mathbf{0}, \overrightarrow{A P}+\overrightarrow{B P}+4 \overrightarrow{D P}=\mathbf{0}, \overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{B C}(\lambda, \mu \in \mathbf{R})$, 则 $\lambda \mu=(\quad)$ A. $\dfrac{7}{6}$ B. $-\dfrac{7}{6}$ C. $-\dfrac{1}{3}$ D. $\dfrac{1}{3}$ 练 6 已知 $A, B, C$ 为圆 $O$ 上三点, 若 $\overrightarrow{A O}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$, 则 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 的夹角为

七、共线定理的代换 例 7 如图, $\overrightarrow{O C}=2 \overrightarrow{O P}, \overrightarrow{A B}=2 \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{O M}=m \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O N}=n \overrightarrow{O A}$, 若 $m=$ $\frac{3}{8}$, 那么 $n=$ A. $\dfrac{3}{4}$ B. $\dfrac{2}{3}$ C. $\dfrac{4}{5}$ D. $\dfrac{5}{8}$ 练 7 已知 $G$ 是 $\triangle A B C$ 的重心, 过点 $G$ 的直线与边 $A B, A C$ 分别相 交于点 $P, Q$, 若 $\overrightarrow{A P}=\frac{3}{5} \overrightarrow{A B}$, 则 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A P Q$ 面积的比值为 八、基底表示一基底转换 例 8 在正方形 $A B C D$ 中, $M, N$ 分别是 $B C, C D$ 的中点, 若 $\overrightarrow{A C}=$ $\lambda \overrightarrow{A M}+\mu \overrightarrow{A N}$, 则实数 $\lambda+\mu=$ 练 8 在平行四边形 $A B C D$ 中, $\overrightarrow{A E}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{D F}=\frac{1}{2} \overrightarrow{F C}$, 若 $\overrightarrow{A F}=\lambda \overrightarrow{A C}+$ $\mu \overrightarrow{D E}$, 则 $\lambda-\mu=$ A. $\dfrac{1}{2}$ B. $\dfrac{2}{3}$ C. $\dfrac{1}{3}$ D.$1$

九、向量模长三角不等式

例 9 已知点 $A, B, C$ 在圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上运动, 且 $A B \perp B C$, 若点 $P$ 的 坐标为 $(2,0)$, 则 $|\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}|$ 的最大值为 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 练 9 已知 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 是单位向量, $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$. 若向量 $\boldsymbol{c}$ 满足 $|\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=1$, 则 $|c|$ 的取值范围是 A. $[\sqrt{2}-1, \sqrt{2}+1]$ C. $[1, \sqrt{2}+1] \quad$ D. $[1, \sqrt{2}+2]$ 例 10 给定两个长度为 1 的平面向量 $\overrightarrow{O A}$ 和 $\overrightarrow{O B}$, 它们的夹角为 $120^{\circ}$, 点 $C$ 在以 $O$ 为圆心的圆弧 $A B$ 上运动, 若 $\overrightarrow{O C}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}$, 则 $x+y$ 的最大值是 A. $\dfrac{1}{2}$ B. 1 C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ D. 2 练 10 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=1, A D=2$, 动点 $P$ 在以点 $C$ 为圆心且 与 $B D$ 相切的圆上. 若 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{A D}$, 则 $\lambda+\mu$ 的最大值为 ( ) A. 3 B. $2 \sqrt{2}$ C. $\sqrt{5}$ D. 2

向量与三角形的“四心”

【知识清单】 一、向量与重心 重心定义 三角形三条中线的交点叫做重心, 一般记为 $G$. 相关结论 (1) $G$ 是 $\triangle A B C$ 的重心, 则 $G\left(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}, \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}\right)$; (2) $G$ 是 $\triangle A B C$ 的重心, 则 $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}$; (3) $G$ 是 $\triangle A B C$ 的重心, $P$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面内一点 则 $\overrightarrow{P G}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C})$; (4)若 $\overrightarrow{A P}=\lambda(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}), \lambda \in \mathbf{R}$, 则 $P$ 在 $B C$ 边的中线 上; (5) $G$ 是 $\triangle A B C$ 的重心, 则 $|G A|^{2}+|G B|^{2}+|G C|^{2}$ 最小; (6) $G$ 是 $\triangle A B C$ 的重心, 则 $S_{\triangle G A B}=S_{\triangle G B C}=S_{\triangle G A C}=$ $\dfrac{1}{3} S_{\triangle A B C}$; 奔电定理若 $O$ 为 $\triangle A B C$ 内一点, 满足 $m \overrightarrow{O A}+n \overrightarrow{O B}+$ $k \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$, 则 $S_{\triangle A O B}: S_{\triangle B O C}: S_{\triangle A O C}: S_{\triangle A B C}=k: m: n:(m+$ $n+k)$ 二、向量与垂心 菙心定义 三角形三条高线的交点叫做垂心。 与向量的相关表达式 记 $H$ 为三角形 $\triangle A B C$ 的垂心, 则 有: (1) $H$ $\overrightarrow{A B}$ (2) $\overrightarrow{H A} \cdot \overrightarrow{H B}=\overrightarrow{H B} \cdot \overrightarrow{H C}=\overrightarrow{H C} \cdot \overrightarrow{H A}$ (3) $|\overrightarrow{H A}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}=|\overrightarrow{H B}|^{2}+|\overrightarrow{C A}|^{2}=|\overrightarrow{H C}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}$ (4) 若 $\overrightarrow{A P}=\lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{A B}}{c \cos B}+\dfrac{\overrightarrow{A C}}{b \cos C}\right), \lambda \in \mathbf{R}$, 则 $P$ 在 $B C$ 边的 垂线上.

三、向量与外心 外心定义 三角形三条边的中垂线 (垂直平分线) 的交点叫 做外心. 即三角形外接圆的圆心。 相关性质 (1) 外心到三角形的三个顶点的距离相等; (2) 锐角三角形的外心在三角形内部; 直角三角形的外心 在斜边中点; 钝角三角形的外心三角形外部; 相关结论 (3) $O$ 是三角形 $A B C$ 的外心, 则 $|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{O C}|$ (4) $O$ 是三角形 $A B C$ 的外心, 则 $(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}) \cdot \overrightarrow{A B}=(\overrightarrow{O B}+$ $\overrightarrow{O C}) \cdot \overrightarrow{B C}=(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}) \cdot \overrightarrow{A C}=0$ 四、向量与内心 内心定义 三角形三条角平分线的交点叫做内心. 内心即三 角形内切圆的圆心, 内心到三角形三边距离相等。 有关内心的向量表达式 记 $O$ 为三角形 $\triangle A B C$ 的内心, 则 有: (1) 若 $\overrightarrow{A P}=\lambda\left(\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}\right), \lambda \in \mathbf{R}$, 则 $P$ 在角 $A$ 的角平 分线上. (2) $O$ 是 $\triangle A B C$ 的内心, 则 $a \overrightarrow{O A}+b \overrightarrow{O B}+c \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$ (3) $\sin A \cdot \overrightarrow{O A}+\sin B \cdot \overrightarrow{O B}+\sin C \cdot \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$

向量与三角形四心配套练习

一、向量与三角形的重心

  1. 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $O$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内一点, 若 $\overrightarrow{O A}+$ $\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\mathbf{0}$, 则点 $O$ 是 $\triangle A B C$ 的 A. 内心 B. 垂心 C. 外心 D. 重心
  2. 已知 $O$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面上一定点, 动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{O P}=$ $\overrightarrow{O A}+\lambda\left(\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}| \sin B}+\frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}| \sin C}\right), \lambda \in[0,+\infty)$, 则动点 $P$ 的 轨迹一定通过 $\triangle A B C$ 的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
  3. 已知 $A, B, C$ 是坐标平面内的不共线的三点, $O$ 是坐标 原点, 动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{O P}=\frac{1}{3}[(1-\lambda) \overrightarrow{O A}+(1-\lambda) \overrightarrow{O B}+(1+$ $2 \lambda) \overrightarrow{O C}], \lambda \in R$, 则点 $P$ 的轨迹一定经过 $\triangle A B C$ 的 ( ) A. 内心 B. 垂心 C. 外心 D. 重心
  4. $O$ 为 $\triangle A B C$ 内一点, 且 $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+2 \overrightarrow{O C}=0$, 则 $\triangle O B C$ 和 $\triangle A B C$ 的面积比 $\dfrac{S_{\triangle O B C}}{S_{\triangle A B C}}=$
  5. 设 $O$ 为三角形 $\triangle A B C$ 内一点, 已知 $\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}+3 \overrightarrow{O C}=$ $3 \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}$. 则 $\dfrac{S_{\triangle A O B}+2 S_{\triangle B O C}+3 S_{\triangle C O A}}{S_{\triangle A B C}}=$

二向量与三角形的垂心 6. 已知 $O$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面上一定点, 动点 $P$ 满足, $\overrightarrow{O P}=$ $\overrightarrow{O A}+\lambda\left(\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}| \cos B}+\frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}| \cos C}\right), \lambda \in[0,+\infty)$, 则动点 $P$ 的 轨迹一定通过 $\triangle A B C$ 的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 7. 在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O A}$, 那么点 $O$ 是 $\triangle A B C$ 的 A. 内心 $\quad$ B. 垂心 C. 外心 $\mathrm{D}$. 重心 $$ |\overrightarrow{O A}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}= $$ 8. 点 $O$ 为 $|\overrightarrow{O B}|^{2}+\mid \overrightarrow{A C}$ A. 内心 B. 垂心 D. 重心 9. 已知 $O$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面上一点, 且满足 $|\overrightarrow{O A}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}=$ $|\overrightarrow{O B}|^{2}+|\overrightarrow{C A}|^{2}$, 则点 $O$ A. 在过点 $C$ 且 $5, A B$ 垂直的直线上 B. 在 $\angle A$ 的平分线所在直线上 C. 在边 $A B$ 的中线所在直线上 D. 以上都不对

三：向量与三角形的外心 10. 已知 $O$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面上一定点, 动点 $P$ 满足, $\overrightarrow{O P}=$ $\frac{\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}}{2}+\lambda\left(\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}| \cos B}+\frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}| \cos C}\right), \lambda \in[0,+\infty)$, 则动点 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle A B C$ 的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 11. 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $O$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内一点, 若 $(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}) \cdot \overrightarrow{A B}=(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}) \cdot \overrightarrow{B C}=(\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O A}) \cdot \overrightarrow{C A}=0$, 则点 $O$ 是 $\triangle A B C$ 的 A. 内心 B. 垂心 C. 外心 D. 重心 四、向量与三角形的内心 12. 已知 $O$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面上一定点, 动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{O P}=$ $\overrightarrow{O A}+\lambda\left(\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}\right), \lambda \in[0,+\infty)$, 则动点 $P$ 的轨迹一定 通过 $\triangle A B C$ 的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 13. 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $O$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内一点, 若 $a \overrightarrow{O A}+b \overrightarrow{O B}+c \overrightarrow{O C}=0$, 其中 $a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边长, 则点 $O$ 是 $\triangle A B C$ 的 $\begin{array}{llll}\text { A. 内心 } & \text { B. 垂心 } & \text { C. 外心 } & \text { D. 重心 }\end{array}$ 14. 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $O$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内一点, 若 $\overrightarrow{P O}=\frac{a \overrightarrow{P A}+b \overrightarrow{P B}+c \overrightarrow{P C}}{a+b+c}$, 其中 $a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边长, $P$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内的任意一点, 则点 $O$ 是 $\triangle A B C$ 的 A. 内心 B. 垂心 C. 外心 D. 重心

向量的数量积 (提高篇)

【主要内容】

  1. 选择或建立坐标系求解问题
  2. 选择基底进行求解 【特别注意】
  3. 一般向量的综合性问题都需要建系来解决，一般选用两个垂直的向量进行建系
  4. 如何选择基底：遇到两个向量模长及其夹角就是可以作为基底，如果没有夹角，仅 有模长也可以。

向量的数量积 (提高) 【典例精练】 一、综合建系一直角坐标系 例1 已知 $\triangle A B C$ 是边长为 2 的等边三角形, $P$ 为平面 $A B C$ 内一点, 则 $\overrightarrow{P A} \cdot(\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C})$ 的最小值是 A. $-2$ B. $-\dfrac{3}{2}$ C. $-\dfrac{4}{3}$ D. $-1$ 练 $1.1$ 已知在直角梯形 $A B C D$ 中, $A B=A D=2 C D=2$, $A B / / C D, \angle A D C=90^{\circ}$, 若点 $M$ 在线段 $A C$ 上, 则 $|\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M D}|$ 的取值范围为 二、综合建系一基底思想

例2 如图, 在平面四边形 $A B C D$ 中, $A B \perp B C, A D \perp C D$, $\angle B A D=120^{\circ}, A B=A D=1$, 若点 $E$ 为边 $C D$ 上的 动点, 则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B E}$ 的最小值为 A. $\frac{21}{16}$ B. $\frac{3}{2}$ C. $\frac{25}{16}$ D. 3 练2.1 在四边形 $A B C D$ 中, $A D / / B C, A B=2 \sqrt{3}, A D=5$, $\angle A=30^{\circ}$, 点 $E$ 在线段 $C B$ 的延长线上, 且 $A E=B E$, 则 $\overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{A E}=$ 练2.2 如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $D$ 是 $B C$ 的中点, $E$ 在边 $A B$ 上, $B E=2 E A, A D$ 与 $C E$ 交于点 $O$. 若 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=$ $6 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{E C}$, 则 $\frac{A B}{A C}$ 的值是

【精准巩固】 一、综合建系一直角坐标系

  1. 设 $A, B, C$ 是半径为 1 的圆 $O$ 上的三点, 且 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{O B}$, 则 $(\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}) \cdot(\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B})$ 的最大值是 A. $1+\sqrt{2}$ $\begin{array}{lll}\text { B. } 1-\sqrt{2} & \text { C. } \sqrt{2}-1 & \text { D. } 1\end{array}$
  2. 已知在 $\triangle O A B$ 中, $O A=O B=2, A B=2 \sqrt{3}$, 动点 $P$ 位于线段 $A B$ 上, 则当 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P O}$ 取最小值时, 向量 $\overrightarrow{P A}$ 与 $\overrightarrow{P O}$ 的夹角的余弦值为
  3. 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle B C A=90^{\circ}, C B=2, C A=4, P$ 在 边 $A C$ 的中线 $B D$ 上, 则 $\overrightarrow{C P} \cdot \overrightarrow{B P}$ 的最小值为 ( ) A. $-\frac{1}{2}$ B. 0 C. 4 D. $-1$ 二、综合建系一基底思想
  4. 若等边 $\triangle A B C$ 的边长为 3 , 平面内一点 $M$ 满足 $\overrightarrow{C M}=$ $\frac{1}{3} \overrightarrow{C B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{C A}$, 则 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{M B}$ 的值为
  5. 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A=60^{\circ}, A B=3, A C=2$, 若 $\overrightarrow{B D}=$ $2 \overrightarrow{D C}, \vec{E}=\lambda \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B},(\lambda \in \mathrm{R})$, 且 $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A E}=-4$, 则 $\lambda$ 的值为
  6. 在平行四边形 $A B C D$ 中, $|\overrightarrow{A B}|=12,|\overrightarrow{A D}|=8$. 若点 $M, N$ 满足 $\overrightarrow{B M}=3 \overrightarrow{M C}, \overrightarrow{D N}=2 \overrightarrow{N C}$, 则 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{N M}=$ ( ) A. 20 B. 15 C. 36 D. 6

【过关检测】

  1. 已知在 $\triangle O A B$ 中, $O A=O B=2, A B=2 \sqrt{3}$, 动点 $P$ 位于线段 $A B$ 上, 则当 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P O}$ 取最小值时, 向量 $\overrightarrow{P A}$ 与 $\overrightarrow{P O}$ 的夹角的余弦值为

  2. 已知 $\overrightarrow{A B} \perp \overrightarrow{A C},|\overrightarrow{A B}|=\frac{1}{t},|\overrightarrow{A C}|=t$, 若点 $p$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面内一点, 且 $\overrightarrow{A P}=\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\frac{4 \overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}$, 则 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P C}$ 的最 大值等于 A. 13 B. 15 C. 19 D. 21

  3. 在平行四边形 $A B C D$ 中, $A D=1, \angle B A D=60^{\circ}, E$ 为 $C D$ 的中点. 若 $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B E}=1$, 则 $A B$ 的长为

  4. 如图, 半径为 1 的扇形 $A O B$ 中, $\angle A O B=\frac{2}{3} \pi, P$ 是弧 $A B$ 上的一点, 且满足 $O P \perp O B, M, N$ 分别是线段 $O A, O B$ 上的动点, 则 $\overrightarrow{P M} \cdot \overrightarrow{P N}$ 的最大值为 A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B. $\sqrt{3}$ C. 1 D. $\sqrt{2}$

  5. 在等腰梯形 $A B C D$ 中, 已知 $A B / / C D, A B=2, B C=1$, $\angle A B C=60^{\circ}$, 动点 $E$ 和 $F$ 分别在线段 $B C$ 和 $D C$ 上, 且 $\overrightarrow{B E}=\lambda \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{D F}=\frac{1}{9 \lambda} \overrightarrow{D C}$, 则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}$ 的最小值为

  6. 如图, 已知平面四边形 $A B C D, A B \perp B C, A B=B C=$ $A D=2, C D=3, A C$ 与 $A D$ 交于点 $O$, 记 $I_{1}=\overrightarrow{O A} .$ $\overrightarrow{O B}, I_{2}=\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O C}, I_{3}=\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O D}$, 则 A. $I_{1}<I_{2}<I_{3}$ B. $I_{1}<I_{3}<I_{2}$ C. $I_{3}<I_{1}<I_{2}$ D. $I_{2}<I_{1}<I_{3}$

  7. 已知 $O$ 为三角形 $A B C$ 的外心, $|\overrightarrow{A B}|=4,|\overrightarrow{A C}|=2$, 则 $\overrightarrow{A D} \cdot(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})=$ A. 8 B. 9 C. 10 D. 12

  8. 已知 $\triangle A B C$ 中, $A B=6, A C=3, N$ 为边 $B C$ 上的 点, 且 $\overrightarrow{B N}=2 \overrightarrow{N C}, O$ 为三角形 $A B C$ 的外心, 则 $\overrightarrow{A N}$. $\overrightarrow{A O}=$ A. 8 B. 10 C. 18 D. 9

向量题集

  1. 已知 $P$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 上的动点, $A(-1,0), O$ 为原点, 则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{O P}$ 的最大值为
  2. (2017 新课标 III 绻) 矩形 $A B C D$ 中, $A B=1, A D=2$, 动点 $P$ 在以点 $C$ 为圆心, 且与 $B D$ 相切的圆上, 若 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{A D}$, 则 $\lambda+\mu$ 的最大值为 A. 3 B. $2 \sqrt{2}$ C. $\sqrt{5}$ D. 2
  3. 矩形 $A B C D$ 中, $A B=1, A D=2$, 动点 $P$ 在以点 $C$ 为圆心, 且与 $B D$ 相切的圆上, 则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A D}$ 的取值范围为
  4. 矩形 $A B C D$ 中, $A B=1, A D=2$, 动点 $P$ 在以点 $C$ 为圆心, 且与 $B D$ 相切的圆上, 则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B D}$ 的取值范围为
  5. 设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 是同一平面上的三个单位向量, 且 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$, 则 $(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}) \cdot(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b})$ 的最大值为 A. $1+\sqrt{2}$ B. $1-\sqrt{2}$ C. $\sqrt{2}-1$ D. 1
  6. 已知 $A, B, C$ 是圆 $O: x^{2}+y^{2}=4$ 上的三点, $\angle A O B=120^{\circ}, C O$ 的延长线与线段 $A B$ 交 于点 $D$, 若 $\overrightarrow{O C}=m \overrightarrow{O A}+n \overrightarrow{O B}$, 则 $m+n$ 的取值范围为
  7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $P$ 在曲线 $\Gamma: y=\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}(x \geqslant 0)$ 上, 曲线 $\Gamma$ 与 $y$ 轴相交 于点 $C$, 点 $D(2,1)$ 和点 $E(1,0)$ 满足 $\overrightarrow{O D}=\lambda \overrightarrow{C E}+\mu \overrightarrow{O P}(\lambda, \mu \in \mathbf{R})$, 则 $\lambda+\mu$ 的最小值 为
  1. 若 $|\overrightarrow{O A}|=2,|\overrightarrow{O B}|=1, \overrightarrow{O A}$ 与 $\overrightarrow{O B}$ 夹角为 $60^{\circ}, A B$ 中点为 $M, \overrightarrow{O C}=2 \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}$, 则 $\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{O C}=$
  2. 若 $|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=1, \overrightarrow{O A}$ 与 $\overrightarrow{O B}$ 夹角为 $60^{\circ}, A B$ 中点为 $M, \overrightarrow{O C}=2 \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}$, 则 $\overrightarrow{O M}$. $\overrightarrow{O C}=$
  3. 已知 $A, B$ 是圆 $O: x^{2}+y^{2}=4$ 上的两个动点, $|\overrightarrow{A B}|=2, \overrightarrow{O C}=3 \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}$, 若 $M$ 是线 段 $A B$ 的中点, 则 $\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O M}$ 的值为
  4. 已知 $A, B$ 是圆 $O ; x^{2}+y^{2}=4$ 上的两个动点, $|\overrightarrow{A B}|=2, \overrightarrow{O C}=3 \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}$, 点 $M$ 满足 $\overrightarrow{A M}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}$, 则 $\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O M}$ 的值为 刺 满分之路 $\cdot 60$ 天高考数学极限冲剌 5. 已知动直线 $l$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 相交于 $A, B$ 两点, $|A B|=2$, 点 $C$ 满足 $\overrightarrow{C B}=\frac{5}{2} \overrightarrow{C A}$, 若 $M$ 为 $A B$ 中点, 则 $\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O M}$ 的值为 A. 3 $2 A C=2$, 则 $\overrightarrow{C E} \cdot \overrightarrow{C F}$ 的值为
  5. 若等边 $\triangle A B C$ 的边长为 3 , 平面内一点 $M$ 满足 $\overrightarrow{C M}=\frac{1}{3} \overrightarrow{C B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{C A}$, 则 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{M B}=$ A. 2 B. $-\frac{5}{12}$ C. $\frac{5}{12}$ D. $-2$
  6. (2017 凉山二诊) 设 $M, N$ 是直线 $x+y-2=0$ 上的两个动点, 且 $|M N|=\sqrt{2}$, 则 $\overrightarrow{O M}$. $\overrightarrow{O N}$ 的最小值为 A. 1 $\begin{array}{ll}\text { B. }-\frac{5}{12} & \text { C. } \frac{5}{12} \ N \text { 是直线 } x+y-2=0 \text { 上的 } \ \begin{array}{ll}\text { B. } 2 & \text { C. } \frac{5}{2}\end{array}\end{array}$ $\begin{array}{llll} & -2 & -\end{array}$
  7. 等腰直角三角形 $A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, A C=B C=1$, 点 $M, N$ 分别是 $A B, B C$ 中点, 点 $P$ 是 $\triangle A B C$ (含边界) 内任意一点, 则 $\overrightarrow{A N} \cdot \overrightarrow{M P}$ 的取值范围是 A. $\left[-\frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right]$ B. $\left[-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right]$ C. $\left[-\frac{3}{4}, \frac{1}{4}\right]$ D. $\left[\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right]$
  8. 已知 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, B C=2 \sqrt{3}, \angle B A C=120^{\circ}, \overrightarrow{B E}=3 \overrightarrow{E C}$, 若 $P$ 是边 $B C$ 上的动点 (包括端点), 则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A E}$ 的取值范围为

(2016 - 高考浙江卷: 理数) 已知向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b},|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=2$. 若 对任意单位向量 $\boldsymbol{e}$, 均有 $|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{e}|+|\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{e}| \leqslant \sqrt{6}$, 则 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 的最大值是 (2016 - 高考江苏卷: 文数) 如图,在 $\triangle A B C$中, $D$ 是 $B C$ 的中点, $E, F$ 是 $A D$ 上的两个三等分点, $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{C A}=4$, $\overrightarrow{B F} \cdot \overrightarrow{C F}=-1$, 则 $\overrightarrow{B E} \cdot \overrightarrow{C E}$ 的值是

[ 月搜次数: 99333 ] (2015 - 高考重庆卷: 文数) 已知非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{b}|=$ $4|a|$, 且 $a \perp(2 a+b)$, 则 $a$ 与 $b$ 的夹角为 A. $\frac{\pi}{3}$ B. $\frac{\pi}{2}$ C. $\frac{2 \pi}{3}$ D. $\frac{5 \pi}{6}$

[月搜次数: 107396] (2018 - 高考全国卷 I) 设抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$, 过 点 $(-2,0)$ 且斜率为 $\frac{2}{3}$ 的直线与 $C$ 交于 $M, N$ 两点, 则 $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}=$ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8