[129](2012・湖南 $\cdot 9 \cdot 9$ )
设定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 是最小正周期为 $2 \pi$ 的偶函数, $f^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数。当 $x \in$ $[0, \pi]$ 时, $0<f(x)<1$; 当 $x \in(0, \pi)$ 且 $x \neq \frac{\pi}{2}$ 时, $\left(x-\frac{\pi}{2}\right) f^{\prime}(x)>0$, 则函数 $y=f(x)-$ $\sin x$ 在 $[-2 \pi, 2 \pi]$ 上的零点个数为 $(\quad)$ 。
A. 2
B. 4
C. 5
D. 8
[130](2014 - 新课标全国ニ・11・」〕)
若函数 $f(x)=k x-\ln x$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上单 调递增, 则 $k$ 的取值范围是 ( )。
A. $(-\infty,-2]$
B. $(-\infty,-1]$
C. $[2,+\infty)$
D. $[1,+\infty)$
[131](2014 - 湖南 $\cdot 9 \cdot 9$ J ) 若 $0<x_{1}<x_{2}<1$, 则 ( )。
A. $\mathrm{e}^{x_{2}}-\mathrm{e}^{x_{1}}>\ln x_{2}-\ln x_{1}$
B. $\mathrm{e}^{x_{2}}-\mathrm{e}^{x_{1}}<\ln x_{2}-\ln x_{1}$
C. $x_{2} \mathrm{e}^{x_{1}}>x_{1} \mathrm{e}^{x_{2}}$
D. $x_{2} \mathrm{e}^{x_{1}}<x_{1} \mathrm{e}^{x_{2}}$
[132](2013·福建 $\cdot 12 \cdot 1111)$
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}, x_{0}\left(x_{0} \neq 0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值点, 以下结论一定正确的是 (
A. $\forall x \in \mathbf{R}, f(x) \leqslant f\left(x_{0}\right)$
B. $-x_{0}$ 是 $f(-x)$ 的极小值点
C. $-x_{0}$ 是 $-f(x)$ 的极小值点
D. $-x_{0}$ 是 $-f(-x)$ 的极小值点
133 (2007 - 辽宁 $\cdot 12 \cdot 111)$
已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的连续函数, 如果 $f(x)$ 与 $g(x)$ 仅当 $x=0$ 时的函数值为 0 , 且 $f(x) \geqslant g(x)$, 那么下列情形不可能出现的 是（）。
A. 0 是 $f(x)$ 的极大值, 也是 $g(x)$ 的极大值
B. 0 是 $f(x)$ 的极小值, 也是 $g(x)$ 的极小值
C. 0 是 $f(x)$ 的极大值, 但不是 $g(x)$ 的极值
D. 0 是 $f(x)$ 的极小值, 但不是 $g(x)$ 的极值
[134](2014 - 课程标准二・12・ )
设函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin \frac{\pi x}{m}$ 。若存在 $f(x)$ 的极值 点 $x_{0}$ 满足 $x_{0}^{2}+\left[f\left(x_{0}\right)\right]^{2}<m^{2}$, 则 $m$ 的取值范 围是（）。
A. $(-\infty,-6) \cup(6,+\infty)$
B. $(-\infty,-4) \cup(4,+\infty)$
C. $(-\infty,-2) \cup(2,+\infty)$
D. $(-\infty,-1) \cup(4,+\infty)$
【135】(2013 - 湖北 $\cdot 10 \cdot$ 〕
已知 $a$ 为常数, 函数 $f(x)=x(\ln x-a x)$ 有两 个极值点 $x_{1}, x_{2}\left(x_{1}<x_{2}\right)$, 则 ( )。
A. $f\left(x_{1}\right)>0, f\left(x_{2}\right)>-\frac{1}{2}$
B. $f\left(x_{1}\right)<0, f\left(x_{2}\right)<-\frac{1}{2}$
C. $f\left(x_{1}\right)>0, f\left(x_{2}\right)<-\frac{1}{2}$
D. $f\left(x_{1}\right)<0, f\left(x_{2}\right)>-\frac{1}{2}$
【136】 $(2016 \cdot$ 山东 $\cdot 10 \cdot \mathrm{JJJ})$
若函数 $y=f(x)$ 的图像上存在两点, 使得函数 的图像在这两点处的切线互相垂直, 则称 $y=$ $f(x)$ 具有 $T$ 性质。下列函数中具有 $T$ 性质的 是（）。
A. $y=\sin x$
B. $y=\ln x$
C. $y=\mathrm{e}^{x}$
D. $y=x^{3}$
[137](2012·全国 $\cdot 10 \cdot 119)$
已知函数 $y=x^{3}-3 x+c$ 的图像与 $x$ 轴恰有两 个公共点,则 $c=(\quad)$ 。
A. $-2$ 或 2
B. $-9$ 或 3
C. $-1$ 或 1
D. $-3$ 或 1
[138](2015 - 安徽 $\cdot 15 \cdot 9$ 】)
设 $x^{3}+a x+b=0$, 其中 $a, b$ 均为实数, 下列条 件中, 使得该三次方程仅有一个实根的是 (写出所有正确条件的编号)。
(1) $a=-3, b=-3$;
(2) $a=-3, b=2$;
(3) $a=-3, b>2$;
(4) $a=0, b=2$;
(5) $a=1, b=2$ 。
[139](2014 - 课程标准一・12・J」J) 已知函数 $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$, 若 $f(x)$ 存在唯一 的零点 $x_{0}$, 且 $x_{0}>0$, 则 $a$ 的取值范围是 (
A. $(2,+\infty)$
B. $(1,+\infty)$
C. $(-\infty,-2)$
D. $(-\infty,-1)$
$$
\begin{aligned}
&\text { 【140】(2018 - 江苏 } \boldsymbol{1 1} \boldsymbol{1} \boldsymbol{3} \boldsymbol{\jmath}) \
&\text { 若函数 } f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+1(a \in \mathbf{R}) \text { 在 }(0,+\infty) \
&\text { 内有且只有一个零点, 则 } f(x) \text { 在 }[-1,1] \text { 上的 } \
&\text { 最大值与最小值的和为 }
\end{aligned}
$$
[141](2013 - 课程标准二・ 10 - )
已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$, 下列结论中 错误的是 ( )。
A. $\exists x_{0} \in \mathbf{R}, f\left(x_{0}\right)=0$
B. 函数 $y=f(x)$ 的图像是中心对称图形
C. 若 $x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极小值点, 则 $f(x)$ 在区间 $\left(-\infty, x_{0}\right)$ 单调递减
D. 若 $x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极值点, 则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$
【142】 $(2016 \cdot$ 北京 $\cdot 14 \cdot 3 \mathrm{~J} \mathrm{~J})$ 设函数 $f(x)= \begin{cases}x^{3}-3 x, & x \leqslant a, \ -2 x, & x>a 。\end{cases}$
(1) 若 $a=0$, 则 $f(x)$ 的最大值为
(2) 若 $f(x)$ 无最大值, 则实数 $a$ 的取值范围是
[143](2012・福建 $\cdot 12 \cdot 1$ 】 J)
已知 $f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x-a b c, a<b<c$, 且. $f(a)=f(b)=f(c)=0$ 。现给出如下结论:
(1) $f(0) f(1)>0$; (2) $f(0) f(1)<0$;
(3) $f(0) f(3)>0$; (4) $f(0) f(3)<0$ 。
其中正确结论的序号是 ( )。
A. (1) (3) B. (1) (4) C. (2) (3) D. (2) (4)
[144](2015 - 安徽 $\cdot 10 \cdot 9110)
函数 $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ 的图像如图所 示, 则下列结论成立的是
A. $a>0, b<0, c>0, d>0$
B. $a>0, b<0, c<0, d>0$
C. $a<0, b<0, c>0, d>0$
D. $a>0, b>0, c>0, d<0$
【145】 2013 - 安徽 $\cdot 10 \cdot \boldsymbol{\jmath} \boldsymbol{\jmath} \boldsymbol{\jmath} \boldsymbol{)}$
已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ 。若 $f\left(x_{1}\right)=x_{1}<x_{2}$, 则关于 $x$ 的方程 $3(f(x))^{2}+2 a f(x)+b=0$ 的不同实根个数为 $\left(\begin{array}{llll}\text { )。 } & \text { C. } 5 & \text { D. } 6\end{array}\right.$
147(2017 - 新课标全国三 $\cdot 111 \cdot 39 \mathrm{~J})$
已知函数 $f(x)=x^{2}-2 x+a\left(\mathrm{e}^{x-1}+\mathrm{e}^{-x+1}\right)$ 有
唯一零点, 则 $a=($
$\begin{array}{llll}\text { A. }-\frac{1}{2} & \text { B. } \frac{1}{3} & \text { C. } \frac{1}{2} & \text { D. } 1\end{array}$
[148](2013·课程标准一・11 - J J)
已知函数 $f(x)=\left{\begin{array}{ll}-x^{2}+2 x, & x \leqslant 0, \ \ln (x+1), & x>0,\end{array}\right.$ 若
$|f(x)| \geqslant a x$, 则 $a$ 的取值范围是 ( )。
A. $(-\infty, 0]$
B. $(-\infty, 1]$
C. $[-2,1]$
D. $[-2,0]$
[149](2008 - 江苏 $\cdot 14 \cdot$ リ J)
设函数 $f(x)=a x^{3}-3 x+1$ 对于任 意 $x \in$
$[-1,1]$ 总有 $f(x) \geqslant 0$ 成立, 则实数 $a$ 的值为
[150 (2014・辽宁 11 \cdot 113) 当 $x \in[-2,1]$ 时, 不等式 $a x^{3}-x^{2}+4 x+3 \geqslant 0$ 恒成立, 则实数 $a$ 的取值范围是 ( )。
A. $[-5,-3]$
B. $\left[-6,-\frac{9}{8}\right]$
C. $[-6,-2]$
D. $[-4,-3]$
[151](2015 - 课程标准 $-\cdot 12 \cdot 111) 设函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}(2 x-1)-a x+a$, 其中 $a<1$, 若存在唯一的整数 $x_{0}$, 使得 $f\left(x_{0}\right)<0$, 则 $a$ 的 取值范围是 ( ）。
A. $\left[-\frac{3}{2 \mathrm{e}}, 1\right]$
B. $\left[-\frac{3}{2 \mathrm{e}}, \frac{3}{4}\right)$
C. $\left[\frac{3}{2 e}, \frac{3}{4}\right)$
D. $\left[\frac{3}{2 \mathrm{e}}, 1\right)$
[152](2011・辽宁 $\cdot 11 \cdot$ 】)
函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}, f(-1)=2$, 对任意 $x \in \mathbf{R}, f^{\prime}(x)>2$, 则 $f(x)>2 x+4$ 的解集为 ( )。
A. $(-1,1)$
B. $(-1,+\infty)$
C. $(-\infty,-1)$
D. $(-\infty,+\infty)$
【153】 $(2004$-湖南 $\cdot 12 \cdot \mathrm{J})$
设 $f(x), g(x)$ 分别是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数和偶 函数。当 $x<0$ 时, $f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)>0$, 且 $g(-3)=0$, 则不等式 $f(x) g(x)<0$ 的解集 是( )。
A. $(-3,0) \cup(3,+\infty)$
B. $(-3,0) \cup(0,3)$
C. $(-\infty,-3) \cup(3,+\infty)$
D. $(-\infty,-3) \cup(0,3)$
[154](2015 - 课程标准二・12・111)
设函数 $f^{\prime}(x)$ 是奇函数 $f(x)(x \in \mathbf{R})$ 的导函 数, $f(-1)=0$, 当 $x>0$ 时, $x f^{\prime}(x)-f(x)<0$, 则使得 $f(x)>0$ 成立的 $x$ 的取值范围是 ( )。
A. $(-\infty,-1) \cup(0,1)$
B. $(-1,0) \cup(1,+\infty)$
C. $(-\infty,-1) \cup(-1,0)$
D. $(0,1) \cup(1,+\infty)$
[156](2013 - 辽宁 $\cdot 12 \cdot 1111)
设函数 $f(x)$ 满足 $x^{2} f^{\prime}(x)+2 x f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}$, $f(2)=\frac{\mathrm{e}^{2}}{8}$, 则 $x>0$ 时, $f(x)(\quad)$ 。
A. 有极大值, 无极小值
B. 有极小值, 无极大值
C. 既有极大值又有极小值
D. 既无极大值也无极小值
[157](2009 - 天津 - 10 - \ )
设函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上的导函数为 $f^{\prime}(x)$, 且 $2 f(x)+x f^{\prime}(x)>x^{2}$, 下面的不等式在 $\mathbf{R}$ 上恒 成立的是 ( )。
A. $f(x)>0$
B. $f(x)<0$
C. $f(x)>x$
D. $f(x)<x$
[158](2012 - 浙江 $\cdot 10 \cdot 131)
设 $a>0, b>0, \mathrm{e}$ 是自然对数的底数, 则 (
A. 若 $\mathrm{e}^{a}+2 a=\mathrm{e}^{b}+3 b$, 则 $a>b$
B. 若 $\mathrm{e}^{a}+2 a=\mathrm{e}^{b}+3 b$, 则 $a<b$
C. 若 $\mathrm{e}^{a}-2 a=\mathrm{e}^{b}-3 b$, 则 $a>b$
D. 若 $\mathrm{e}^{a}-2 a=\mathrm{e}^{b}-3 b$, 则 $a<b$
[159(2012 - 辽宁 $\cdot 12 \cdot$ 》」
若 $x \in[0,+\infty)$, 则下列不等式恒成立的是 ( )。
A. $\mathrm{e}^{x} \leqslant 1+x+x^{2}$
B. $\frac{1}{\sqrt{1+x}}<1-\frac{1}{2} x+\frac{1}{4} x^{2}$
C. $\cos x \geqslant 1-\frac{1}{2} x^{2}$
D. $\ln (1+x) \geqslant x-\frac{1}{8} x^{2}$
[160](2011・湖南 $\cdot 8 \cdot \mathrm{J}$ )
设直线 $x=t$ 与函数 $f(x)=x^{2}, g(x)=\ln x$ 的 图像分别交于点 $M, N$, 则当 $|M N|$ 达到最小 时 $t$ 的值为 ( )。
A. 1
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
【161】 $(2016 \cdot$ 四川 $\cdot 9 \cdot \mathrm{J}$ 】)
设直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别是函数 $f(x)=$ $\left{\begin{array}{ll}-\ln x, & 0<x<1, \ \ln x, & x>1\end{array}\right.$ 图像上点 $P_{1}, P_{2}$ 处的切 线, $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直相交于点 $P$, 且 $l_{1}, l_{2}$ 分别与 $y$ 轴相交于点 $A, B$, 则 $\triangle P A B$ 的面积的取值范 围是 ( )。
A. $(0,1)$
B. $(0,2)$
C. $(0,+\infty)$
D. $(1,+\infty)$
[162](2011 - 江苏 $\cdot 12 \cdot 3$ 】)
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知 $P$ 是函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}(x>0)$ 的图像上的动点, 该图像在 $P$ 处的切线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $M$, 过点 $P$ 作 $l$ 的垂线 交 $y$ 轴于点 $N$, 设线段 $M N$ 的中点的纵坐标 为 $t$, 则 $t$ 的最大值是
【163】 $(2009 \cdot$ 陕西 $\cdot 12 \cdot$ 】 J)
设曲线 $y=x^{n+1}\left(n \in \mathbf{N}^{+}\right)$在点 $(1,1)$ 处的切线 与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $x_{n}$, 则 $x_{1} x_{2} \cdots x_{n}$ 等 于 ( )。
A. $\frac{1}{n}$
B. $\frac{1}{n+1}$
C. $\frac{n}{n+1}$
D. 1
164 已知曲线 $y=x+\ln x$ 在点 $(1,1)$ 处的切线与曲 线 $y=a x^{2}+(a+2) x+1$ 相切, 则 $a=$
[165](2009 - 江西 $\cdot 12 \cdot \mathrm{J}$ )
若存在过点 $(1,0)$ 的直线与曲线 $y=x^{3}$ 和 $y=$ $a x^{2}+\frac{15}{4} x-9$ 都相切, 则 $a$ 等于 ( )。
A. $-1$ 或 $-\frac{25}{64}$
B. $-1$ 或 $\frac{21}{4}$
C. $-\frac{7}{4}$ 或 $-\frac{25}{64}$
D. $-\frac{7}{4}$ 或 7
[166](2016 - 新课标全国二・16・J」J) 若直线 $y=k x+b$ 是曲线 $y=\ln x+2$ 的切线, 也是曲线 $y=\ln (x+1)$ 的切线, 则 $b=$
167
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x$ ( $a$ 为常数) 的图像与 $y$ 轴交于点 $A$, 曲线 $y=f(x)$ 在点 $A$ 处的切线斜率 为 $-1$ 。
(1) 求 $a$ 的值及函数 $f(x)$ 的极值;
(2) 证明: 当 $x>0$ 时, $x^{2}<\mathrm{e}^{x}$ 。
[168](2010・全国一・20 - J J J)
已知函数 $f(x)=(x+1) \ln x-x+1$ 。
(1) 若 $x f^{\prime}(x) \leqslant x^{2}+a x+1$, 求 $a$ 的取值范围;
(2) 证明: $(x-1) f(x) \geqslant 0$ 。
[169](2018 - 新课标全国一・21 - 〕)
已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x}-\ln x-1$ 。
(1) 设 $x=2$ 是 $f(x)$ 的极值点, 求 $a$, 并求 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 证明: 当 $a \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$ 时, $f(x) \geqslant 0$ 。
[170](2018 - 新课标全国三 $\cdot 21 \cdot 3$ J)
已知函数 $f(x)=\frac{a x^{2}+x-1}{\mathrm{e}^{x}}$ 。
(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,-1)$ 处的切线 方程;
(2) 证明: 当 $a \geqslant 1$ 时, $f(x)+\mathrm{e} \geqslant 0$ 。
171 设函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x} \ln x+\frac{b \mathrm{e}^{x-1}}{x}$, 曲线 $y=f(x)$ 在 点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=\mathrm{e}(x-1)+2$ 。 (1) 求 $a, b$;
(2) 证明: $f(x)>1$ 。
[172](2013 - 新课标全国二・21 - IJJ)
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-\ln (x+m)$ 。
(1) 设 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点, 求 $m$, 并讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 当 $m \leqslant 2$ 时, 证明 $f(x)>0$ 。
$\mathrm{~ 【 1 7 3 】 ( 2 0 1 7 ~ - ~ 新 课 标 全 国 二 ・ 2 1 ~ ~ \ 」}$ 已知函数 $f(x)=a x^{2}-a x-x \ln x$, 且 $f(x) \geqslant 0$ 。 (1) 求 $a$;
(2) 证明: $f(x)$ 存在唯一的极大值点 $x_{0}$, 且 $\mathrm{e}^{-2}<f\left(x_{0}\right)<2^{-2}$ 。
174 已知函数 $f(x)=\ln x+a x^{2}+(2 a+1) x$ 。 (1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 当 $a<0$ 时, 证明: $f(x) \leqslant-\frac{3}{4 a}-2$ 。
[175](2017 - 北京 $\cdot 19 \cdot$ 】
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x} \cos x-x$ 。
(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线 方程;
(2) 求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和 最小值。
[176](2011 - 江西 $\cdot 20 \cdot 31$ )
设 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+m x^{2}+n x$ 。
(1) 如果 $g(x)=f^{\prime}(x)-2 x-3$ 在 $x=-2$ 处 取得最小值 $-5$, 求 $f(x)$ 的解析式;
(2) 如果 $m+n<10\left(m, n \in \mathbf{N}^{+}\right), f(x)$ 的单调 递减区间的长度是正整数, 试求 $m$ 和 $n$ 的值。 (注: 区间 $(a, b)$ 的长度为 $b-a_{0}$ )
[177](2013・新课标全国ニ・21・」 )
已知函数 $f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{-x}$ 。
(1) 求 $f(x)$ 的极小值和极大值;
(2) 当曲线 $y=f(x)$ 的切线 $l$ 的斜率为负数
时, 求 $l$ 在 $x$ 轴上截距的取值范围。
178 已知函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-a\left(x^{2}+x+1\right)$ 。
(1) 若 $a=3$, 求 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 证明: $f(x)$ 只有一个零点。
[179](2010 - 新课标全国・21・」」) 设函数 $f(x)=x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)-a x^{2}$ 。
（1）若 $a=\frac{1}{2}$, 求 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 若当 $x \geqslant 0$ 时 $f(x) \geqslant 0$, 求 $a$ 的取值范围。
【180】(2010 - 全国新课标 $\cdot 21 \cdot$ J
设函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-1-x-a x^{2}$ 。
(1) 若 $a=0$, 求 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 若当 $x \geqslant 0$ 时, $f(x) \geqslant 0$, 求 $a$ 的取值范围。
181
设函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right) \mathrm{e}^{x}$ 。
(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 当 $x \geqslant 0$ 时, $f(x) \leqslant a x+1$, 求 $a$ 的取值范围。
[182]2007 - 全国一 $\cdot \mathbf{2 0} \cdot \mathbf{J} \mathbf{J})$
设函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}$ 。
(1) 证明: $f(x)$ 的导数 $f^{\prime}(x) \geqslant 2$;
(2) 若对所有 $x \geqslant 0$ 都有 $f(x) \geqslant a x$, 求 $a$ 的取 值范围。
183
已知函数 $f(x)=(x+1) \ln x-a(x-1)$ 。
(1) 当 $a=4$ 时, 求曲线 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$
处的切线方程;
(2) 若当 $x \in(1,+\infty)$ 时, $f(x)>0$, 求 $a$ 的取 值范围。
[184](2006 - 全国二・20 - JJ) 设函数 $f(x)=(x+1) \ln (x+1)$ 。若对所有的 $x \geqslant 0$, 都有 $f(x) \geqslant a x$ 成立, 求实数 $a$ 的取值 范围。
[185](2018 - 北京 $\cdot 18 \cdot$ 】 ) 设函数 $f(x)=\left[a x^{2}-(4 a+1) x+4 a+3\right] \mathrm{e}^{x}$ 。 (1) 若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线 与 $x$ 轴平行, 求 $a$;
(2) 若 $f(x)$ 在 $x=2$ 处取得极小值, 求 $a$ 的取 值范围。
186
已知函数 $f(x)=\ln x+a(1-x)$ 。
(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 当 $f(x)$ 有最大值且最大值大于 $2 a-2$ 时, 求 $a$ 的取值范围。
[187](2017 - 新课标全国一・21 - J」)
已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{2 x}+(a-2) \mathrm{e}^{x}-x$ 。
(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 若 $f(x)$ 有两个零点, 求 $a$ 的取值范围。
[188](2018 - 新课标全国三 $21.1 \cdot 3$ J)
已知函数 $f(x)=\left(2+x+a x^{2}\right) \ln (1+x)-2 x$ 。
若 $a=0$, 证明：当 $-1<x<0$ 时, $f(x)<0$; 当
$x>0$ 时, $f(x)>0$ 。
[189](2018 - 新课标全国二・21 - J )
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x^{2}$ 。
（1）若 $a=1$, 证明: 当 $x \geqslant 0$ 时, $f(x) \geqslant 1$;
(2) 若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 只有一个零, 求 $a$ 。
[190](2015 - 新课标全国二・21 - \J) 设函数 $f(x)=\mathrm{e}^{m x}+x^{2}-m x$ 。
(1) 证明: $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减, 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增;
(2) 若对于任 意 $x_{1}, x_{2} \in[-1,1]$, 都有 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leqslant \mathrm{e}-1$, 求 $m$ 的取值范围。
[191](2014・新课标全国一・21 - J」)
设函数 $f(x)=a \ln x+\frac{1-a}{2} x^{2}-b x(a \neq 1)$, 曲 线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线斜率为 0 。
(1) 求 $b$;
(2) 若存在 $x_{0} \geqslant 1$, 使得 $f\left(x_{0}\right)<\frac{a}{a-1}$, 求 $a$ 的 取值范围。
[192](2013 - 新课标全国一 $\cdot 21 \cdot \mathrm{JJ}$ )
设函数 $f(x)=x^{2}+a x+b, g(x)=\mathrm{e}^{x}(c x+d)$ 。 若曲线 $y=f(x)$ 和曲线 $y=g(x)$ 都过点 $P(0,2)$, 且在点 $P$ 处有相同的切线 $y=4 x+2$ 。
(1) 求 $a, b, c, d$ 的值;
(2) 若 $x \geqslant-2$ 时, $f(x) \leqslant k g(x)$, 求 $k$ 的取值 范围。
193
已知函数 $f(x)=\frac{a \ln x}{x+1}+\frac{b}{x}$, 曲线 $y=f(x)$ 在 点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $x+2 y-3=0$ 。 (1) 求 $a, b$ 的值;
(2) 如果当 $x>0$, 且 $x \neq 1$ 时, $f(x)>\frac{\ln x}{x-1}+$ $\frac{k}{x}$, 求 $k$ 的取值范围。
[194](2015 - 新课标全国一 $\cdot 21 \cdot 3$ 】)
设函数 $f(x)=\mathrm{e}^{2 x}-a \ln x$ 。
(1) 讨论 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 零点的个数;
(2) 证明: 当 $a>0$ 时, $f(x) \geqslant 2 a+a \ln \frac{2}{a}$ 。
[195](2016 - 新课标全国三 $\cdot 21 \cdot \mathrm{J})$
设函数 $f(x)=\ln x-x+1$ 。
(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 证明当 $x \in(1,+\infty)$ 时, $1<\frac{x-1}{\ln x}<x$;
(3) 设 $c>1$, 证明当 $x \in(0,1)$ 时, $1+(c-1) x>c^{x}$ 。
[196](2014・新课标全国二・21・」1 )
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}-2 x$ 。
(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 设 $g(x)=f(2 x)-4 b f(x)$, 当 $x>0$ 时, $g(x)>0$, 求 $b$ 的最大值;
(3) 已知 $1.4142<\sqrt{2}<1.4143$, 估计 $\ln 2$ 的近 似值 (精确到 0.001)。
[197](2017 - 新课标全国三 $\cdot 21 \cdot$ 】 J)
已知函数 $f(x)=x-1-a \ln x$ 。
(1) 若 $f(x) \geqslant 0$, 求 $a$ 的值;
(2) 设 $m$ 为整数, 且对于任意正整数 $n$, $\left(1+\frac{1}{2}\right) \cdot\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)<m$, 求 $m$ 的最 小值。
[198](2014 - 湖北 $\cdot 22 \cdot 1111)
$\pi$ 为圆周率, $\mathrm{e}=2.71828 \cdots \cdots$ 为自然对数的 底数。
(1) 求函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 的单调区间;
(2) 求 $\mathrm{e}^{3}, 3^{\mathrm{e}}, \mathrm{e}^{\pi}, \pi^{\mathrm{e}}, 3^{\pi}, \pi^{3}$ 这 6 个数中的最大 数与最小数;
(3) 将 $\mathrm{e}^{3}, 3^{\mathrm{e}}, \mathrm{e}^{\pi}, \pi^{\mathrm{e}}, 3^{\pi}, \pi^{3}$ 这 6 个数按从小到 大的顺序排列, 并证明你的结论。
[202](2016 - 新课标全国二・21・」 IJ)
(1) 讨论函数 $f(x)=\frac{x-2}{x+2} \mathrm{e}^{x}$ 的单调性, 并证 明当 $x>0$ 时,$(x-2) \mathrm{e}^{x}+x+2>0$;
(2) 证明: 当 $a \in[0,1)$ 时, 函数 $g(x)=$ $\frac{\mathrm{e}^{x}-a x-a}{x^{2}}(x>0)$ 有最小值。设 $g(x)$ 的最小 值为 $h(a)$, 求函数 $h(a)$ 的值域。
[199](2012·新课标全国 $\cdot 21 \cdot 3$ 】】)
设函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x-2$ 。
(1) 求 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 若 $a=1, k$ 为整数, 且当 $x>0$ 时, $(x-k) f^{\prime}(x)+x+1>0$, 求 $k$ 的最大值。
200 已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f^{\prime}(1) \mathrm{e}^{x-1}-f(0) x+$ $\frac{1}{2} x^{2}$ 。
(1) 求 $f(x)$ 的解析式及单调区间;
(2) 若 $f(x) \geqslant \frac{1}{2} x^{2}+a x+b$, 求 $(a+1) b$ 的最 大值。
[201](2016 - 新课标全国三 $\cdot 21 \cdot$ 】 \」) 设函数 $f(x)=\alpha \cos 2 x+(\alpha-1)(\cos x+1)$, 其 中 $\alpha>0$, 记 $|f(x)|$ 的最大值为 $A$ 。
(1) 求 $f^{\prime}(x)$;
(2) 求 $A$;
(3) 证明: $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2 A$ 。
[203](2015 - 新课标全国一.21 - 1】J) 已知函数 $f(x)=x^{3}+a x+\frac{1}{4}, g(x)=-\ln x$ 。
(1) 当 $a$ 为何值时, $x$ 轴为曲线 $y=f(x)$ 的 切线;
（2）用 $\min {m, n}$ 表示 $m, n$ 中的最小值, 设函 数 $h(x)=\min {f(x), g(x)}(x>0)$, 讨论 $h(x)$ 零点的个数。
(2016·新课标全国一・21 - JJJ ) 已知函数 $f(x)=(x-2) \mathrm{e}^{x}+a(x-1)^{2}$ 有两个 零点。
(1) 求 $a$ 的取值范围;
(2) 设 $x_{1}, x_{2}$ 是 $f(x)$ 的两个零点, 证明: $x_{1}+$ $x_{2}<2$ 。
$(2018$ - 新课标全国一・21 - 111$)$
已知函数 $f(x)=\frac{1}{x}-x+a \ln x$ 。
(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$, 证明: $\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}<a-2 。$