la-zusammenfassung.tm

<TeXmacs|1.0.7.10>

<style|generic>

<\body>
  <section|Grundbegriffe der Algebra>

  <subsection|Gruppen>

  <\definition>
    Eine <strong|Gruppe> <math|<around*|(|G\<nocomma\>\<nocomma\>,\<circ\>|)>>
    ist eine Menge mit einer Abbildung <math|\<circ\>:
    G\<times\>G\<longrightarrow\>G>, sodass gilt:

    <\description>
      <item*|Assoziativgesetz><math|<around*|(|a\<circ\>b|)>\<circ\>c =
      a\<circ\><around*|(|b\<circ\>c|)>>

      <item*|Neutrales Element><math|\<exists\>> Element <math|e\<in\>G>,
      sodass <math|e\<circ\>a=a> für alle <math|a\<in\>G>

      <item*|Inverses Element>Für alle Elemente <math|a\<in\>G> existiert das
      Inverse <math|a<rprime|'>>: <math|a\<circ\>a<rprime|'>=e>
    </description>

    Bei endlichen Mengen <math|A> wird die Verknüpfung <math|\<circ\>> auf
    <math|A> oft durch eine Verknüfungstafel angegeben.
  </definition>

  <\definition>
    Die <strong|symmetrische Gruppe> / <strong|Permutationsgruppe>
    <math|S<rsub|n>> ist die Menge aller Permutationen der Menge
    <math|<around*|{|1,2,\<ldots\>,n|}>>

    Es gilt <math|<around*|\||S<rsub|n>|\|>=n!>
  </definition>

  <\definition>
    Eine Gruppe heisst <strong|kommutativ> oder <strong|abelsch>, falls
    <math|a\<circ\>b=b\<circ\>a> für alle <math|a,b\<in\>G>.
  </definition>

  <\theorem>
    Eine nichtleere Menge <math|G> mit einer Verknüpfung <math|\<circ\>> ist
    genau dann eine Gruppe, wenn <math|\<circ\>> assoziativ ist und zu je
    zwei Elementen <math|a,b\<in\>G> ein <math|x\<in\>G> mit <math|x*a=b> und
    ein <math|y\<in\>G> mit <math|a*y=b> existiert. <math|x> und <math|y>
    sind dann eindeutig bestimmt.
  </theorem>

  <\corollary>
    Eine endliche Menge <math|G> mit einer Verknüfung ist genau dann eine
    Gruppe, wenn <math|\<circ\>> assozivativ ist und in der Verknüfungstafel
    jedes Element von <math|G> in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal
    auftritt.
  </corollary>

  <\definition>
    Eine nichtleere Teilmenge <math|G<rprime|'>> von <math|G> heisst
    <strong|Untergruppe> von <math|G>, falls gilt:

    <\enumerate-numeric>
      <item><math|a,b\<in\>G<rprime|'> \<Rightarrow\>
      a\<cdot\>b\<in\>G<rprime|'>>

      <item><math|a\<in\>G<rprime|'> \<Rightarrow\> a<rsup|-1> \<in\>
      G<rprime|'>>
    </enumerate-numeric>

    <math|G<rprime|'>> ist dann selbst eine Gruppe. Notation:
    <math|G*<rprime|'>\<less\> G>.

    Es gilt: <math|G<rprime|'>\<less\>G \<Leftrightarrow\>> mit <math|x> und
    <math|y> gehört stets auch <math|x*y<rsup|-1>> zu <math|G<rprime|'>>
  </definition>

  <\definition>
    Eine lineare Abbildung <math|f:A\<longrightarrow\>A<rprime|'>> zwischen
    zwei Gruppen <math|<around*|(|A,\<cdot\>|)>> und
    <math|<around*|(|A<rprime|'>,\<ast\>|)>> heisst
    <strong|(Gruppen)-Homomorphismus>, falls
    <math|f<around*|(|x\<cdot\>y|)>=f<around*|(|x|)>\<ast\>f<around*|(|y|)>>
    für alle <math|x,y\<in\>A>

    Ist <math|f> bijektiv, so heisst <math|f> <strong|Isomorphismus,> und
    <math|A> und <math|A<rprime|'>> heissen <strong|isomorph:>
    <math|A\<cong\>A<rprime|'>>.

    Ein Isomorphismus von eine Gruppe in sich selbst heisst
    <strong|Automorphismus.>
  </definition>

  <\remark>
    Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe von <math|S<around*|(|X|)>>
    (der symmetrischen Gruppe der Menge <math|X>) für eine geeignete Menge
    <math|X>.
  </remark>

  <\remark>
    Ist <math|f:A\<longrightarrow\>A<rprime|'>> ein Gruppenhomomorphismus, so
    gilt:

    <\enumerate-numeric>
      <item><math|f<around*|(|e|)> = e<rprime|'>>

      <math|<around*|(|f<around*|(|x|)>|)><rsup|-1>=f<around*|(|x<rsup|-1>|)>>

      <item><math|Bild f \<less\> A<rprime|'>>

      <math|Kern f \<less\> A>

      <item><math|f> ist surjektiv <math|\<Leftrightarrow\>>
      <math|f<around*|(|A|)>=A<rprime|'>>

      <math|f> ist injektiv <math|\<Leftrightarrow\>> <math|Kern f=e>
    </enumerate-numeric>
  </remark>

  <\remark>
    Für alle <math|y\<in\>Kern f> und alle <math|x\<in\>A> gilt:

    <\equation*>
      x*y*x<rsup|-1>\<in\>Kern f
    </equation*>

    d.h. <math|Kern f> ist invariant unter allen Abbildungen
    <math|y\<longrightarrow\>x*y*x<rsup|-1>>.
  </remark>

  <\definition>
    Eine Untergruppe <math|B> von <math|A> heisst <strong|Normalteiler> von
    <math|A> (<math|B\<vartriangleleft\>A>), falls für alle <math|x\<in\>A>
    und alle <math|y\<in\>B> gilt: <math|x*y*x<rsup|-1>\<in\>B>

    <em|Beispiele:> <math|A\<vartriangleleft\>A>,
    <math|<around*|{|e|}>\<vartriangleleft\>A>, <math|Kern
    f\<vartriangleleft\>A>

    Jede Untergruppe einer <em|abelschen Gruppe> ist automatisch ein
    Normalteiler!
  </definition>

  <\theorem>
    Sei <math|<around*|(|A,\<cdot\>|)>> Gruppe und <math|B\<less\>A>
    Untergruppe. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

    <\enumerate-numeric>
      <item><math|B> ist Normalteiler von <math|A>
      (<math|B\<vartriangleleft\>A>)

      <item>Für alle <math|x\<in\>A> gilt:
      <math|x\<cdot\>B\<cdot\>x<rsup|-1>=B>

      <item>Für alle <math|x\<in\>A> gilt: <math|x\<cdot\>B=B\<cdot\>x>

      <item>Für alle <math|x,x<rprime|'>,y,y<rprime|'>\<in\>B> gilt:
      <math|<around*|(|x<rprime|'>\<cdot\>x<rsup|-1>
      \<in\>B\<nocomma\>\<nocomma\>,y<rprime|'>\<cdot\>y<rsup|-1>\<in\>B|)>\<Rightarrow\>x<rprime|'>\<cdot\>y<rprime|'>\<cdot\>x<rsup|-1>\<cdot\>y<rsup|-1>\<in\>B>
    </enumerate-numeric>
  </theorem>

  <\theorem>
    Ist <math|A> Gruppe, <math|B\<vartriangleleft\>A> Normalteiler, so ist
    <math|A/<rsub|B>=A/<rsub|\<sim\>>> mit
    <math|<around*|[|x|]>\<cdot\><around*|[|y|]>=<around*|[|x\<cdot\>y|]>>
    bezüglich der Äquivalenzrelation

    <\equation*>
      x\<sim\>y\<Leftrightarrow\> x\<cdot\>y<rsup|-1>\<in\>B
    </equation*>

    eine Gruppe, die sogenannte <strong|Quotienten-> oder
    <strong|Faktorgruppe> von A nach B.
  </theorem>

  <\theorem>
    <strong|(Homomorphiesatz für Gruppen)> Sind
    <math|<around*|(|A,\<cdot\>|)>> und <math|<around*|(|A<rprime|'>,\<ast\>|)>>
    Gruppen und <math|f:A\<longrightarrow\>A<rprime|'>> Homomorphismus, so
    gilt:

    <\enumerate-alpha>
      <item>Die kanonische Projektion <math|\<pi\>:
      A\<longrightarrow\>A/<rsub|Kern f>\<nocomma\>>,
      <math|x\<longrightarrow\><around*|[|x|]>> ist Homomorphismus.

      <item>Es existiert eine Injektion <math|<wide|f|~>:A/<rsub|Kern
      f>\<longrightarrow\>A<rprime|'>> mit <math|f=<wide|f|~>\<circ\>\<pi\>>.
      und <math|<wide|f|~>> ist Homomorphismus.

      <item>Ist <math|f> surjektiv, so gilt <math|A/<rsub|Kern f>\<cong\>
      A<rprime|'>>.
    </enumerate-alpha>
  </theorem>

  <\corollary>
    <math|A/<rsub|Kern f>\<cong\>f<around*|(|A|)>=Bild >f
  </corollary>

  <subsection|Körper und Ringe>

  <\definition>
    Ein <strong|Körper> <math|<around*|(|K,+,\<cdot\>|)>> ist eine Menge
    <math|K> mit zwei Verknüpfungen <math|+> (\RAddition``) und
    <math|\<cdot\>> (\RMultiplikation``), sodass gilt:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|<around*|(|K,+|)>> ist eine abelsche Gruppe, deren
      neutrales Element mit <math|0> bezeichnet wird.

      <item><math|<around*|(|K\<backslash\><around*|{|0|}>\<nocomma\>*,\<cdot\>|)>>
      ist eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element mit <math|1>
      bezeichnet wird.

      <item><math|+> und <math|\<cdot\>> erfüllen die Distributivgesetze:

      <math|x\<cdot\><around*|(|y+z|)>=x\<cdot\>y+x\<cdot\>z>,
      <math|<around*|(|x+y|)>\<cdot\>z=x\<cdot\>z+y\<cdot\>z>
    </enumerate-alpha>
  </definition>

  <subsubsection|Restklassenkörper>

  Sei <math|\<sim\>> die Äquivalenzrelation <math|x\<sim\>y
  \<Leftrightarrow\>> <math|x> und <math|y> haben den gleichen Rest bei
  Division durch <math|m\<in\>\<bbb-Z\>>.

  <\definition>
    <math|\<bbb-Z\><rsub|m> \<assign\> \<bbb-Z\>/<rsub|\<sim\>>>
  </definition>

  <\remark>
    <math|\<bbb-Z\><rsub|m>> kann mit <math|<around*|{|<around*|[|0|]>\<nocomma\>,<around*|[|1|]>,\<ldots\>,<around*|[|m-1|]>|}>>
    identifiziert werden und <em|als Menge> auch mit
    <math|<around*|{|0,1,\<ldots\>,m-1|}>>.

    Für <math|x\<sim\>y> in <math|\<bbb-Z\><rsub|m>> schreibt man auch
    <math|x\<equiv\>y mod m>
  </remark>

  <\theorem>
    Definiere <math|<around*|(|\<bbb-Z\><rsub|m>,+,\<cdot\>|)>> mit
    <math|<around*|[|x|]>+<around*|[|y|]>=<around*|[|x+y|]>>,
    <math|<around*|[|x|]>\<cdot\><around*|[|y|]>=<around*|[|x\<cdot\>y|]>>.
    Dann ist dies genau dann ein Körper (<strong|Restklassenkörper>), wenn
    <math|m> eine Primzahl ist. Man schreibt in diesem Falle
    <math|\<bbb-Z\><rsub|m>=:\<bbb-F\><rsub|m>>.

    (Ansonsten ist <math|\<bbb-Z\><rsub|m>> ein kommutativer Ring mit Eins,
    der sogenannte <strong|Restklassenring>).
  </theorem>

  <subsubsection|Körperhomomorphismen>

  <\definition>
    Eine Abbildung <math|f:K\<longrightarrow\>K<rprime|'>> zwischen zwei
    Körpern <math|K> und <math|K<rprime|'>> heisst <strong|(Körper-)
    Homomorphismus>, falls gilt:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|f<around*|(|x+y|)>=f<around*|(|x|)>+<rprime|'>f<around*|(|y|)>>

      <item><math|f<around*|(|x\<cdot\>y|)>=f<around*|(|x|)>\<cdot\><rprime|'>f<around*|(|y|)>>

      <item><math|f<around*|(|1|)>=1<rprime|'>>
    </enumerate-alpha>
  </definition>

  <\remark>
    Ist <math|K> ein Körper mit <math|<around*|\||K|\|>=p>, <math|p>
    Primzahl, so gilt <math|K*\<cong\>\<bbb-F\><rsub|p>>.

    Wenn <math|c> die kleinste Zahl ist, für die im Körper <math|K> gilt:
    <math|<wide*|1+1+\<ldots\>+1|\<wide-underbrace\>><rsub|c-mal>=0>, dann
    heisst <math|c> die <strong|Charakteristik> des Körpers <math|K>. Falls
    keine solche Zahl existiert, hat der Körper <math|K> die Charakteristik
    0. Beispielsweise haben <math|\<bbb-R\>>, <math|\<bbb-C\>> und
    <math|\<bbb-Q\>> die Charakteristik <math|0>.
  </remark>

  <subsubsection|Ringe>

  <\definition>
    Ein <strong|Ring> <math|<around*|(|R,+,\<cdot\>|)>> ist eine Menge
    <math|R> mit zwei Verknüpfungen <math|+> und <math|\<cdot\>>, sodass
    gilt:

    <\description>
      <item*|R1><math|<around*|(|R,+|)>> ist abelsche Gruppe.

      <item*|R2><math|<around*|(|R,\<cdot\>|)>> ist <strong|Halbgruppe,> d.h.
      eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, die abgeschlossen
      bezüglich dieser Verknüpfung ist.

      <item*|R3 (Distributivgesetze)>Es gelten die beiden Distributivgesetze
      analog zu Körpern.
    </description>

    Ist <math|<around*|(|R,\<cdot\>|)>> kommutativ, dann heisst <math|R>
    <strong|kommutativer Ring>. Besitzt <math|<around*|(|R,\<cdot\>|)>> auch
    ein neutrales Element, so spricht man von einem <strong|kommutativen Ring
    mit Einselement>
  </definition>

  <\remark>
    Jeder Körper ist ein kommutativer Ring mit Eins.

    <math|\<bbb-Z\><rsub|m>> ist ein kommutativer Ring mit Eins.

    Für <math|m\<gtr\>1> ist <math|m\<bbb-Z\>=<around*|{|m*z <mid|\|>
    z\<in\>\<bbb-Z\>|}>> ein kommutativer Ring <em|ohne> Eins.
  </remark>

  <subsubsection|Matrizen>

  <\definition>
    <math|\<bbb-K\><rsup|m\<times\>n> \<assign\>
    <around*|{|m\<times\>n<with|mode|text|-Matrizen über >\<bbb-K\>|}>>
  </definition>

  <\remark>
    <math|\<bbb-K\><rsup|m\<times\>n>> ist bezüglich komponentenweiser
    Addition eine abelsche Gruppe.
  </remark>

  <\definition>
    Sind <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|m\<times\>n>> und
    <math|B\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>k>>, so heisst die
    <math|m\<times\>k>-Matrix <math|<around*|(|c<rsub|i*j>|)>> mit

    <\equation*>
      c<rsub|i*j>=<big-around|\<sum\>|<rsub|l=1><rsup|n>a<rsub|i*l>\<cdot\>b<rsub|l*j>>
    </equation*>

    das Produkt <math|A\<cdot\>B> von <math|A> und <math|B>.
  </definition>

  <\theorem>
    Die Multiplikation von Matrizen hat die folgenden Eigenschaften:

    <\description>
      <item*|Assoziativität><math|<around*|(|A*B|)>*C=A*<around*|(|B*C|)>>

      <item*|Distributivität><math|<around*|(|A+B|)>*C=A*C+B*C> und
      <math|A*<around*|(|B+C|)>=A*B+A*C>

      <item*|Neutrales Element><math|E<rsub|n>*A=A*E<rsub|n>=A>
    </description>
  </theorem>

  <\corollary>
    <math|\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>> bildet einen (i.A. <em|nicht>
    kommutativen) Ring mit Eins.
  </corollary>

  <\remark>
    Für kein <math|n\<geqslant\>2> und keinen Körper <math|\<bbb-K\>> ist
    <math|\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>> ein Körper!
  </remark>

  <\definition>
    Existiert zu <math|A\<in\>K<rsup|n\<times\>n>> ein multiplikatives
    Inverses <math|A<rprime|'>>, so heisst <math|A> <strong|invertierbar>
    oder <strong|regulär>. Dann gilt <math|A*A<rprime|'>=A<rprime|'>*A=E<rsub|n>>
    und man schreibt auch <math|A<rprime|'>=A<rsup|-1>>.

    Ist <math|A> nicht invertierbar, so heisst <math|A> <strong|singulär>.

    Die Menge <math|GL<around*|(|n,\<bbb-K\>|)>> aller invertierbaren
    <math|n\<times\>n>-Matrizen bildet bezüglich der Matrixmultiplikation
    eine (i.A. nicht abelsche) Gruppe, die <strong|allgemeine lineare Gruppe>
    über <math|\<bbb-K\>>.

    Für <math|n\<geqslant\>2> ist auch <math|GL<around*|(|n,\<bbb-K\>|)>>
    niemals ein Körper.
  </definition>

  <\definition>
    Für <math|A=<around*|(|<around*|(|a<rsub|i*j>|)>|)>\<in\>K<rsup|m\<times\>n>>
    ist die <strong|Transponierte> <math|A<rsup|\<top\>>> von <math|A> die
    Matrix <math|B\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>m>> mit
    <math|b<rsub|i*j>=a<rsub|j*i>>.
  </definition>

  <\remark>
    Für das Transponieren von Matrizen gilt:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|<around*|(|A<rsup|\<top\>>|)><rsup|\<top\>>=A>

      <item><math|<around*|(|A+B|)><rsup|\<top\>>=A<rsup|\<top\>>+B<rsup|\<top\>>>

      <item><math|<around*|(|A*B|)><rsup|\<top\>>=B<rsup|\<top\>>\<cdot\>A<rsup|\<top\>>>
      (!)

      <item><math|A> invertierbar <math|\<Leftrightarrow\>>
      <math|A<rsup|\<top\>>> invertierbar, und
      <math|<around*|(|A<rsup|\<top\>>|)><rsup|-1> =
      <around*|(|A<rsup|-1>|)><rsup|\<top\>>>
    </enumerate-alpha>
  </remark>

  <\definition>
    <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>m>> heisst <strong|symmetrisch>,
    falls <math|A=A<rsup|\<top\>>> (dann also auch <math|n=m>)
  </definition>

  <\remark>
    Die Definitionen und Rechenregeln für Matrizen ergeben auch Sinn, wenn
    <math|\<bbb-K\>> kein Körper ist, sondern ein kommutativer Ring mit Eins.
  </remark>

  <subsubsection|Polynome>

  <\definition>
    Ein <strong|Polynom> über einem Körper <math|\<bbb-K\>> ist eine
    <em|endliche> Folge aus <math|\<bbb-K\><rsup|\<bbb-N\><rsub|0>>> von
    Körperelementen <math|a<rsub|i>\<in\>\<bbb-K\>>, d.h.

    <\equation*>
      p=<around*|(|a<rsub|0>,a<rsub|1>,\<ldots\>,a<rsub|n>,0,0,0,\<ldots\>|)>
    </equation*>

    Schreibweise: <math|p=<around*|(|a<rsub|i>|)><rsub|i\<in\>\<bbb-N\><rsub|0>>>
    oder <math|p=<big-around|\<sum\>|<rsub|i=0><rsup|\<infty\>>a<rsub|i>*X<rsup|i>>>
    oder <math|p=<big-around|\<sum\>|<rsub|i=0><rsup|n>a<rsub|i>*X<rsup|i>>>.

    Das Polynom <math|<around*|(|0,0,0,\<ldots\>|)>=:0> heisst
    <strong|Nullpolynom>.

    Für <math|p\<neq\>0> heisst das grösste <math|n\<in\>\<bbb-N\><rsub|0>>
    mit <math|a<rsub|n>\<neq\>0> der <strong|Grad> des Polynoms
    <math|<around*|(|Grad p|)>>. Das Nullpolynom hat per Definition den Grad
    <math|-1>.

    Ein Polynom <math|p> heisst <strong|normiert>, wenn <math|Grad p=n> und
    <math|a<rsub|n>=1>.
  </definition>

  <\definition>
    <math|\<bbb-K\><around*|[|X|]> \<assign\>
    <around*|{|<with|mode|text|Polynome über> \<bbb-K\>|}>>. Für
    <math|p=<around*|(|a<rsub|i>|)>,q=<around*|(|b<rsub|i>|)>\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>>
    sei

    <\equation*>
      p+q:=<around*|(|a<rsub|i>+b<rsub|i>|)><rsub|i\<in\>\<bbb-N\><rsub|0>>\<nocomma\>
    </equation*>

    <\equation*>
      p\<cdot\>q \<assign\> <around*|(|c<rsub|i>|)><rsub|i\<in\>\<bbb-N\><rsub|0>>
      mit c<rsub|i>\<assign\><big-around|\<sum\>|<rsub|k=0><rsup|i>a<rsub|k>\<cdot\>b<rsub|i-k>>
    </equation*>
  </definition>

  <\theorem>
    <math|\<bbb-K\><around*|[|X|]>> ist bezüglich <math|+> und
    <math|\<cdot\>> ein kommutativer Ring mit Eins. Das Einselement ist das
    Polynom <math|<around*|(|1,0,0,\<ldots\>|)>>.

    <math|\<bbb-K\><around*|[|X|]>> ist <em|kein> Körper, denn
    <math|p\<assign\>X> besitzt kein multiplikatives Inverses.
  </theorem>

  <\remark>
    \ 

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|p,q\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>> <math|\<Rightarrow\>>
      <math|Grad <around*|(|p+q|)>\<leqslant\>max<around*|{|Grad
      p\<nocomma\>,Grad q|}>>

      <item><math|p,q\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>\<Rightarrow\>Grad<around*|(|p\<cdot\>q|)>=Grad
      p +Grad q>

      <item>Jedes <math|p\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>> liefert eine
      zugehörige Abbildung <math|x\<longrightarrow\><big-around|\<sum\>|q<rsub|i>*x<rsup|i>>>,
      die zu <math|p> gehörige <strong|Polynomfunktion>.

      <item><math|\<pi\>: \<bbb-K\><around*|[|X|]>\<longrightarrow\><around*|{|p<around*|(|x|)>|}>>
      ist surjektiver Homomorphismus von Ringen mit Eins.

      Für <em|endliche> Körper ist <math|\<pi\>> nicht injektiv, für
      <math|<around*|\||\<bbb-K\>|\|>=\<infty\>> ist <math|\<pi\>>
      Ringisomorphismus!
    </enumerate-alpha>
  </remark>

  <\theorem>
    <strong|(Division mit Rest)> Zu allen Polynomen
    <math|p,q\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>> existieren <em|eindeutig>
    bestimmte Polynome <math|r,s\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>> mit

    <\equation*>
      p=s\<cdot\>q+r
    </equation*>

    und <math|Grad r\<less\>Grad q>.
  </theorem>

  <\definition>
    <math|x<rsub|0>\<in\>\<bbb-K\>> heisst <strong|Nullstelle> des Polynoms
    <math|p\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>>, wenn <math|x<rsub|0>> Nullstelle
    der zugehörigen Polynomfunktion ist, d.h.
    <math|p<around*|(|x<rsub|0>|)>=0>.
  </definition>

  <\corollary>
    <math|x<rsub|0>\<in\>\<bbb-K\>> ist Nullstelle von
    <math|p\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]> \<Longleftrightarrow\> \<exists\>
    <with|mode|text|Darstellung > p=s\<cdot\><around*|(|X-x<rsub|0>|)>>,
    <math|s\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>>.
  </corollary>

  <\remark>
    Ein Polynom vom Grad <math|n> hat höchstens <math|n> Nullstellen.
  </remark>

  <\theorem>
    <strong|(Fundamentalsatz der Algebra)> Jedes
    <math|p\<in\>\<bbb-C\><around*|[|X|]>> hat genau <math|n> Nullstellen.
  </theorem>

  <paragraph|Teiler von Polynomen>

  <\definition>
    Seien <math|p,s\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>>. <math|s> heisst
    <strong|Teiler> von <math|p>, wenn ein
    <math|r\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>> existiert mit <math|p=s\<cdot\>r>.

    <math|p,q\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>> heissen <strong|teilerfremd>,
    wenn sie keinen gemeinsamen Teiler <math|r> mir <math|Grad
    r\<geqslant\>1> besitzen.
  </definition>

  <\theorem>
    Zwei Polynome <math|p,q\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>> sind teilerfremd
    genau dann, wenn Polynome <math|r,s\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>>
    existieren mit

    <\equation*>
      r\<cdot\>p+s\<cdot\>q=1
    </equation*>
  </theorem>

  <subsubsection|Der Gauss-Algorithmus>

  <\theorem>
    Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ändert sich durch die
    folgenden elementaren Zeilenumformungen nicht:

    <\enumerate-alpha>
      <item>Vertauschen zweier Zeilen

      <item>Multiplikation einer Zeile mit einem Körperelement
      <math|c\<in\>\<bbb-K\>\<backslash\><around*|{|0|}>>

      <item>Addition des (<math|d\<in\>\<bbb-K\>>)-fachen einer Zeile zu
      einer anderen.
    </enumerate-alpha>
  </theorem>

  <\remark>
    Ein LGS über <math|\<bbb-K\>>, <math|A*x=b> heisst <strong|homogen>,
    falls <math|b=0>, ansonsten <strong|inhomogen>.
  </remark>

  <\theorem>
    Ein homogenes LGS <math|A*x=0> mit <math|A\<in\>K<rsup|m\<times\>n>> und
    <math|m\<less\>n> (also mehr Gleichungen als Unbekannte) hat immer eine
    von <math|0\<in\>\<bbb-K\><rsup|n>> verschiedene Lösung.
  </theorem>

  <\remark>
    <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>> ist invertierbar genau dann,
    wenn sich <math|<around*|(|A<mid|\|>E<rsub|n>|)>> durch elementare
    Zeilenumformungen in <math|<around*|(|E<rsub|n><mid|\|>A<rprime|'>|)>>
    umformen lässt. Dann ist <math|A<rprime|'>=A<rsup|-1>>.

    <math|A\<in\>GL<around*|(|n,\<bbb-K\>|)> \<Longrightarrow\>> das LGS
    <math|A*x=b> ist <em|eindeutig lösbar> mit <math|x=A<rsup|-1>*b>.

    Ist <math|<wide|x|~>> Lösung eines inhomogenen LGS <math|A*x=b> und
    <math|L> die Lösungsmenge des dazugehörigen homogenen LGS <math|A*x=0>,
    so gilt für die Lösungsmenge <math|L<rsub|inh>> des inhomogenen LGS:
    <math|L<rsub|inh>=<wide|x|~>+L>.
  </remark>

  <section|Vektorräume>

  <subsection|Definition>

  <\definition>
    Ein <strong|Vektorraum> über einem Körper <math|\<bbb-K\>>, kurz
    <math|\<bbb-K\>>-VR, ist eine Menge mit zwei Verknüfungen <math|+:
    V\<times\>V\<longrightarrow\>V> und <math|\<cdot\>:
    \<bbb-K\>\<times\>V\<longrightarrow\>V>, sodass gilt:

    <\itemize-minus>
      <item><math|<around*|(|V,+|)>> ist abelsche Gruppe

      <item><strong|Distributivgesetze:> <math|a<around*|(|x+y|)>=a*x+a*y>,
      <math|<around*|(|a+b|)>*x=a*x+b*x> <math|\<forall\>a,b\<in\>\<bbb-K\>,x,y\<in\>V>

      <item><strong|Assoziativität der Multiplikation:>
      <math|a\<cdot\><around*|(|b\<cdot\>x|)>=<around*|(|a*b|)>\<cdot\>x>

      <item><math|1\<cdot\>x=x> <math|\<forall\>x\<in\>V>
    </itemize-minus>

    Sprechweisen:

    <\description>
      <item*|Vektoren>Elemente von <math|V>

      <item*|Skalare>Elemente von <math|\<bbb-K\>>

      <item*|Vektoraddition><math|+>

      <item*|Nullvektor (<math|O>)>Neutrales Element bzgl. <math|+>

      <item*|Skalare Multiplikation><math|\<cdot\>>

      <item*|Reeller (komplexer) Vektorraum><math|\<bbb-K\>=\<bbb-R\>>
      (<math|\<bbb-K\>=\<bbb-C\>>)
    </description>
  </definition>

  <\theorem>
    In jedem <math|\<bbb-K\>>-VR <math|V> gilt:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|0\<cdot\>x=O> <math|\<forall\>x\<in\>V>

      <item><math|a\<cdot\>O=O> <math|\<forall\>a\<in\>\<bbb-K\>>

      <item><math|a\<in\>\<bbb-K\>,x\<in\>V> und <math|a\<cdot\>x=O>
      <math|\<Rightarrow\>> <math|a=0> oder <math|x=O>

      <item><math|<around*|(|-1|)>\<cdot\>x=-x> <math|\<forall\>x\<in\>V>
    </enumerate-alpha>
  </theorem>

  <\definition>
    Eine nichtleere Teilmenge <math|U> eines <math|\<bbb-K\>>-VR <math|V>
    heiÿt <strong|Untervektorraum> (UVR) von <math|V>, wenn <math|U> mit den
    Einschränkungen von <math|*+> und <math|\<cdot\>> auf <math|U> selbst ein
    <math|\<bbb-K\>>-VR ist.
  </definition>

  <\theorem>
    <strong|(Untervektorraumkriterium)> Für einen <math|\<bbb-K\>>-VR
    <math|V> und <math|U\<subset\>V> gilt:

    <\equation*>
      U<with|mode|text| ist UVR von >V \<Longleftrightarrow\>
      U\<neq\>\<emptyset\><with|mode|text| und >\<forall\>x,y\<in\>U
      \<forall\>a\<in\>\<bbb-K\><with|mode|text| gilt
      >x+y\<in\>U\<nocomma\><with|mode|text| und >a\<cdot\>x\<in\>U
    </equation*>
  </theorem>

  <\definition>
    Sind <math|V> und <math|W> <math|\<bbb-K\>>-VRe, so heiÿt eine Abbildung
    <math|\<Phi\>: V\<longrightarrow\>W> <strong|linear> oder
    <strong|VR-Homomorphismus>, falls <math|\<Phi\><around*|(|a*x+b*y|)>=a\<cdot\>\<Phi\><around*|(|x|)>+b\<cdot\>\<Phi\><around*|(|y|)>>
    für alle <math|a,b\<in\>\<bbb-K\>,x,y\<in\>V>.

    Ist <math|\<Phi\>> bijektiv, so heiÿt <math|\<Phi\>>
    <strong|VR-Isomorphismus> und <math|V> und <math|W> sind dann isomorph
    (<math|V\<cong\>W>).
  </definition>

  <\remark>
    Obige Gleichung ist äquivalent zu

    <\equation*>
      \<Phi\><around*|(|x+y|)>=\<Phi\><around*|(|x|)>+\<Phi\><around*|(|y|)><with|mode|text|
      und >\<Phi\><around*|(|\<alpha\>*x|)>=\<alpha\>*\<Phi\><around*|(|x|)><with|mode|text|
      für alle >x,y\<in\>V,\<alpha\>\<in\>\<bbb-K\>
    </equation*>
  </remark>

  <\corollary>
    Beliebige Durchschnitte von UVR eines gegebenen VR <math|V> sind UVR.
  </corollary>

  <\definition>
    Ist <math|V> <math|\<bbb-K\>>-VR und <math|A\<subset\>V>, so heiÿt

    <\equation*>
      <around*|[|A|]> \<assign\> <big-around|\<cap\>|<rsub|U<with|mode|text|
      UVR von> V<with|mode|text| mit >A\<subset\>U>U>
    </equation*>

    (\Rder kleinste UVR, der <math|A> vollständig enthält``)

    die <strong|lineare Hülle / Spann> von <math|A> und <math|A>
    <strong|Erzeugendensystem> des UVR <math|<around*|[|A|]>>.

    Ist <math|A=<around*|{|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|n>|}>> endlich, so
    schreibt man auch <math|<around*|[|A|]>=<around*|[|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|n>|]>>
    und die <math|x<rsub|i>> heiÿen dann auch <strong|erzeugende Vektoren>.
  </definition>

  <\example>
    <math|<around*|[|V|]>=V>, <math|<around*|[|\<emptyset\>|]>=<around*|{|O|}>>
  </example>

  <\definition>
    Ist <math|V> <math|\<bbb-K\>>-VR und <math|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|k>\<in\>V>,
    so heiÿt jeder Vektor

    <\equation*>
      v=\<alpha\><rsub|1>*x<rsub|1>+\<ldots\>+\<alpha\><rsub|k>*x<rsub|k>=<big-around|\<sum\>|<rsub|i=1><rsup|k>\<alpha\><rsub|i>*x<rsub|i>><with|mode|text|
      (mit >\<alpha\><rsub|i>\<in\>\<bbb-K\><with|mode|text|)>
    </equation*>

    eine <strong|Linearkombination> (LK) von
    <math|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|k>>.
  </definition>

  <\theorem>
    Ist <math|V> <math|\<bbb-K\>>-VR, <math|A> eine nichtleere Teilmenge von
    <math|V>, dann ist

    <\equation*>
      <around*|[|A|]>=<around*|{|v\<in\>V <mid|\|> v<with|mode|text| ist
      Linearkombination von Vektoren aus >A|}>
    </equation*>
  </theorem>

  <subsection|Lineare Ab- und Unabhängigkeit>

  <\definition>
    Sei <math|V> <math|\<bbb-K\>>-VR, <math|k\<in\>\<bbb-N\>>,
    <math|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|k>\<in\>V>. Dann heiÿen
    <math|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|k>> <strong|linear abhängig>, wenn es
    <math|<around*|(|\<alpha\><rsub|1>,\<ldots\>,\<alpha\><rsub|k>|)>\<neq\><around*|(|0,\<ldots\>,0|)>>
    gibt mit <math|<big-around|\<sum\>|<rsub|i=1><rsup|k>\<alpha\><rsub|i>*x<rsub|i>=O>>,
    ansonsten <strong|linear unabhängig>.
  </definition>

  <\example>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item><math|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|k>> sind linear unabhängig
      <math|\<Longleftrightarrow\>> <math|<around*|(|<big-around|\<sum\>|<rsub|i=1><rsup|k>\<alpha\><rsub|i>*x<rsub|i>=O
      \<Rightarrow\> \<alpha\><rsub|1>=\<ldots\>=\<alpha\><rsub|k>>=0|)>>

      <item><math|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|k>> sind linear unabhängig,
      falls

      <\itemize-minus>
        <item>einer dieser Vektoren der Nullvektor ist

        <item>zwei der Vektoren gleich sind

        <item>ein Vektor eine LK der anderen Vektoren ist
      </itemize-minus>
    </itemize-minus>
  </example>

  <\remark>
    Sind <math|<wide|y<rsub|1>|^>\<nocomma\>,\<ldots\>,<wide|y<rsub|k>|^>>
    die Koordinatendarstellungen der Vektoren
    <math|y<rsub|1>,\<ldots\>,y<rsub|k>\<in\><around*|[|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|k>|]>>,
    so gilt: <with|mode|math|<wide|y<rsub|1>|^>\<nocomma\>,\<ldots\>,<wide|y<rsub|k>|^>>
    linear unabhängig <math|\<Longleftrightarrow\>>
    <with|mode|math|y<rsub|1>,\<ldots\>,y<rsub|k>> linear unabhängig.
  </remark>

  <\theorem>
    V<math| \<bbb-K\>>-VR, <math|y<rsub|1>,\<ldots\>,y<rsub|m>\<in\><around*|[|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|k>|]>>.
    Falls <math|m\<gtr\>k>, sind <math|y<rsub|1>,\<ldots\>,y<rsub|m>> linear
    abhängig.
  </theorem>

  <\definition>
    Eine Teilmenge <math|A> eines <math|\<bbb-K\>>-VR <math|V> heiÿt
    <strong|linear abhängig>, falls es paarweise verschiedene Vektoren
    <math|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|k>\<in\>A> gibt, die linear abhängig
    sind, ansonsten linear unabhängig.
  </definition>

  <\remark>
    <math|A> linear unabhängig <math|\<Longleftrightarrow\>>
    <math|A=\<emptyset\>> <em|oder> alle paarweise verschiedenen Vektoren aus
    <math|A> sind linear unabhängig.

    Ist <math|A=<around*|{|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|m>|}>> endlich, so
    gilt: <math|A> linear unabhängig <math|\<Longleftrightarrow\>>
    <math|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|m>> linear unabhängig.
  </remark>

  <\definition>
    Sei <math|V> <math|\<bbb-K\>>-VR. Dann heiÿt

    <\itemize-minus>
      <item>ein Erzeugendensystem <math|A> von <math|V> <strong|minimal>
      <math|\<Leftrightarrow\>> keine echte Teilmenge von <math|A> erzeugt
      <math|V>.

      <item>eine l.u. Teilmenge <math|A> von <math|V> <strong|maximal>
      <math|\<Leftrightarrow\>> jede echte Obermenge von <math|A> ist l.a. in
      <math|V>.

      <item>jedes linear unabhängige Erzeugendensystem von <math|V> eine
      <strong|Basis> von V.
    </itemize-minus>
  </definition>

  <\theorem>
    Sei <math|V> ein <math|\<bbb-K\>>-VR, <math|B> eine nichtleere Teilmenge
    von <math|V>. Dann sind äquivalent:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|B> ist Basis von <math|V>

      <item><math|B> ist minimales Erzeugendensystem von <math|V>

      <item><math|B> ist maximale linear unabhängige Teilmenge von <math|V>

      <item><math|x\<in\>V \<Longrightarrow\> x<with|mode|text| ist
      eindeutige Linearkombination von Vektoren aus >B>
    </enumerate-alpha>
  </theorem>

  <\example>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item><math|\<emptyset\>> ist Basis von <math|V=<around*|{|O|}>>.

      <item>Im <math|V=\<bbb-R\><rsup|\<bbb-N\>>> ist
      <math|<around*|{|<around*|(|1,0,0,\<ldots\>|)>,<around*|(|0,1,0,\<ldots\>|)>\<nocomma\>,<around*|(|0,0,1,0,\<ldots\>|)>|}>>
      linear unabhängig, aber <em|keine> Basis!
    </itemize-minus>
  </example>

  <\theorem>
    Für zwei Basen <math|B> und <math|B<rprime|'>> eines VR gilt:
    <math|<around*|\||B|\|>=<around*|\||B<rprime|'>|\|>>.
  </theorem>

  <\theorem>
    Gibt es ein <em|endliches> Erzeugendensystem eines Vektorraums <math|V>,
    so hat jedes Erzeugendensystem <math|A> von <math|V> eine <em|endliche>
    Teilmenge, die Basis von <math|V> ist.
  </theorem>

  <\corollary>
    Ist <math|V> <math|\<bbb-K\>>-VR, <math|B> Basis von <math|V>, <math|A>
    Erzeugendensystem mit <math|<around*|\||A|\|>=<around*|\||B|\|>\<less\>\<infty\>>,
    so ist auch <math|A> eine Basis von <math|V>.
  </corollary>

  <\definition>
    Die <strong|Dimension> eines <math|\<bbb-K\>>-VR <math|V> ist erklärt als

    <\equation*>
      dim<rsub|\<bbb-K\>>V=dim V=<mid|{><tabular|<tformat|<table|<row|<cell|\<infty\>:>|<cell|V<with|mode|text|
      besitzt keine endliche Basis>>>|<row|<cell|n:>|<cell|V<with|mode|text|
      besitzt eine Basis >B<with|mode|text| mit ><around*|\||B|\|>=n>>>>>
    </equation*>
  </definition>

  <\theorem>
    <strong|(Basisergänzungssatz)> Sei <math|V> <math|\<bbb-K\>>-VR und
    <math|A> eine linear unabhängige Teilmenge von <math|V>. Dann gibt es
    eine Basis <math|B> von <math|V> mit <math|A\<subset\>B>.
  </theorem>

  <\corollary>
    <strong|Jeder Vektorraum hat eine Basis.>
  </corollary>

  <\corollary>
    Ist <math|V> <math|\<bbb-K\>>-VR, <math|B> Basis von <math|V>, <math|A>
    linear unabhängige Teilmenve von <math|V> mit
    <math|<around*|\||A|\|>=<around*|\||B|\|>>, so ist auch <math|A> eine
    Basis von <math|V>.
  </corollary>

  <\theorem>
    Ist <math|V> <math|\<bbb-K\>>-VR mit <math|n \<assign\> dim
    V\<less\>\<infty\>> und <math|U> ein Untervektorraum von \ <math|V>, so
    gilt:

    <\itemize-minus>
      <item><math|dim U\<less\>dim V>

      <item>Ist <math|dim U=dim V>, so gilt <math|U=V>.
    </itemize-minus>
  </theorem>

  <\example>
    Für <math|W=<around*|[|z<rsub|1>,\<ldots\>,z<rsub|m>|]>> mit
    <math|z<rsub|i>\<in\>\<bbb-K\><rsup|n>> soll eine möglichst einfache
    Basis bestimmt werden.

    Lösungsmethode: Setze <math|A\<assign\><matrix|<tformat|<table|<row|<cell|z<rsub|1><rsup|\<top\>>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|z<rsub|n><rsup|\<top\>>>>>>>\<in\>\<bbb-K\><rsup|m\<times\>n>>
    und bringe <math|A> durch elementare Zeilenumformungen auf die Gauÿsche
    Normalform <math|<wide|A|~>\<assign\><matrix|<tformat|<table|<row|<cell|<wide|z<rsub|1><rsup|>|~><rsup|\<top\>>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|<wide|z<rsub|n>|~><rsup|\<top\>>>>>>>\<in\>\<bbb-K\><rsup|m\<times\>n>>.
    Dann bilden die von <math|O> verschiewdenen Vektoren aus
    <math|<around*|{|<wide|z<rsub|1>|~>,\<ldots\>,<wide|z<rsub|m>|~>|}>> eine
    besonders einfache Basis von <math|W>.
  </example>

  <\definition>
    Für <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|m\<times\>n>> sei der <strong|Zeilenrang>
    <math|zrang<around*|(|A|)>> die maximale Anzahl linear unabhängiger
    Zeilenvektoren und der <strong|Spaltenrang> <math|srang<around*|(|A|)>>
    die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren von <math|A>.
  </definition>

  <\theorem>
    Für jede Matrix <math|A> gilt <math|zrang<around*|(|A|)>=srang<around*|(|A|)>\<assign\>
    Rg A>.
  </theorem>

  <\corollary>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item><math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|m\<times\>n>:> <math|Rg A = Rg
      A<rsup|\<top\>>>

      <item><math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>:> <math|A> ist regulär
      <math|\<Leftrightarrow\>> <math|Rang A = n>

      <item>Das LGS <math|A*x=b> ist genau dann lösbar, wenn <math|Rang
      A=Rang <around*|(|A<mid|\|>b|)>>.
    </itemize-minus>
  </corollary>

  <\corollary>
    Es sei <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|m\<times\>n>> und
    <math|L\<assign\><around*|{|x\<in\>\<bbb-K\><rsup|n> <mid|\|> A*x=O|}>>.
    Dann gilt:

    <\equation*>
      Rang A = n-dim L
    </equation*>
  </corollary>

  <\example>
    Bestimmen des Durchschnitts <math|U<rsub|1>\<cap\>U<rsub|2>> zweier
    Untervektorräume

    Beschreibe <math|U<rsub|i>> durch ein homogenes LGS mit Matrix
    <math|B<rsub|i>> (<math|i=1,2>). Dann ist

    <\equation*>
      U<rsub|1>\<cap\>U<rsub|2> = <around*|{|x\<in\>\<bbb-K\><rsup|n>
      <mid|\|> B<rsub|1>*x=0\<wedge\>B<rsub|2>*x=0|}>
    </equation*>
  </example>

  <subsection|(Direkte) Summen und Quotientenräume>

  <\definition>
    Sei <math|V> <math|\<bbb-K\>>-VR, <math|A<rsub|1>,\<ldots\>,A<rsub|k>\<subset\>V>,
    <math|U<rsub|1>,\<ldots\>,U<rsub|k>> UVR von <math|V>.

    <\enumerate-alpha>
      <item>Die <strong|Summe> der <math|A<rsub|1>,\<ldots\>,A<rsub|k>> sei
      <math|A<rsub|1>+\<ldots\>+A<rsub|k>=<big-around|\<sum\>|<rsub|i=1><rsup|k>A<rsub|i>>\<assign\><around*|{|<big-around|\<sum\>|<rsub|i=1><rsup|k>x<rsub|i>>
      <mid|\|> x<rsub|i>\<in\>A<rsub|i>|}>>.

      <item>Schneiden sich die die UVR paarweise nur im Nullvektor, ist also
      <math|U<rsub|i>\<cap\><big-around|\<sum\>|<rsub|j=1,j\<neq\>i><rsup|k>U<rsub|j>>=<around*|{|O|}>>
      für alle <math|i=1,\<ldots\>,k>, so heiÿt

      <\equation*>
        <big-around|\<oplus\>|<rsub|i=1><rsup|k>U<rsub|i>=U<rsub|1>\<oplus\>\<ldots\>\<oplus\>U<rsub|k>\<assign\><big-around|\<sum\>|<rsub|i=1><rsup|k>U<rsub|i>>>
      </equation*>

      die <strong|direkte Summe> der UVR <math|U<rsub|1>,\<ldots\>,U<rsub|k>>.
    </enumerate-alpha>
  </definition>

  <\remark>
    <math|<around*|[|A<rsub|<rsup|>1>\<cup\>\<ldots\>\<cup\>A<rsub|k>|]>=<around*|[|A<rsub|1>|]>+\<ldots\>+<around*|[|A<rsub|k>|]>.>

    Summen, insbesondere direkte Summen, von UVR sind UVR.
  </remark>

  <\theorem>
    Ist <math|V> <math|\<bbb-K\>>-VR, <math|U<rsub|1>,\<ldots\>,U<rsub|k>>
    UVRe von V (<math|k\<geqslant\>2>), so gilt:
    <math|<big-around|\<sum\>|U<rsub|i>>> ist genau dann direkte Summe, wenn
    sich jeder Vektor <math|x\<in\><big-around|\<sum\>|U<rsub|i>>>
    <em|eindeutig> als <math|x=<big-around|\<sum\>|u<rsub|i>>\<nocomma\>>,
    <math|u<rsub|i>\<in\>U<rsub|i>>, darstellen lässt.
  </theorem>

  <\theorem>
    <strong|(Dimensionssatz)> <math|V> <math|\<bbb-K\>>-VR, <math|U,W> UVR
    von V:

    <\equation*>
      dim <around*|(|U+W|)>+dim<around*|(|U\<cap\>W|)>=dim U+dim W
    </equation*>
  </theorem>

  <\corollary>
    <math|dim U\<oplus\>W=dim U+dim W>.
  </corollary>

  <\definition>
    V <math|\<bbb-K\>>-VR, <math|U> UVR von <math|V>.

    Ein Untervektorraum <math|W> von <math|V> heiÿt <strong|Komplement /
    Komplementärraum> von <math|U>, wenn gilt: <math|V=U\<oplus\>W>.
  </definition>

  <\theorem>
    Zu jedem Untervektorraum <math|U> von <math|V> existiert ein
    Komplementärraum.
  </theorem>

  <\remark>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item>Komplemente sind <em|nicht eindeutig.>

      <item>Hat <math|V> endliche Dimension, so lässt sich das Komplement
      über den Gauÿ-Algorithmus ermitteln: Bestimme eine Basis von <math|U>
      in \RTreppenform`` und ergänze sie durch weitere \RTreppenstufen`` zu
      einer Basis von <math|V>. Diese weiteren Vektoren bilden eine Basis des
      Komplements von <math|U>.
    </itemize-minus>
  </remark>

  <subsubsection|Quotientenräume (Faktorräume)>

  <\definition>
    <math|V> <math|\<bbb-K\>>-VR, <math|U\<subset\>V> UVR. Setze
    <math|x\<sim\>y \<Longleftrightarrow\> x-y\<in\>U>.

    Diese Relation ist eine Äquivalenzrelation und mit Vektoraddition und
    skalarer Multiplikation verträglich:

    <\itemize-minus>
      <item><math|x<rsub|1>\<sim\>y<rsub|1>\<nocomma\>,x<rsub|2>\<sim\>y<rsub|2>
      \<Longrightarrow\> x<rsub|1>+x<rsub|2>\<sim\>y<rsub|1>+y<rsub|2>>

      <item><math|x<rsub|1>\<sim\>y<rsub|1> \<Longrightarrow\>
      \<alpha\>*x<rsub|1>\<sim\>\<alpha\>*y<rsub|1>>
    </itemize-minus>
  </definition>

  <\definition>
    <math|V/<rsub|U> \<assign\> V/<rsub|\<sim\>>> heiÿt
    <strong|Quotientenraum> von V nach U.

    Die Elemente von <math|V/<rsub|U>> sind die Äquivalenzklassen
    <math|<around*|[|x|]>=<around*|{|y\<in\>V <mid|\|> y-x\<in\>U|}>=x+U>.
  </definition>

  <\theorem>
    <math|V/<rsub|U>> ist mit <math|<around*|[|x|]>+<around*|[|y|]>=<around*|[|x+y|]>>
    und <math|\<alpha\>*<around*|[|x|]>=<around*|[|\<alpha\>*x|]>> ein
    <math|\<bbb-K\>>-Vektorraum.
  </theorem>

  <\example>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item><math|U=<around*|{|O|}>\<Longrightarrow\>
      <around*|[|x|]>=<around*|{|x|}>\<Longrightarrow\>V/<rsub|U>\<cong\> V>

      <item><math|U=V \<Longrightarrow\> V/<rsub|U>=<around*|{|<around*|[|O|]>|}>\<cong\><around*|{|O|}>>
    </itemize-minus>
  </example>

  <\theorem>
    <math|V> <math|\<bbb-K\>>-VR, <math|U> UVR. Dann gilt <math|dim
    V/<rsub|U> + dim U=dim V>
  </theorem>

  <\corollary>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item>Sei <math|V> <math|\<bbb-K\>>-VR und <math|B> eine Basis des UVR
      <math|U>. Ist <math|B\<cup\>B<rprime|'>> Basis von <math|V> und
      <math|B\<cap\>B<rprime|'>=\<emptyset\>>, dann ist
      <math|<around*|{|<around*|[|x|]> <mid|\|> x\<in\>B<rprime|'>|}>> eine
      Basis von <math|V/<rsub|U>>.

      <item>Seien <math|V,U> wie oben, <math|W> sei Komplement von <math|U>:
      <math|W\<cong\>V/<rsub|U>>.
    </itemize-minus>
  </corollary>

  <subsection|Lineare Abbildungen>

  <\definition>
    Eine lineare Abbildung (Homomorphismus) <math|\<Phi\>:
    V\<longrightarrow\>W> heiÿt

    <\itemize-minus>
      <item><strong|Isomorphismus> <math|:\<Leftrightarrow\>> <math|\<Phi\>>
      bijektiv

      <item><strong|Monomorphismus> <math|:\<Leftrightarrow\>> <math|\<Phi\>>
      injektiv

      <item><strong|Epimorphismus> <math|:\<Leftrightarrow\>> <math|\<Phi\>>
      surjektiv

      <item><strong|Endomorphismus> <math|:\<Leftrightarrow\>> <math|V=W>
    </itemize-minus>

    Zwei Vektorräume <math|V> und <math|W> heiÿen isomorph, falls ein
    Isomorphismus <math|\<Phi\>:V\<longrightarrow\>W> existiert.
  </definition>

  <\remark>
    <math|\<Phi\>:V\<longrightarrow\>W> linear <math|\<Rightarrow\>>
    <math|Kern \<Phi\>\<subset\>V> und <math|Bild \<Phi\>\<subset\>W> sind
    Untervektorräume.
  </remark>

  <\theorem>
    <strong|(Homomorphiesatz für Vektorräume)>. Sei
    <math|\<Phi\>:V\<longrightarrow\>W> linear. Dann gilt:

    <\itemize-minus>
      <item><math|\<pi\>:V\<longrightarrow\>V/<rsub|Kern \<Phi\>>> ist linear

      <item><math|\<exists\>> Monomorphismus <math|<wide|\<Phi\>|\<bar\>>:
      V/<rsub|Kern \<Phi\>>\<longrightarrow\>W> mit
      <math|\<Phi\>=<wide|\<Phi\>|\<bar\>>\<circ\>\<pi\>>.
    </itemize-minus>
  </theorem>

  <\corollary>
    Sei <math|\<Phi\>:V\<longrightarrow\>W> linear, dann gilt <math|Bild
    \<Phi\>\<cong\>V/<rsub|Kern \<Phi\>>>
  </corollary>

  <\corollary>
    Sei <math|V> <math|\<bbb-K\>>-VR, <math|U,W> UVR mit
    <math|V=U\<oplus\>W>. Dann gilt <math|V/<rsub|U>\<cong\>W> und
    <math|V/<rsub|W>\<cong\>U>.
  </corollary>

  <\definition>
    Eine lineare Abbildung <math|\<pi\>:V\<longrightarrow\>V> heiÿt
    <strong|Projektion>, wenn gilt: <math|\<pi\>\<circ\>\<pi\>=\<pi\>>.
  </definition>

  <\remark>
    <math|\<pi\>> Projektion <math|\<Rightarrow\>> <math|V=Kern
    \<pi\>\<oplus\>Bild \<pi\>>
  </remark>

  <subsubsection|Lineare Abbildungen und Basen>

  <\theorem>
    <math|V,W> <math|\<bbb-K\>>-VR, <math|B> Basis von <math|V>,
    <math|\<Phi\><rprime|'>: B\<longrightarrow\>W> <em|beliebige> Abbildung.
    Dann existiert genau eine lineare Abbildung <math|\<Phi\>:
    V\<longrightarrow\>W> mit <math|\<Phi\><mid|\|><rsub|B>=\<Phi\><rprime|'>>.
  </theorem>

  <\corollary>
    Eine lineare Abbildung <math|\<Phi\>:V\<longrightarrow\>W> ist durch die
    Werte auf einer Basis von <math|V> bereits eindeutig bestimmt.
  </corollary>

  <\theorem>
    <math|V,W> <math|\<bbb-K\>>-VRe, <math|dim V=n>,
    <math|B=<around*|{|v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|n>|}>> Basis von <math|V >,
    <math|\<Phi\>:V\<longrightarrow\>W> linear. Dann gilt:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|\<Phi\>> Monomorphismus (injektiv)
      <math|\<Leftrightarrow\>> <math|\<Phi\><around*|(|v<rsub|1>|)>,\<ldots\>,\<Phi\><around*|(|v<rsub|n>|)>>
      linear unabhängig in <math|W>

      <item><math|\<Phi\>> Epimorphismus (surjektiv)
      <math|\<Leftrightarrow\>> <math|<around*|[|\<Phi\><around*|(|v<rsub|1>|)>,\<ldots\>,\<Phi\><around*|(|v<rsub|n>|)>|]>=W>

      <item><math|\<Phi\>> Isomorphismus (bijektiv) <math|\<Leftrightarrow\>>
      <math|<around*|{|\<Phi\><around*|(|v<rsub|1>|)>,\<ldots\>,\<Phi\><around*|(|v<rsub|n>|)>|}>>
      ist Basis von <math|W>
    </enumerate-alpha>
  </theorem>

  <\corollary>
    <math|V,W> <math|\<bbb-K\>>-VRe mit <math|dim V=dim W>,
    <math|\<Phi\>:V\<longrightarrow\>W> linear. Dann gilt:

    <\equation*>
      \<Phi\> injektiv \<Leftrightarrow\> \<Phi\> surjektiv
      \<Leftrightarrow\> \<Phi\> bijektiv
    </equation*>
  </corollary>

  <\theorem>
    Seien <math|V,W> endlichdimensional. Dann gilt:
    <math|V\<cong\>W\<Leftrightarrow\> dim V = dim W>.

    Im unendlichdimensionalen Fall gilt nur \R<math|\<Rightarrow\>>``.
  </theorem>

  <\corollary>
    Jeder endlichdimensionale <math|\<bbb-K\>>-VR ist isomorph zu
    <math|\<bbb-K\><rsup|n>> (für geeignetes <math|n>).
  </corollary>

  <\theorem>
    <strong|(Dimensionssatz)>. Seien <math|V,W> <math|\<bbb-K\>>-VR,
    <math|\<Phi\>:V\<longrightarrow\>W> linear. Dann gilt:

    <\equation*>
      dim Kern \<Phi\>+dim Bild \<Phi\>=dim V
    </equation*>
  </theorem>

  <subsubsection|Vektorräume linearer Abbildungen>

  <\remark>
    Für <math|A\<neq\>\<emptyset\>> Menge, <math|W> <math|\<bbb-K\>>-VR ist
    <math|W<rsup|A>\<assign\><around*|{|f: A\<longrightarrow\>W <mid|\|> f
    Abbildung|}>> ein <math|\<bbb-K\>>-VR.

    Jetzt: <math|A=V> VR, <math|f> linear.
  </remark>

  <\theorem>
    Seien <math|V,W,X> <math|\<bbb-K\>>-VR. Dann gilt:

    <\enumerate-alpha>
      <item>Sind <math|\<Phi\>:V\<longrightarrow\>W\<nocomma\>\<nocomma\>,\<Psi\>:W\<longrightarrow\>X>
      linear, so auch <math|\<Psi\>\<circ\>\<Phi\>: V\<longrightarrow\>X>.

      <item>Ist <math|\<Phi\>: V\<longrightarrow\>W> Isomorphismus, so auch
      <math|\<Phi\><rsup|-1>: W\<longrightarrow\>V>.

      <item>Sind <math|\<Phi\>: V\<longrightarrow\>W\<nocomma\>,\<pi\>:
      V\<longrightarrow\>W> linear, so auch <math|\<Phi\>+\<pi\>> und
      <math|\<alpha\>*\<Phi\>> (<math|\<alpha\>\<in\>\<bbb-K\>>).
    </enumerate-alpha>
  </theorem>

  <\remark>
    \ 

    <\enumerate-alpha>
      <item>Isomorphie von Vektorräumen ist eine Äquivalenzrelation.

      <item>Wegen c) ist <math|Hom<around*|(|V,W|)>\<assign\><around*|{|\<Phi\>:V\<longrightarrow\>W
      <mid|\|> \<Phi\> linear|}>> ein UVR von <math|W<rsup|V>>.

      Weitere Bezeichnung <math|End<around*|(|V|)>=Hom<around*|(|V,V|)>>.

      <item>Wegen a) und b) ist <math|Aut<around*|(|V|)>=<around*|{|\<Phi\>:V\<longrightarrow\>V
      <mid|\|> \<Phi\> Automorphismus|}>> [Automorphismus: Isomorphismus
      <math|V\<longrightarrow\>V>] eine Gruppe bezüglich der Verkettung von
      Abbildungen \R<math|\<circ\>>``.
    </enumerate-alpha>
  </remark>

  <\theorem>
    Seien <math|V,W> endlichdimensionale <math|\<bbb-K\>>-VR. Dann ist auch
    der <math|\<bbb-K\>>-VR <math|Hom<around*|(|V,W|)>> endlichdimensional
    und es gilt:

    <\equation*>
      dim<around*|(|Hom<around*|(|V,W|)>|)>=dim V\<cdot\>dim W
    </equation*>
  </theorem>

  <subsubsection|Wichtiger Spezialfall>

  <\definition>
    <math|V<rsup|\<ast\>>\<assign\>Hom<around*|(|V,\<bbb-K\>|)>> heiÿt
    <strong|Dualraum> von <math|V>, die Elemente
    <math|\<Phi\>:V\<longrightarrow\>\<bbb-K\>> heiÿen <strong|lineare
    Funktionale> oder <strong|Linearformen> auf V.

    Schreibweise: <math|x<rsup|\<ast\>>> für <math|\<Phi\>>.
  </definition>

  <\example>
    \ 

    <\enumerate-alpha>
      <item>V = <math|<around*|{|f:<around*|[|0,1|]>\<longrightarrow\>\<bbb-R\>
      <mid|\|> f stetig|}>>, <math|I:V\<longrightarrow\>\<bbb-R\>>,
      <math|f\<rightarrow\><big-around|\<int\>|<rsub|0><rsup|1>f<around*|(|t|)>
      dt>> (\RIntegrationsoperator``)

      <item><math|V=<around*|{|<around*|(|a<rsub|i>|)>\<in\>\<bbb-R\><rsup|\<bbb-N\>>
      <mid|\|> a<rsub|i> konvergent|}>> VR,
      <math|\<Phi\>:V\<longrightarrow\>\<bbb-R\>>,
      <math|<around*|(|a<rsub|i>|)>\<rightarrow\>lim<rsub|i\<rightarrow\>\<infty\>>a<rsub|i>>

      <item><math|A\<neq\>\<emptyset\>> Menge, <math|t<rsub|0>\<in\>A>,
      <math|V=\<bbb-K\><rsup|A>>: <math|\<Phi\>:V\<longrightarrow\>\<bbb-K\>>,
      <math|f\<rightarrow\>f<around*|(|t<rsub|0>|)>> ist Linearform
      (\RAuswertungsoperator``)

      <item>Die Abbildung <math|\<Phi\>:\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>\<longrightarrow\>\<bbb-K\>>,
      <math|A\<longrightarrow\>Spur A> ist ein lineares Funktional.
    </enumerate-alpha>
  </example>

  <\remark>
    Gilt <math|dim V=n>, so ist auch <math|dim V<rsup|\<ast\>>=n> (da
    <math|dim \<bbb-K\>=1>), also <math|V\<cong\>V<rsup|\<ast\>>>.
  </remark>

  <\definition>
    Ist <math|B=<around*|{|v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|n>|}>> eine Basis von
    <math|V>, so ist durch

    <\equation*>
      v<rsub|j><rsup|\<ast\>><around*|(|v<rsub|k>|)>=\<delta\><rsub|j
      k>\<cdot\>1
    </equation*>

    eine Basis <math|B<rsup|\<ast\>><around*|(|v<rsub|1><rsup|\<ast\>>,\<ldots\>,v<rsub|n><rsup|\<ast\>>|)>>
    von <math|V<rsup|\<ast\>>> festgelegt. <math|B<rsup|\<ast\>>> heiÿt die
    <strong|zu <math|B> duale Basis> und ist eindeutig bestimmt. Der
    Basisvektor <math|v<rsub|j><rsup|\<ast\>>\<in\>B<rsup|\<ast\>>> heiÿt
    auch <math|j>-tes <strong|Koordinatenfunktional> bezüglich <math|B>, denn
    für alle <math|x\<in\>V> gilt:

    <\equation*>
      x=v<rsub|1><rsup|\<ast\>><around*|(|x|)>\<cdot\>v<rsub|1>+\<ldots\>+v<rsub|n><rsup|\<ast\>><around*|(|x|)>\<cdot\>v<rsub|n>
    </equation*>

    und für alle <math|x<rsup|\<ast\>>\<in\>V<rsup|\<ast\>>> gilt

    <\equation*>
      x<rsup|\<ast\>>=x<rsup|\<ast\>><around*|(|v<rsub|1>|)>\<cdot\>v<rsub|1><rsup|\<ast\>>+\<ldots\>+x<rsup|\<ast\>><around*|(|v<rsub|n>|)>\<cdot\>v<rsub|n><rsup|\<ast\>>
    </equation*>
  </definition>

  <\definition>
    <math|V<rsup|\<ast\>\<ast\>>\<assign\><around*|(|V<rsup|\<ast\>>|)><rsup|\<ast\>>>
    heiÿt <strong|Bidualraum> von <math|V>.
  </definition>

  <\theorem>
    V <math|\<bbb-K\>>-VR.

    <\enumerate-alpha>
      <item>Die Abbildung <math|\<psi\>:V\<longrightarrow\>V<rsup|\<ast\>\<ast\>>>,
      <math|x\<mapsto\>x<rsup|\<ast\>\<ast\>>> mit
      <math|x<rsup|\<ast\>\<ast\>>: V<rsup|\<ast\>>\<longrightarrow\>\<bbb-K\>>,
      <math|y<rsup|\<ast\>>\<mapsto\> x<rsup|\<ast\>\<ast\>><around*|(|y<rsup|\<ast\>>|)>\<assign\>y<rsup|\<ast\>><around*|(|x|)>>
      ist injektiv (also ein Monomorphismus)

      <item>Gilt zudem <math|dim V\<less\>\<infty\>>, so ist <math|\<psi\>>
      Isomorphismus.
    </enumerate-alpha>
  </theorem>

  <subsubsection|Die Adjungierte>

  <\definition>
    <math|V,W> <math|\<bbb-K\>>-VR, <math|\<Phi\>\<in\>Hom<around*|(|V,W|)>>.
    Dann heiÿt\ 

    <\equation*>
      \<Phi\><rsup|\<top\>> <around*|(|\<assign\>\<Phi\>*<rsup|\<ast\>>|)>:
      W<rsup|\<ast\>>\<longrightarrow\>V<rsup|\<ast\>>\<nocomma\><with|mode|text|
      mit >y<rsup|\<ast\>>\<mapsto\> y*<rsup|\<ast\>>\<circ\> \<Phi\>
    </equation*>

    <strong|Transponierte> oder <strong|Adjungierte> oder <strong|Dual> der
    Abbildung <math|\<Phi\>>.
  </definition>

  <\theorem>
    Seien <math|V,W,X> <math|\<bbb-K\>>-VRe. Dann gilt:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|<around*|(|id<rsub|V>|)><rsup|\<top\>>=id<rsub|V<rsup|\<ast\>>>>

      <item><math|<around*|(|\<Phi\>+\<Psi\>|)><rsup|\<top\>>=\<Phi\><rsup|\<top\>>+\<Psi\><rsup|\<top\>>\<nocomma\>,<around*|(|\<alpha\>*\<Phi\>|)><rsup|\<top\>>=\<alpha\>*\<Phi\><rsup|\<top\>>>

      <item><math|<around*|(|\<Phi\>\<circ\>\<Psi\>|)><rsup|\<Tau\>>=\<Psi\><rsup|T>\<circ\>\<Phi\><rsup|T>>,
      falls <math|W<below|\<longrightarrow\>|\<Psi\>>V<below|\<longrightarrow\>|\<Phi\>>X>.

      <item><math|\<Phi\>\<in\>Hom<around*|(|V,W|)>> Isomorphismus
      <math|\<Leftrightarrow\>> <math|\<Phi\><rsup|\<top\>>\<in\>Hom<around*|(|W<rsup|\<ast\>>,V<rsup|\<ast\>>|)>>
      Isomorphismus.

      Dann gilt <math|<around*|(|\<Phi\><rsup|-1>|)><rsup|\<top\>>=<around*|(|\<Phi\><rsup|\<top\>>|)><rsup|-1>>.
    </enumerate-alpha>
  </theorem>

  <section|Lineare Abbildungen und Matrizen>

  <\remark>
    <math|V> <math|n>-dimensionaler <math|\<bbb-K\>>-VR <math|\<Rightarrow\>>
    <math|V\<cong\>\<bbb-K\><rsup|n>> via einer Basis
    <math|<around*|{|v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|n>|}>>.

    Im Folgenden ist die Anordnung der Basisvektoren wichtig. Ein
    <math|n>-Tupel <math|B=<around*|(|v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|n>|)>> von
    Vektoren heiÿt <strong|(an)geordnete Basis>.
  </remark>

  <\definition>
    <math|V> <math|\<bbb-K\>>-VR, <math|B=<around*|(|v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|n>|)>>
    angeordnete Basis von <math|V>, <math|x\<in\>V>.

    Ist <math|x=<big-around|\<sum\>|<rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i>*v<rsub|i>>>,
    <math|x<rsub|i>\<in\>\<bbb-K\>> die eindeutige Darstellung von <math|x>
    bezüglich <math|B>, so heiÿen die <math|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|n>>
    die <strong|Koordinaten> von <math|x> bezüglich <math|B>.

    <math|<wide|x|^>=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|x<rsub|1>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|x<rsub|n>>>>>>>
    heiÿt <strong|Koordinatendarstellung> von <math|x> bezüglich <math|B>.
  </definition>

  <\remark>
    <math|V\<longrightarrow\>\<bbb-K\><rsup|n>\<nocomma\>,x\<mapsto\><wide|x|^>>
    ist Isomorphismus und bildet <math|v<rsub|i>> auf den <math|i>-ten Vektor
    <math|e<rsub|i>> der Standardbasis von <math|\<bbb-K\><rsup|n>> ab.

    <math|V,W> <math|\<bbb-K\>>-VRe, <math|B=<around*|(|v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|n>|)>>
    Basis von <math|V>, <math|C=<around*|(|w<rsub|1>,\<ldots\>,w<rsub|m>|)>>
    Basis von <math|>W, <math|\<Phi\>\<in\>Hom<around*|(|V,W|)>>
    <math|\<Rightarrow\>>

    <\equation*>
      \<Phi\><around*|(|v<rsub|j>|)>=<big-around|\<sum\>|<rsub|i=1><rsup|m>>\<alpha\><rsub|i
      j>*w<rsub|i>
    </equation*>

    mit eindeutig bestimmten <math|a<rsub|i j>\<in\>\<bbb-K\>>.
  </remark>

  <\definition>
    Die Matrix <math|A<rsub|\<Phi\>>\<assign\><around*|(|<around*|(|\<alpha\><rsub|i
    j>|)>|)>\<in\>\<bbb-K\><rsup|m\<times\>n>> heiÿt
    <strong|Abbildungsmatrix> von <math|\<Phi\>> bezüglich der angeordneten
    Basen <math|B> und <math|C> von <math|V> bzw. <math|W>.
  </definition>

  <\theorem>
    <math|V,W> <math|\<bbb-K\>>-VRe mit geordneten Basen <math|B> und
    <math|C> wie oben

    <\equation*>
      \<Rightarrow\> \<Phi\>\<mapsto\>A<rsub|\<Phi\>><with|mode|text| ist
      Isomorphismus >Hom<around*|(|V,W|)>\<longrightarrow\>\<bbb-K\><rsup|m\<times\>n>
    </equation*>
  </theorem>

  <\remark>
    \ 

    <\enumerate-numeric>
      <item><math|dim Bild \<Phi\>=Rang A<rsub|\<Phi\>>=:Rang \<Phi\>>

      <item>Die Koordinaten von <math|\<Phi\><around*|(|v<rsub|j>|)>> sind
      die <math|j>-te Spalte von <math|A<rsub|\<Phi\>>>.
    </enumerate-numeric>
  </remark>

  <\theorem>
    <math|\<Phi\>\<in\>Hom<around*|(|V,W|)>>, <math|<wide|x|^>>
    Koordinatenvektor von <math|x\<in\>V>, <math|<wide|y|^>>
    Koordinatenvektor von <math|y=\<Phi\><around*|(|x|)>\<in\>W>

    <\equation*>
      \<Rightarrow\> <wide|y|^>=A<rsub|\<Phi\>>\<cdot\><wide|x|^>
    </equation*>

    wobei <math|A<rsub|\<Phi\>>=A<rsub|\<Phi\>><around*|(|B,C|)>>
  </theorem>

  <\theorem>
    Seien <math|V,W,X> <math|\<bbb-K\>>-VRe mit geordneten Basen
    <math|B=<around*|(|v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|n>|)>>,
    <math|C=<around*|(|w<rsub|1>,\<ldots\>,w<rsub|m>|)>> und
    <math|D=<around*|(|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|k>|)>> sowie
    <math|\<Phi\>\<in\>Hom<around*|(|V,W|)>\<nocomma\>>,
    <math|\<Psi\>\<in\>Hom<around*|(|W,X|)>> und
    <math|B<rsup|\<ast\>>=<around*|(|v<rsub|1><rsup|\<ast\>>,\<ldots\>,v<rsub|n><rsup|\<ast\>>|)>>
    und <math|C<rsup|\<ast\>>=<around*|(|w<rsub|1><rsup|\<ast\>>,\<ldots\>,w<rsub|m><rsup|\<ast\>>|)>>
    duale Basen von <math|B> bzw. <math|C>. Dann gilt:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|A<rsub|\<Phi\>\<circ\>\<Psi\>><around*|(|B,D|)>=A<rsub|\<Psi\>><around*|(|C,D|)>\<cdot\>A<rsub|\<Phi\>><around*|(|B,C|)>>

      <item><math|\<Phi\>> Isomorphismus <math|\<Leftrightarrow\>>
      <math|A<rsub|\<Phi\>><around*|(|B,C|)>> ist regulär (invertierbar) und
      <math|n=m>

      <item><math|A<rsub|\<Phi\><rsup|\<top\>>><around*|(|C<rsup|\<ast\>>,B<rsup|\<ast\>>|)>=<around*|(|A<rsub|\<Phi\>><around*|(|B,C|)>|)><rsup|\<top\>>>
    </enumerate-alpha>
  </theorem>

  <emdash>

  <\definition>
    Zwei Matrizen <math|A,<wide|A|~>\<in\>\<bbb-K\><rsup|m\<times\>n>> heiÿen
    <strong|äquivalent>, wenn es reguläre Matrizen
    <math|S\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>> und
    <math|T\<in\>\<bbb-K\><rsup|m\<times\>m>> gibt mit
    <math|<wide|A|~>=T<rsup|-1>*A*S>
  </definition>

  <\remark>
    \ 

    <\enumerate-alpha>
      <item>Die Äquivalenz von Matrizen ist eine Äquivalenzrelation auf
      <math|\<bbb-K\><rsup|m\<times\>n>>.

      <item>Durch elementare Zeilen- oder Spaltenumformungen geht eine Matrix
      <math|A> in eine äquivalente Matrix <math|A<rprime|'>> über.

      <item>Jede Matrix ist zu ihrer Gauÿschen Normalform äquivalent.

      <item>Zwei Matrizen <math|A,B\<in\>\<bbb-K\><rsup|m\<times\>n>> sind
      genau dann äquivalent, wenn sie denselben Rang haben.
    </enumerate-alpha>
  </remark>

  <\definition>
    Zwei Matrizen <math|A,<wide|A|~>\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>> heiÿen
    <strong|ähnlich>, wenn es eine reguläre Matrix
    <math|S\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>> gibt mit
    <math|<wide|A|~>=S<rsup|-1>*A*S>.
  </definition>

  <\remark>
    \ 

    <\enumerate-alpha>
      <item>Die Äquivalenz von Matrizen ist eine Äquivalenzrelation auf
      <math|\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>>.

      <item>Ähnliche Matrizen sind äquivalent, aber nicht alle äquivalenten
      Matrizen sind ähnlich.
    </enumerate-alpha>
  </remark>

  <section|Determinanten und Eigenwerte>

  <subsection|Determinanten>

  <\definition>
    Sei

    <\equation*>
      \<pi\>=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|\<cdots\>>|<cell|i>|<cell|\<cdots\>>|<cell|j>|<cell|\<cdots\>>|<cell|m>>|<row|<cell|\<pi\><around*|(|1|)>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|\<pi\><around*|(|i|)>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|\<pi\><around*|(|j|)>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|\<pi\><around*|(|m|)>>>>>>\<in\>S<rsub|m>
    </equation*>

    eine Permutation. Dann heiÿt jedes Paar <math|<around*|(|i,j|)>> mit
    <math|i\<less\>j> und <math|\<pi\><around*|(|i|)>\<gtr\>\<pi\><around*|(|j|)>>
    ein <strong|Fehlstand> von <math|\<pi\>>. Die Anzahl der Fehlstände von
    <math|\<pi\>> <strong|(Fehlstandszahl)> wird mit
    <math|F<around*|(|\<pi\>|)>> bezeichnet.
  </definition>

  <\lemma>
    \ 

    <\enumerate-alpha>
      <item>Für alle <math|\<pi\>\<in\>S<rsub|m>> gilt

      <\equation*>
        <around*|(|-1|)><rsup|F<around*|(|\<pi\>|)>>=<big-around|\<prod\>|<rsub|1\<leqslant\>i\<less\>j\<leqslant\>m><frac|\<pi\><around*|(|j|)>-\<pi\><around*|(|i|)>|j-i>>
      </equation*>

      <item>Für alle <math|\<sigma\>,\<pi\>\<in\>S<rsub|m>> gilt

      <\equation*>
        <around*|(|-1|)><rsup|F<around*|(|\<sigma\>\<circ\>\<pi\>|)>>=<around*|(|-1|)><rsup|F<around*|(|\<sigma\>|)>>\<cdot\><around*|(|-1|)><rsup|F<around*|(|\<pi\>|)>>
      </equation*>

      <item><math|<around*|(|-1|)><rsup|F<around*|(|\<pi\>|)>>=<around*|(|-1|)><rsup|F<around*|(|\<pi\><rsup|-1>|)>>>

      <item><math|F<around*|(|\<tau\><rsup|<around*|(|i,j|)>>|)>=2\<cdot\><around*|(|j-i|)>-1>

      Dabei bezeichnet <math|\<tau\><rsup|<around*|(|i,j|)>>> eine
      Transposition, also eine Permutation, die nur <math|i> und <math|j>
      vertauscht.

      Transpositionen sind selbstinvers, d.h.
      <math|\<tau\><rsup|<around*|(|i,j|)>>\<circ\>\<tau\><rsup|<around*|(|j,i|)>>=id>
    </enumerate-alpha>
  </lemma>

  <\theorem>
    Jede Permutation <math|\<pi\>\<in\>S<rsub|m>> (<math|m\<geqslant\>2>)
    lässt sich als Verkettung endlich vieler Transpositionen darstellen.
  </theorem>

  <\definition>
    Eine Permutation <math|\<pi\>> heiÿt <strong|gerade>, wenn sie sich mit
    einer geraden Anzahl von Transpositionen darstellen lässt, ansonsten
    <strong|ungerade>.
  </definition>

  <\theorem>
    Eine Permutation ist genau dann gerade, wenn ihre Fehlstandszahl gerade
    ist.
  </theorem>

  <\definition>
    Sei <math|A=<around*|(|<around*|(|a<rsub|i*j>|)>|)>\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>>.
    Dann heiÿt

    <\equation*>
      det A=<around*|\||A|\|>\<assign\><big-around|\<sum\>|<rsub|\<pi\>\<in\>S<rsub|n>><around*|(|-1|)><rsup|F<around*|(|\<pi\>|)>>*a<rsub|\<pi\><around*|(|1|)>,1>*\<cdots\>*a<rsub|\<pi\><around*|(|n|)>,n>>
    </equation*>

    <strong|Determinante> der Matrix <math|A>.
  </definition>

  <\remark>
    \ 

    <\enumerate-alpha>
      <item>Ist <math|A> obere oder untere Dreiecksmatrix, so ist <math|det
      A=a<rsub|1 1>\<cdot\>\<ldots\>\<cdot\>a<rsub|n n>>.

      <item><math|det E<rsub|n>=1>
    </enumerate-alpha>
  </remark>

  <\theorem>
    Sei <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>>. Dann gilt: <math|det A=det
    A<rsup|\<top\>>>.
  </theorem>

  <\theorem>
    Die Abbildung <math|\<Delta\>:<around*|(|\<bbb-K\><rsup|n>|)><rsup|n>\<longrightarrow\>\<bbb-K\>>,
    <math|<around*|(|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)>\<mapsto\>det<around*|(|x<rsub|1><mid|\|>\<cdots\><mid|\|>x<rsub|n>|)>>
    hat folgende Eigenschaften:

    <\enumerate-alpha>
      <item>Sie ist <math|n>-fach multilinear, d.h. es gilt:

      <\equation*>
        \<Delta\><around*|(|\<ldots\>,x<rsub|j-1>,a*x<rsub|j>+b*x<rsub|j><rprime|'>,\<ldots\>|)>=a*\<Delta\><around*|(|\<ldots\>,x<rsub|j-1>,x<rsub|j>,x<rsub|j+1>,\<ldots\>|)>+b*\<Delta\><around*|(|\<ldots\>,x<rsub|j-1>,x<rsub|j><rprime|'>,x<rsub|j+1>,\<ldots\>|)>
      </equation*>

      <item>Für alle <math|\<pi\>\<in\>S<rsub|n>> gilt:
      <math|\<Delta\><around*|(|x<rsub|\<pi\><around*|(|1|)>>,\<ldots\>,x<rsub|\<pi\><around*|(|n|)>>|)>=<around*|(|-1|)><rsup|F<around*|(|\<pi\>|)>>*\<Delta\><around*|(|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)>>

      Insbesondere ist <math|\<Delta\>> alternierend, d.h. für
      <math|i\<neq\>j> gilt

      <\equation*>
        \<Delta\><around*|(|\<ldots\>,x<rsub|i>,\<ldots\>,x<rsub|j>,\<ldots\>|)>=-\<Delta\><around*|(|\<ldots\>,x<rsub|j>,\<ldots\>,x<rsub|i>,\<ldots\>|)>
      </equation*>

      <item><math|\<Delta\>> ist normiert, d.h.
      <math|\<Delta\><around*|(|e<rsub|1>,\<ldots\>,e<rsub|n>|)>=1>

      <item>Die Vektoren <math|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|n>> sind genau dann
      linear abhängig, wenn <math|\<Delta\><around*|(|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)>=0>.
    </enumerate-alpha>
  </theorem>

  <\theorem>
    Es sei <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>>. Dann gilt:

    <\enumerate-alpha>
      <item>Addition des Vielfachen einer Spalte (Zeile) zu einer anderen
      ändert <math|det A> nicht.

      <item>Multiplikation einer Spalte (Zeile) mit <math|a\<in\>\<bbb-K\>>
      vervielfacht <math|det A> um den Faktor <math|a>.

      <item>Vertauschen zweier Spalten (Zeilen) ändert das Vorzeichen von
      <math|det A>.

      <item><math|A> ist genau dann regulär, wenn <math|det A\<neq\>0>.
    </enumerate-alpha>
  </theorem>

  <\theorem>
    Es seien <math|A,B\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>>. Dann gilt:
    <math|det<around*|(|A\<cdot\>B|)>=det A\<cdot\>det B>.
  </theorem>

  <\corollary>
    <strong|(Kästchenmultiplikationssatz)> Ist
    <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>> von der Form

    <\equation*>
      A=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|B>|<cell|0>>|<row|<cell|C>|<cell|D>>>>><with|mode|text|
      oder >A=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|B>|<cell|C>>|<row|<cell|0>|<cell|D>>>>>
    </equation*>

    so gilt: <math|det A=det B\<cdot\>det D>.
  </corollary>

  <\remark>
    \ 

    <\enumerate-alpha>
      <item>Ist die Matrix <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>> regulär,
      so gilt: <math|det<around*|(|A<rsup|-1>|)>=<around*|(|det
      A|)><rsup|-1>>.

      <item>Ähnliche Matrizen besitzen dieselbe Determinante.

      <item>Wegen b) haben alle Abbildungsmatrizen einer linearen Abbildung
      <math|\<Phi\>\<in\>Hom<around*|(|V,V|)>> dieselbe Determinante. Daher
      wird die <strong|Determinante der linearen Abbildung <math|\<Phi\>>>
      definiert als

      <\equation*>
        det \<Phi\>\<assign\>det A<rsub|\<Phi\>>
      </equation*>
    </enumerate-alpha>
  </remark>

  <\theorem>
    <strong|(Cramersche Regel)> Sei <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>>
    eine reguläre Matrix mit den Spalten <math|a<rsub|1>,\<ldots\>,a<rsub|n>>
    und <math|b\<in\>\<bbb-K\><rsup|n>>. Dann ist die eindeutige Lösung des
    linearen Gleichungssystems <math|A*x=b> gegeben durch

    <\equation*>
      x=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|x<rsub|1>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|x<rsub|n>>>>>><with|mode|text|
      mit >x<rsub|i>=<frac|det<around*|(|a<rsub|1> <mid|\|> \<cdots\>
      <mid|\|> a<rsub|i-1> <mid|\|> b <mid|\|> a<rsub|i+1> <mid|\|> \<cdots\>
      <mid|\|> a<rsub|n>|)>|det A>
    </equation*>
  </theorem>

  <\theorem>
    Sei <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|n*\<times\>n>> regulär mit der Inversen
    <math|A<rsup|-1>=<around*|(|<around*|(|b<rsub|i,j>|)>|)>>. Dann gilt für
    alle <math|i,j\<in\><around*|{|1,\<ldots\>,n|}>>:

    <\equation*>
      b<rsub|i,j>=<around*|(|-1|)><rsup|i+j>*<around*|(|det
      A|)><rsup|-1>\<cdot\>det A<rsub|j,i>
    </equation*>

    wobei <math|A<rsub|j,i>> die Streichungsmatrix bezüglich der <math|j>-ten
    Zeile und der <math|i>-ten Spalte ist.
  </theorem>

  <section|Eigenwerte & Diagonalisierbarkeit>

  <\definition>
    Sei <math|V> ein <math|\<bbb-K\>>-Vektorraum und <math|\<Phi\> :
    V\<longrightarrow\>V> linear. Der Skalar <math|c\<in\>\<bbb-K\>> heiÿt
    <strong|Eigenwert> von <math|\<Phi\>>, falls ein Vektor <math|v\<in\>V>,
    <math|v\<neq\>O> existiert mit

    <\equation*>
      \<Phi\><around*|(|v|)>=c\<cdot\>v
    </equation*>

    Der Vektor <math|v> heiÿt <strong|Eigenvektor> von <math|\<Phi\>> zum
    Eigenwert <math|c>.
  </definition>

  <\remark>
    \ 

    <\enumerate-alpha>
      <item>Die Menge aller Eigenvektoren von <math|\<Phi\>> zu einem
      Eigenwert <math|c> bildet zusammen mit dem Nullvektor einen
      Untervektorraum von <math|V>, den <strong|Eigenraum> <math|E<rsub|c>>
      zum Eigenwert <math|c>. Es gilt

      <\equation*>
        E<rsub|c>=Kern<around*|(|\<Phi\>-c\<cdot\>id<rsub|V>|)>
      </equation*>

      Die Menge aller Eigenwerte von <math|\<Phi\>> heiÿt das
      <strong|Spektrum> von <math|\<Phi\>>.

      <item>Eine Matrix <math|A> legt eindeutig eine Funktion
      <math|\<Phi\>:\<bbb-K\><rsup|n>\<longrightarrow\>\<bbb-K\><rsup|n>\<nocomma\>,x\<mapsto\>A\<cdot\>x>
      fest. Daher kann man von Eigenwerten, Eigenvektoren und Eigenräumen
      quadratischer Matrizen reden.

      <item>Ähnliche Matrizen besitzen dieselben Eigenwerte.
    </enumerate-alpha>
  </remark>

  <\theorem>
    Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten sind linear
    unabhängig.
  </theorem>

  <\corollary>
    Jeder Endomorphismus eines <math|n>-dimensionalen
    <math|\<bbb-K\>>-Vektorraums bzw. jede Matrix
    <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>> besitzt höchstens <math|n>
    Eigenwerte.
  </corollary>

  <\remark>
    Es gilt:

    <\equation*>
      c<with|mode|text| ist Eigenwert von >A\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>
      \<Leftrightarrow\> <with|mode|text|es existiert
      <math|v\<in\>\<bbb-K\><rsup|n>>, <math|v\<neq\>O>><with|mode|text| mit
      >A\<cdot\>v=c\<cdot\>v<with|mode|text| bzw.
      ><around*|(|A-c\<cdot\>E<rsub|n>|)>*v=O \<Leftrightarrow\>
      <around*|(|A-c*E<rsub|n>|)>*v=O<with|mode|text| ist nichttrivial
      lösbar> \<Leftrightarrow\> Rang<around*|(|A-c*E<rsub|n>|)>\<less\>n\<Leftrightarrow\>
      det<around*|(|A-c*E<rsub|n>|)>=0
    </equation*>
  </remark>

  <\definition>
    Das Polynom

    <\equation*>
      p=det<around*|(|A-X*E<rsub|n>|)>
    </equation*>

    heiÿt <strong|charakteristisches Polynom> von <math|A>.
  </definition>

  <\remark>
    Wenn man <math|p> schreibt als <math|p=a<rsub|0>+a<rsub|1>*X+\<ldots\>+a<rsub|n-1>*X<rsup|n-1>+<around*|(|-1|)><rsup|n>*X<rsup|n>>,
    dann gilt

    <\itemize-minus>
      <item><math|a<rsub|0>=det A>

      <item><math|a<rsub|n-1>=<around*|(|-1|)><rsup|n-1>*Spur A>
    </itemize-minus>
  </remark>

  <\theorem>
    Genau dann ist <math|c\<in\>\<bbb-K\>> ein Eigenwert der Matrix
    <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>>, wenn <math|c> Nullstelle des
    charakteristischen Polynoms <math|p> von <math|A> ist.

    Ist <math|c> ein Eigenwert von <math|A>, so ist der Eigenraum
    <math|E<rsub|c>> gleich dem Lösungsraum des homogenen linearen
    Gleichungssystems <math|<around*|(|A-c*E<rsub|n>|)>*x=O>.
  </theorem>

  <\remark>
    Ähnliche Matrizen besitzen dasselbe charakteristische Polynom. Damit ist
    das charakteristische Polynom einer Abbildung <math|\<Phi\>> definiert.
  </remark>

  <\definition>
    Eine Matrix <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>> heiÿt
    <strong|diagonalisierbar>, wenn sie zu einer Diagonalmatrix ähnlich ist.
    Ein Endomorphismus <math|\<Phi\>> heiÿt diagonalisierbar, wenn es eine
    Abbildungsmatrix von <math|\<Phi\>> gibt, die Diagonalgestalt hat.
  </definition>

  <\theorem>
    Für einen Endomorphismus <math|\<Phi\>> eines <math|n>-dimensionalen
    <math|\<bbb-K\>>-Vektorraums <math|V> sind äquivalent:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|\<Phi\>> ist diagonalisierbar.

      <item>In <math|V> gibt es eine Basis aus Eigenvektoren von
      <math|\<Phi\>>.

      <item><math|V> ist die direkte Summe der Eigenräume von <math|\<Phi\>>.

      <item>Die Summe der Dimensionen der Eigenräume von <math|\<Phi\>> ist
      <math|n>.
    </enumerate-alpha>

    Analoges gilt für <math|\<Phi\>\<leftrightarrow\>A\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>>
    und <math|V\<leftrightarrow\>\<bbb-K\><rsup|n>>.
  </theorem>

  <\remark>
    Ist <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|*n\<times\>n>> diagonalisierbar und ist
    <math|<around*|(|v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|n>|)>> eine Basis von
    <math|\<bbb-K\><rsup|n>> aus Eigenvektoren von <math|A>, wobei
    <math|v<rsub|i>> Eigenvektor zum Eigenwert <math|c<rsub|i>> ist, so gilt
    für die reguläre Matrix <math|S=<around*|(|v<rsub|1> <mid|\|> \<cdots\>
    <mid|\|> v<rsub|n>|)>>:

    <\equation*>
      S<rsup|-1>*A*S=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|c<rsub|1>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|0>>|<row|<cell|>|<cell|c<rsub|2>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|c<rsub|n-1>>|<cell|>>|<row|<cell|0>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|c<rsub|n>>>>>>
    </equation*>
  </remark>

  <\corollary>
    Ein Endomorphismus <math|\<Phi\>> eines <math|n>-dimensionalen
    <math|\<bbb-K\>>-Vektorraumes beziehungsweise eine
    <math|<around*|(|n\<times\>n|)>>-Matrix <math|A> mit <math|n>
    verschiedenen Eigenwerten ist diagonalisierbar.
  </corollary>

  <\theorem>
    Sei <math|V> <math|n>-dimensionaler <math|\<bbb-K\>>-Vektorraum,
    <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>>. Dann ist <math|\<Phi\>> genau dan
    diagonalisierbar, wqenn sein charakteristisches Polynom in Linearfaktoren
    zerfällt, d.h.

    <\equation*>
      p=<around*|(|-1|)><rsup|n>*<around*|(|X-c<rsub|1>|)><rsup|r<rsub|1>>*\<cdots\>*<around*|(|X-c<rsub|k>|)><rsup|r<rsub|k>>
    </equation*>

    mit <math|r<rsub|i>\<in\>\<bbb-N\>> und paarweise verschiedenen
    <math|c<rsub|i>\<in\>\<bbb-K\>> und wenn für alle <math|i=1,\<ldots\>,k>
    gilt:

    <\equation*>
      dim Bild<around*|(|\<Phi\>-c<rsub|i>\<cdot\>id<rsub|V>|)>=n-r<rsub|i>
    </equation*>

    Dann heiÿt <math|r<rsub|i>> die Vielfachheit der Nullstelle
    <math|c<rsub|i>>.
  </theorem>

  <\remark>
    \ Die zweite Forderung besagt, dass die Dimension des Eigenraumes
    <math|E<rsub|c<rsub|i>>> mit der Vielfachheit <math|r<rsub|i>>
    übereinstimmen muss.
  </remark>

  <subsection|Der Satz von Cayley-Hamilton>

  <\definition>
    Für einen <math|\<bbb-K\>>-VR <math|V>,
    <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>> und
    <math|q=<big-around|\<sum\>|<rsub|i=0><rsup|m>a<rsub|i>*X<rsup|i>\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>>>
    sei

    <\equation*>
      q<around*|(|\<Phi\>|)>=<big-around|\<sum\>|<rsub|i=0><rsup|m>a<rsub|i>*\<Phi\><rsup|i>\<in\>End<around*|(|V|)>>
    </equation*>

    mit <math|\<Phi\><rsup|0>=id<rsub|V>>,
    <math|\<Phi\><rsup|l>=<wide*|\<Phi\>\<circ\>\<Phi\>\<circ\>\<ldots\>\<circ\>\<Phi\>|\<wide-underbrace\>><rsub|l<with|mode|text|-mal>>>
  </definition>

  <\remark>
    Sei <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>>. Dann ist
    <math|f<rsub|\<Phi\>>: \<bbb-K\><around*|[|X|]>\<longrightarrow\>End<around*|(|V|)>\<nocomma\>,q\<mapsto\>q<around*|(|\<Phi\>|)>>
    ein Homomorphismus <strong|(\REinsetzungshomomorphismus``)> bezüglich der
    VR- wie auch der Ringstrukturen auf <math|\<bbb-K\><around*|[|X|]>> und
    <math|End<around*|(|V|)>>.
  </remark>

  <\theorem>
    <strong|(Cayley-Hamilton)> Sei <math|V> ein <math|n>-dimensionaler
    <math|\<bbb-K\>>-VR und <math|p<rsub|\<Phi\>>=det<around*|(|A-X*E<rsub|n>|)>>.
    Dann ist <math|p<rsub|\<Phi\>><around*|(|\<Phi\>|)>=0\<in\>End<around*|(|V|)>>,
    also die Nullabbildung.
  </theorem>

  <\remark>
    Ein <em|normiertes> Polynom <math|m\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>> von
    kleinstem Grad mit <math|m<around*|(|\<Phi\>|)>=0> bzw.
    <math|m<around*|(|A|)>=0<rsub|n\<times\>n>> heiÿt <strong|Minimalpolynom>
    von <math|\<Phi\>> bzw. <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>> und ist
    eindeutig bestimmt.
  </remark>

  <\theorem>
    Das Minimalpolynom <math|m=m<around*|(|\<Phi\>|)>> von
    <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>> teilt jedes Polynom
    <math|q\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>> mit
    <math|q<around*|(|\<Phi\>|)>=0>.
  </theorem>

  <\corollary>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item><math|m> teilt <math|p<rsub|\<Phi\>>>.

      <item>Die Nullstellen von <math|m> sind die Nullstellen von
      <math|p<rsub|\<Phi\>>>, also die Eigenwerte von <math|\<Phi\>>.
    </itemize-minus>
  </corollary>

  <\remark>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item><math|p<rsub|\<Phi\>>=<around*|(|-1|)><rsup|n>*<around*|(|X-\<lambda\><rsub|1>|)><rsup|r<rsub|1>>\<cdot\>\<ldots\>\<cdot\><around*|(|X-\<lambda\><rsub|k>|)><rsup|r<rsub|k>>>
      mit paarweise verschiedenen <math|\<lambda\><rsub|i>>

      <math|\<Rightarrow\> m<rsub|\<Phi\>>=<around*|(|X-\<lambda\><rsub|1>|)><rsup|s<rsub|1>>\<cdot\>\<ldots\>\<cdot\><around*|(|X-\<lambda\><rsub|k>|)><rsup|s<rsub|k>>>
      mit <math|1\<leqslant\>s<rsub|i>\<leqslant\>r<rsub|i>> (Achtung: i.A.
      gilt <math|s<rsub|i>\<geqslant\>1>!)

      <item><math|\<Phi\>> diagonalisierbar mit Eigenwerten
      <math|\<lambda\><rsub|1>,\<ldots\>,\<lambda\><rsub|k>>
      <math|\<Rightarrow\>> <math|m=<around*|(|X-\<lambda\><rsub|1>|)>\<cdot\>\<ldots\>\<cdot\><around*|(|X-\<lambda\><rsub|k>|)>>
    </itemize-minus>
  </remark>

  <\example>
    Finde für <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>> und
    <math|q\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>> den Wert von
    <math|q<around*|(|A|)>>:

    Dividiere <math|q> durch <math|p<rsub|A>>:
    <math|q=P<rsub|1>\<cdot\>p<rsub|A>+P<rsub|2> \<Rightarrow\>
    q<around*|(|A|)>=P<rsub|1><around*|(|A|)>\<cdot\><wide*|p<rsub|A><around*|(|A|)>|\<wide-underbrace\>><rsub|=0>+P<rsub|2><around*|(|A|)>=P<rsub|2><around*|(|A|)>>

    Ist das Minimalpolynom bekannt und von kleinerem Grad als
    <math|p<rsub|A>>, so teilt man zweckmäÿigerweise durch das
    Minimalpolynom!
  </example>

  <subsection|Die Jordansche Normalform>

  <\theorem>
    <math|V> <math|n>-dimensionaler <math|\<bbb-K\>>-VR,
    <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>>.

    Ist <math|q\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>> mit
    <math|q<around*|(|\<Phi\>|)>=0> und gilt
    <math|q=q<rsub|1>\<cdot\>\<ldots\>\<cdot\>q<rsub|k>> mit paarweise
    teilerfremden <math|q<rsub|i>\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>>, so sind
    alle UVR <math|V<rsub|i>\<assign\>Kern q<rsub|i><around*|(|\<Phi\>|)>>
    <math|\<Phi\>>-invariant und <math|V=<big-around|\<oplus\>|<rsub|i=1><rsup|k>V<rsub|i>>>.

    Ferner gilt bezüglich einer geeigneten Basis für die Abbildungsmatrix von
    <math|\<Phi\>>:

    <\equation*>
      A<rsub|\<Phi\>>=<matrix|<tformat|<cwith|1|1|1|1|cell-lborder|0.5pt>|<cwith|1|1|1|1|cell-rborder|0.5pt>|<cwith|1|1|1|1|cell-bborder|0.5pt>|<cwith|1|1|1|1|cell-tborder|0.5pt>|<cwith|3|3|3|3|cell-lborder|0.5pt>|<cwith|3|3|3|3|cell-rborder|0.5pt>|<cwith|3|3|3|3|cell-bborder|0.5pt>|<cwith|3|3|3|3|cell-tborder|0.5pt>|<table|<row|<cell|A<rsub|1>>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|A<rsub|k>>>>>>
    </equation*>

    mit <math|A<rsub|i>> Abbildungsmatrix von
    <math|\<Phi\><mid|\|><rsub|V<rsub|i>>>.

    Darüber hinaus gilt für das Minimalpolynom <math|m<rsub|\<Phi\>>>: Ist
    <math|m<rsub|\<Phi\>>=<big-around|\<prod\>|<rsub|i=1><rsup|k>m<rsub|i>>>
    Zerlegung von <math|m<rsub|\<Phi\>>> in teilerfremde normierte Faktoren
    <math|m<rsub|i>\<in\>\<bbb-K\><around*|[|X|]>>, so ist <math|m<rsub|i>>
    das Minimalpolynom von <math|\<Phi\><mid|\|><rsub|Kern
    m<rsub|i><around*|(|\<Phi\>|)>>>.
  </theorem>

  <\theorem>
    <math|V> <math|n>-dimensionaler <math|\<bbb-K\>>-VR,
    <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>>. Dann gilt:

    <math|\<Phi\>> ist diagonalisierbar <math|\<Longleftrightarrow\>>
    <math|m<around*|(|\<Phi\>|)>> zerfällt in einfache Linearfaktoren
    <math|m=<around*|(|X-\<lambda\><rsub|1>|)>\<cdot\>\<ldots\>\<cdot\><around*|(|X-\<lambda\><rsub|k>|)>>
    mit paarweise verschiedenen <math|\<lambda\><rsub|i>\<in\>\<bbb-K\>>.

    Entsprechendes gilt für <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|n\<times\>n>> statt
    <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>>.<space|-0.2spc>
  </theorem>

  <subsubsection|Haupträume>

  <\definition>
    \ Es sei <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>> und <math|\<lambda\>>
    Eigenwert von <math|\<Phi\>> der Vielfachheit <math|r>, also
    <math|p<rsub|\<Phi\>>=<around*|(|X-\<lambda\>|)><rsup|r>\<cdot\><wide|p|\<bar\>>>
    mit <math|<wide|p|\<bar\>><around*|(|\<lambda\>|)>\<neq\>0>.

    <math|m<rsub|\<Phi\>>> teilt <math|p<rsub|\<Phi\>>> <math|\<Rightarrow\>>
    <math|m<rsub|\<Phi\>>=<around*|(|X-\<lambda\>|)><rsup|s>\<cdot\><wide|m|\<bar\>>>
    mit <math|<wide|m|\<bar\>><around*|(|\<lambda\>|)>\<neq\>0>,
    <math|1\<leqslant\>s\<leqslant\>r>, <math|<wide|m|\<bar\>>> teilt
    <math|<wide|p|\<bar\>>>.

    <\itemize-minus>
      <item><math|H<rsub|\<lambda\>> \<assign\>
      Kern<around*|(|\<Phi\>-\<lambda\>*id<rsub|V>|)><rsup|r>> heiÿt
      <strong|Hauptraum> zum Eigenwert <math|\<lambda\>> von <math|\<Phi\>>.

      <item><math|s>, die Vielfachheit der Nullstelle <math|\<lambda\>> von
      <math|m<rsub|\<Phi\>>>, heiÿt <strong|Index des Hauptraums>
      <math|H<rsub|\<lambda\>>>.
    </itemize-minus>
  </definition>

  <\theorem>
    <math|V> <math|n>-dimensionaler <math|\<bbb-K\>>-VR,
    <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>>, <math|\<lambda\>> Eigenwert von
    <math|\<Phi\>>. Dann gilt:

    Der Index <math|s> von <math|H<rsub|\<lambda\>>> ist die kleinste Zahl
    <math|s\<in\>\<bbb-N\>> mit <math|Kern<around*|(|\<Phi\>-\<lambda\>*id<rsub|V>|)><rsup|s>=Kern<around*|(|\<Phi\>-\<lambda\>*id<rsub|V>|)><rsup|s+1>>.
  </theorem>

  <\remark>
    <math|s> ist auch charakterisierbar als die kleinste Zahl mit

    <\itemize-minus>
      <item><math|dim Kern<around*|(|\<Phi\>-\<lambda\>*id<rsub|V>|)><rsup|s>=dim
      Kern<around*|(|\<Phi\>-\<lambda\>*id<rsub|V>|)><rsup|s+1>> bzw.

      <item><math|dim Bild<around*|(|\<Phi\>-\<lambda\>*id<rsub|V>|)><rsup|s>=dim
      Bild<around*|(|\<Phi\>-\<lambda\>*id<rsub|V>|)><rsup|s+1>> bzw.

      <item><math|Rang<around*|(|A<rsub|\<Phi\>>-\<lambda\>*E<rsub|n>|)><rsup|s>=Rang<around*|(|A<rsub|\<Phi\>>-\<lambda\>*E<rsub|n>|)><rsup|s+1>>.
    </itemize-minus>

    Für Matrizen <math|A\<in\>\<bbb-K\><rsup|*n\<times\>n>> ist
    <math|H<rsub|\<lambda\>>=<around*|{|v\<in\>\<bbb-K\><rsup|n> <mid|\|>
    <around*|(|A-\<lambda\>*E<rsub|n>|)><rsup|r>*v=O|}>>.

    <em|Speziell:> <math|H<rsub|\<lambda\>>=V > bzw.
    <math|H<rsub|\<lambda\>>=\<bbb-K\><rsup|n>> (<math|\<Leftrightarrow\>
    p=<around*|(|-1|)><rsup|n>*<around*|(|X-\<lambda\>|)><rsup|n>>)
    <math|\<Rightarrow\>> <math|s> ist kleinste Zahl mit
    <math|<around*|(|\<Phi\>-\<lambda\>*id<rsub|V>|)><rsup|s>=O>.
  </remark>

  <strong|Kochen mit Jordan:> <hlink|www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf|>

  <\theorem>
    <strong|(Jordansche Normalform)> <math|V> <math|n>-dimensionaler
    <math|\<bbb-K\>>-VR, <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>> mit

    <math|p<rsub|\<Phi\>>=<around*|(|-1|)><rsup|n>*<around*|(|X-\<lambda\><rsub|1>|)><rsup|r<rsub|1>>\<cdot\>\<ldots\>\<cdot\><around*|(|X-\<lambda\><rsub|k>|)><rsup|r<rsub|k>>>
    und Minimalpolynom <math|><with|mode|math|m<rsub|\<Phi\>>=*<around*|(|X-\<lambda\><rsub|1>|)><rsup|s<rsub|1>>\<cdot\>\<ldots\>\<cdot\><around*|(|X-\<lambda\><rsub|k>|)><rsup|s<rsub|k>>>
    mit paarweise verschiedenen <math|\<lambda\><rsub|i>\<in\>\<bbb-K\>>.

    (Diese Zerlegung gibt es für <math|\<bbb-K\>=\<bbb-C\>> immer!)

    Dann existiert eine geordnete Basis <math|B> von <math|V> mit\ 

    <\equation*>
      A<rsub|\<Phi\>><around*|(|B,B|)>=<matrix|<tformat|<cwith|3|3|3|3|cell-lborder|0.5pt>|<cwith|3|3|3|3|cell-rborder|0.5pt>|<cwith|3|3|3|3|cell-bborder|0.5pt>|<cwith|3|3|3|3|cell-tborder|0.5pt>|<cwith|1|1|1|1|cell-lborder|0.5pt>|<cwith|1|1|1|1|cell-rborder|0.5pt>|<cwith|1|1|1|1|cell-bborder|0.5pt>|<cwith|1|1|1|1|cell-tborder|0.5pt>|<table|<row|<cell|A<rsub|\<lambda\><rsub|1>>>|<cell|>|<cell|0>>|<row|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>>|<row|<cell|0>|<cell|>|<cell|A<rsub|\<lambda\><rsub|k>>>>>>>
    </equation*>

    mit Jordan-Blöcken <math|A<rsub|\<lambda\><rsub|i>>> zum Eigenwert
    <math|\<lambda\><rsub|i>>

    <\equation*>
      A<rsub|\<lambda\><rsub|i>>=<matrix|<tformat|<cwith|4|4|1|4|cell-bborder|0.5pt>|<cwith|1|1|1|4|cell-tborder|.5pt>|<cwith|1|4|1|1|cell-lborder|.5pt>|<cwith|1|4|4|4|cell-rborder|.5pt>|<cwith|6|6|6|6|cell-lborder|0.5pt>|<cwith|6|6|6|6|cell-rborder|0.5pt>|<cwith|6|6|6|6|cell-bborder|0.5pt>|<cwith|6|6|6|6|cell-tborder|0.5pt>|<cwith|7|7|7|7|cell-lborder|0.5pt>|<cwith|7|7|7|7|cell-rborder|0.5pt>|<cwith|7|7|7|7|cell-bborder|0.5pt>|<cwith|7|7|7|7|cell-tborder|0.5pt>|<table|<row|<cell|\<lambda\><rsub|i>>|<cell|0>|<cell|>|<cell|0>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|1>|<cell|\<ddots\>>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|\<ddots\>>|<cell|0>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|0>|<cell|>|<cell|1>|<cell|\<lambda\><rsub|i>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|\<lambda\><rsub|i>>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|\<lambda\><rsub|i>>>>>>
    </equation*>

    Dabei hat <math|A<rsub|\<lambda\><rsub|i>>> die Länge <math|r<rsub|i>>
    und für gegebenes <math|l\<in\><around*|{|1,\<ldots\>,s<rsub|i>|}>> gibt
    es in <math|A<rsub|\<lambda\><rsub|i>>> insgesamt

    <\equation*>
      2*dim Kern<around*|(|\<Phi\>-\<lambda\><rsub|i>*id<rsub|V>|)><rsup|l>-dim
      Kern<around*|(|\<Phi\>-\<lambda\><rsub|i>*id<rsub|V>|)><rsup|l+1>-dim
      Kern<around*|(|\<Phi\>-\<lambda\><rsub|i>*id<rsub|V>|)><rsup|l-1>
    </equation*>

    Jordan-Kästchen der Länge <math|l>.

    Insgesamt treten in <math|A<rsub|\<lambda\><rsub|i>>> <math|dim
    E<rsub|\<lambda\><rsub|i>>> Jordan-Kästchen auf und es gibt stets
    mindestens ein Jordan-Kästchen der Länge <math|s<rsub|i>>.

    Notation: <math|A<rsub|\<Phi\>>> heiÿt <strong|Jordansche Normalform>
    (JNF) von <math|\<Phi\>> und <math|B> eine <strong|Jordan-Basis> von
    <math|\<Phi\>>.
  </theorem>

  <\remark>
    Für Matrizen gilt der Satz über die JNF ebenso und die entsprechende
    Matrix <math|<wide|A|~>> heiÿt dann JNF von <math|A>.
    <strong|<math|<wide|A|~>> ist ähnlich zu <math|A>.>

    Zwei Matrizen <math|A,B\<in\>\<bbb-K\><rsup|*n\<times\>n>> haben genau
    dann die gleiche JNF (so existent), wenn sie ähnlich sind.
  </remark>

  <subsection|Die reelle Jordan-Form>

  <\lemma>
    Sei <math|p\<in\>\<bbb-R\><around*|[|X|]>> normiert. Dann besitzt
    <math|p> eine Zerlegung

    <\equation*>
      p=<around*|(|X-c<rsub|1>|)><rsup|r<rsub|1>>*\<ldots\>*<around*|(|X-c<rsub|k>|)><rsup|r<rsub|k>>*<around*|(|X<rsup|2>+\<alpha\><rsub|1>*X+\<beta\><rsub|1>|)><rsup|t<rsub|1>>*\<ldots\><around*|(|X<rsup|2>+\<alpha\><rsub|m>*X+\<beta\><rsub|m>|)><rsup|t<rsub|m>>
    </equation*>

    wobei die <math|X<rsup|2>+\<alpha\><rsub|j>*X+\<beta\><rsub|j>> keine
    reellen Nullstellen haben.
  </lemma>

  <\theorem>
    Besitzt <math|A\<in\>\<bbb-R\><rsup|n\<times\>n>> das charakteristische
    Polynom <math|p> wie oben, in dem <math|c<rsub|1>,\<ldots\>,c<rsub|k>>
    die paarweise verschiedenen reellen Eigenwerte von <math|A> sind und die
    quadratischen Polynome paarweise verschieden <em|ohne> reelle Nullstellen
    sind, so existiert eine zu <math|A> ähnliche Matrix <math|<wide|A|~>> mit

    <\equation*>
      <wide|A|~>=<matrix|<tformat|<cwith|1|1|1|1|cell-lborder|0.5pt>|<cwith|1|1|1|1|cell-rborder|0.5pt>|<cwith|1|1|1|1|cell-bborder|0.5pt>|<cwith|1|1|1|1|cell-tborder|0.5pt>|<cwith|3|3|3|3|cell-lborder|0.5pt>|<cwith|3|3|3|3|cell-rborder|0.5pt>|<cwith|3|3|3|3|cell-bborder|0.5pt>|<cwith|3|3|3|3|cell-tborder|0.5pt>|<cwith|4|4|4|4|cell-lborder|0.5pt>|<cwith|4|4|4|4|cell-rborder|0.5pt>|<cwith|4|4|4|4|cell-bborder|0.5pt>|<cwith|4|4|4|4|cell-tborder|0.5pt>|<cwith|6|6|6|6|cell-lborder|0.5pt>|<cwith|6|6|6|6|cell-rborder|0.5pt>|<cwith|6|6|6|6|cell-bborder|0.5pt>|<cwith|6|6|6|6|cell-tborder|0.5pt>|<table|<row|<cell|A<rsub|c<rsub|1>>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|A<rsub|c<rsub|k>>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|B<rsub|1>>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|B<rsub|m>>>>>>
    </equation*>

    wobei <math|A<rsub|c<rsub|1>>,\<ldots\>,A<rsub|c<rsub|k>>> die
    Jordan-Blöcke zu den Eigenwerten <math|c<rsub|1>,\<ldots\>,c<rsub|k>>
    sind.

    Die <math|B<rsub|l>> haben die Form

    <\equation*>
      B<rsub|l>=<matrix|<tformat|<cwith|1|1|1|1|cell-lborder|0.5pt>|<cwith|1|1|1|1|cell-rborder|0.5pt>|<cwith|1|1|1|1|cell-bborder|0.5pt>|<cwith|1|1|1|1|cell-tborder|0.5pt>|<cwith|3|3|3|3|cell-lborder|0.5pt>|<cwith|3|3|3|3|cell-rborder|0.5pt>|<cwith|3|3|3|3|cell-bborder|0.5pt>|<cwith|3|3|3|3|cell-tborder|0.5pt>|<table|<row|<cell|B<rsub|l><rsup|1>>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|B<rsub|l><rsup|n<rsub|l>>>>>>>
    </equation*>

    und für <math|j=1,\<ldots\>,n> gilt

    <\equation*>
      B<rsub|l><rsup|j>=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|l>>|<cell|b<rsub|l>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|-b<rsub|l>>|<cell|a<rsub|l>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|1>|<cell|0>|<cell|a<rsub|l>>|<cell|b<rsub|l>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|0>|<cell|1>|<cell|-b<rsub|l>>|<cell|a<rsub|l>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|1>|<cell|0>|<cell|a<rsub|l>>|<cell|b<rsub|l>>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|0>|<cell|1>|<cell|-b<rsub|l>>|<cell|a<rsub|l>>>>>>
    </equation*>

    und <math|a<rsub|l>\<pm\>\<mathi\>*b<rsub|l>>, <math|b<rsub|l>\<gtr\>0>
    die komplexen Nullstellen von <math|<around*|(|X<rsup|2>+\<alpha\><rsub|l>*X+\<beta\><rsub|l>|)>>.
  </theorem>

  <\remark>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item><math|n<rsub|l>> und die Gröÿe von <math|B<rsub|l><rsup|j>>
      folgen aus der komplexen JNF von <math|A>
      (<math|A\<in\>\<bbb-R\><rsup|n\<times\>n>\<subset\>\<bbb-C\><rsup|n\<times\>n>>):

      <\itemize-minus>
        <item><math|n<rsub|l>> = Anzahl Jordan-Kästchen zum Eigenwert
        <math|\<alpha\><rsub|l>+\<mathi\>*\<beta\><rsub|l>>

        <item>Für alle Jordan-Kästchen der Länge <math|q> zum Eigenwert
        <math|\<alpha\><rsub|l>+\<mathi\>*\<beta\><rsub|l>> existiert ein
        Jordan-Kästchen <math|B<rsub|l><rsup|j>> der Länge <math|2*q>.
      </itemize-minus>

      <item>Basisbestimmung der JNF <math|<wide|A|~>> von <math|A> erfolgt
      mit dem obigen Ansatz aus den konjugiert komplexen Basisvektoren zur
      Jordan-Basis von <math|A\<in\>\<bbb-C\><rsup|n\<times\>n>>.
    </itemize-minus>
  </remark>

  <section|Euklidische und unitäre Vektorräume>

  <\definition>
    <math|V,W> <math|\<bbb-K\>>-VRe, <math|\<bbb-K\>> Körper: Eine Abbildung
    <math|B:V\<times\>W\<longrightarrow\>\<bbb-K\>> heiÿt
    <strong|Bilinearform>, falls <math|B> in beiden Komponenten eine
    <math|\<bbb-K\>>-lineare Abbildung ist, also

    <\itemize-minus>
      <item><math|B<around*|(|v<rsub|1>+v<rsub|2>,w|)>=B<around*|(|v<rsub|1>,w|)>+B<around*|(|v<rsub|2>,w|)>>
      und <math|B<around*|(|v,w<rsub|1>+w<rsub|2>|)>=B<around*|(|v,w<rsub|1>|)>+B<around*|(|v,w<rsub|2>|)>>

      <item><math|B<around*|(|\<lambda\>*v,w|)>=\<lambda\>*B<around*|(|v,w|)>>
      und <math|B<around*|(|v,\<lambda\>*w|)>=\<lambda\>*B<around*|(|v,w|)>>
    </itemize-minus>

    Für <math|V=W> spricht man von einer Bilinearform auf <math|V>.

    Ein solches <math|B> heiÿt <strong|symmetrisch>, falls
    <math|B<around*|(|v,w|)>=B<around*|(|w,v|)>> für alle <math|v,w\<in\>V>

    sowie <strong|positiv definit>, falls <math|B<around*|(|v,v|)>\<gtr\>0>
    für alle <math|v\<in\>V>, <math|v\<neq\>O>.
  </definition>

  <\definition>
    Ein <strong|Skalarprodukt> (SKP) auf einem <math|\<bbb-R\>>-VR <math|V>
    ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform auf <math|V>.
  </definition>

  <\remark>
    Ist <math|B> SKP auf <math|V>, so schreibt man auch
    <math|B=<around*|\<langle\>| ,|\<rangle\>>:V\<times\>V\<longrightarrow\>\<bbb-R\>>
    und nennt <math|V=<around*|(|V,<around*|\<langle\>|\<nocomma\>
    ,|\<rangle\>>|)>> <strong|euklidischen Vektorraum> (EVR).
  </remark>

  <\definition>
    <math|<around*|(|V,\<less\>,\<gtr\>|)>> sei euklidischer Vektorraum.

    <\itemize-minus>
      <item><math|<around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>>\<assign\><sqrt|<around*|\<langle\>|x,x|\<rangle\>>>>
      heiÿt <strong|Norm> (oder Länge) von <math|x\<in\>V> und
      <math|<around*|\<\|\|\>|\<cdummy\>|\<\|\|\>>:V\<longrightarrow\>\<bbb-R\>>,
      <math|x\<mapsto\><around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>>> heiÿt Norm. Sie
      erfüllt:

      <\itemize-minus>
        <item><math|<around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>>\<geqslant\>0> für alle
        <math|x\<in\>V> und <math|<around*|\<\|\|\>|O|\<\|\|\>>=0>

        <item><math|<around*|\<\|\|\>|\<lambda\>*x|\<\|\|\>>=<around*|\||\<lambda\>|\|>*\<cdot\><around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>>>
        für alle <math|x\<in\>V,\<lambda\>\<in\>\<bbb-R\>>

        <item><math|<around*|\<\|\|\>|x+y|\<\|\|\>>\<leqslant\><around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>>+<around*|\<\|\|\>|y|\<\|\|\>>>
        (Minkovski-Ungleichung)
      </itemize-minus>

      Im Allgemeinen werden Normen <em|nicht> von Skalarprodukten induziert.
      Von einem solchen stammt eine Norm genau dann, wenn sie die
      Parallelogrammgleichung (s.u.) erfüllt.

      <item>Eine <strong|Metrik> <math|d> auf einer Menge <math|X> ist eine
      Abbildung <math|d:X\<times\>X\<longrightarrow\>\<bbb-R\>> mit

      <\itemize-minus>
        <item><math|d<around*|(|x,y|)>\<geqslant\>0> und
        <math|d<around*|(|x,y|)>=0 \<Longleftrightarrow\> x=y>

        <item><math|d<around*|(|x,y|)>=d<around*|(|y,x|)>>

        <item><math|d<around*|(|x,y|)>\<leqslant\>d<around*|(|x,z|)>+d<around*|(|z,y|)>>
        (Dreiecksungleichung)
      </itemize-minus>

      <math|<around*|(|X,d|)>> heiÿt dann <strong|metrischer Raum> und
      <math|d<around*|(|x,y|)>> Abstand/Distanz zwischen <math|x> und
      <math|y>.
    </itemize-minus>
  </definition>

  <\remark>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item><math|X=V> <math|\<bbb-R\>>-VR und <math|<around*|\<langle\>|
      ,|\<rangle\>>> Skalarprodukt auf <math|V> <math|\<Rightarrow\>>
      <math|<around*|\<langle\>| ,|\<rangle\>>> induziert Norm
      <math|<around*|\<\|\|\>|\<cdummy\>|\<\|\|\>>> auf <math|V>.

      <math|\<Rightarrow\>> <math|d> mit <math|d<around*|(|x,y|)>\<assign\><around*|\<\|\|\>|x-y|\<\|\|\>>>
      ist Metrik auf <math|V>.

      <item><math|x,y\<in\>V> heiÿen <strong|orthogonal>
      (<math|x\<perp\>y>)<math| :\<Leftrightarrow\>
      <around*|\<langle\>|x,y|\<rangle\>>=0>

      <item><math|X> Menge <math|\<exists\>> Metrik <math|d> auf <math|X>
      (\Rdiskrete/triviale Metrik``), nämlich
      <math|d<around*|(|x,y|)>=<mid|{><tabular|<tformat|<table|<row|<cell|0:>|<cell|x=y>>|<row|<cell|1:>|<cell|x\<neq\>y>>>>>>

      <item>Für <math|A,B\<subset\>V> heiÿen <math|A> und <math|B>
      orthognonal (<math|A\<perp\>B>), wenn für alle <math|x\<in\>A,y\<in\>B>
      gilt <math|x\<perp\>y>.

      <item>Für <math|A\<subset\>V> heiÿt dann
      <math|A<rsup|\<perp\>>\<assign\><around*|{|x\<in\>V <mid|\|>
      x\<perp\>A|}>> <strong|orthogonales Komplement> von <math|A> in
      <math|V>. Dann gilt:

      <\itemize-minus>
        <item><math|A<rsup|\<perp\>>> ist Untervektorraum von <math|V> (auch
        wenn <math|A> selbst kein UVR ist!)

        <item><math|A<rsup|\<perp\>>=<around*|[|A|]><rsup|\<perp\>>>

        <item><math|A<rsup|\<perp\>>\<cap\><around*|[|A|]>=<around*|{|O|}>>

        <item><math|<around*|[|A|]>\<subset\><around*|(|A<rsup|\<perp\>>|)><rsup|\<perp\>>>
      </itemize-minus>
    </itemize-minus>
  </remark>

  <\theorem>
    <label|normzeugs>Sei <math|V> EVR, <math|x,y,z\<in\>V>,
    <math|<around*|\<\|\|\>|\<cdummy\>|\<\|\|\>>> durch das Skalarprodukt
    induzierte Norm. Dann gilt:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|<around*|\||<around*|\<langle\>|x,y|\<rangle\>>|\|>\<leqslant\><around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>>\<cdot\><around*|\<\|\|\>|y|\<\|\|\>>>
      (Cauchy-Schwarz-Ungleichung)

      \R<math|=>`` gilt genau dann, wenn <math|x> und <math|y> linear
      abhängig sind.

      <item><math|<around*|\<\|\|\>|x+y|\<\|\|\>>\<leqslant\><around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>>+<around*|\<\|\|\>|y|\<\|\|\>>>
      (Minkowski-Ungleichung)

      <item><math|d<around*|(|x,y|)>\<leqslant\>d<around*|(|x,z|)>+d<around*|(|x,y|)>>
      (Dreiecksungleichung)

      <item><math|<around*|\<\|\|\>|x+y|\<\|\|\>><rsup|2>+<around*|\<\|\|\>|x-y|\<\|\|\>><rsup|2>=2*<around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>><rsup|2>+2*<around*|\<\|\|\>|y|\<\|\|\>><rsup|2>>
      (Parallelogrammgleichung)

      <item><math|<around*|\<\|\|\>|x+y|\<\|\|\>><rsup|2>+<around*|\<\|\|\>|x-y|\<\|\|\>><rsup|2>
      = 4*<around*|\<langle\>|x,y|\<rangle\>>>

      <item><math|x\<perp\>y \<Longleftrightarrow\><around*|\<\|\|\>|x+y|\<\|\|\>><rsup|2>=<around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>><rsup|2>+<around*|\<\|\|\>|y|\<\|\|\>><rsup|2>>
      (Pythagoras)
    </enumerate-alpha>
  </theorem>

  <\definition>
    Ist <math|<around*|(|V,<around*|\<langle\>| ,|\<rangle\>>|)>> EVR und
    <math|O\<neq\>x,y\<in\>V>, so heiÿt die Zahl
    <math|\<varphi\>\<in\><around*|[|0,\<pi\>|]>> mit

    <\equation*>
      cos \<varphi\>=<frac|<around*|\<langle\>|x,y|\<rangle\>>|<around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>>\<cdot\><around*|\<\|\|\>|y|\<\|\|\>>>
    </equation*>

    <strong|Winkel zwischen <math|x> und <math|y>>.
  </definition>

  <\theorem>
    <math|V> <math|n>-dimensionaler <math|\<bbb-R\>>-VR mit Basis
    <math|<around*|(|v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|n>|)>>.

    <math|\<beta\>: V\<times\>V\<longrightarrow\>\<bbb-R\>> ist genau dann
    Skalarprodukt auf <math|V>, falls eine symmetrische positiv definite
    Matrix <math|A\<in\>\<bbb-R\><rsup|n\<times\>n>> existiert mit
    <math|\<beta\><around*|(|x,y|)>=<wide|x|^><rsup|\<top\>>*A*<wide|y|^>>,
    wobei <math|<wide|x|^>,<wide|y|^>> Koordinatenvektoren von <math|x,y>
    sind.
  </theorem>

  <\theorem>
    <math|A\<in\>\<bbb-R\><rsup|n\<times\>n>> symmetrisch
    <math|\<Rightarrow\>>

    <\itemize-minus>
      <item><math|A> diagonalisierbar

      <item>Eigenvektoren von <math|A> zu verschiedenen Eigenwerten sind
      bezüglich des Standard-SKP im <math|\<bbb-R\><rsup|n>> orthogonal.
    </itemize-minus>
  </theorem>

  <\theorem>
    Für eine symmetrische Matrix <math|A\<in\>\<bbb-R\><rsup|n\<times\>n>>
    gilt:

    <\equation*>
      A<with|mode|text| ist positiv definit
      >\<Leftrightarrow\><with|mode|text| Alle Eigenwerte von <math|A> sind
      positiv>
    </equation*>
  </theorem>

  <\theorem>
    <math|A\<in\>\<bbb-R\><rsup|n\<times\>n>> sei symmetrisch. Dann sind
    äquivalent:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|A> ist positiv definit

      <item>Es existiert eine invertierbare Matrix
      <math|B\<in\>\<bbb-R\><rsup|n\<times\>n>> mit
      <math|A=B<rsup|\<top\>>*B>

      <math|B> ist dann obere Dreiecksmatrix

      <item>Alle Hauptminoren (Haupt-Unterdeterminanten) von <math|A> sind
      positiv.
    </enumerate-alpha>
  </theorem>

  <subsection|Orthogonalbasen und -projektionen>

  <\definition>
    <math|V> EVR, <math|A\<subset\>V> nichtleer heiÿt
    <strong|Orthogonalsystem> (OGS), wenn gilt:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|O\<nin\>A>

      <item>Paarweise verschiedene Vektoren <math|x,y\<in\>A> sind orthogonal
    </enumerate-alpha>

    <math|A> heiÿt <strong|Orthonormalsystem> (ONS), wenn <math|A>
    Orthogonalsystem ist und für alle <math|x\<in\>A> gilt:
    <with|mode|math|<around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>>=1>.

    Ist <math|A> zusätzlich Basis von <math|V>, so heiÿt <math|A>
    <strong|Orthogonalbasis> (OGB) bzw. <strong|Orthonormalbasis> (ONB)
  </definition>

  <\theorem>
    <label|ogs-lu>Sei <math|V> EVR, <math|A\<subset\>V> Orthogonalsystem.
    Dann ist <math|A> linear unabhängig.
  </theorem>

  <\corollary>
    Sei <math|A> Orthogonalsystem in <math|V>. Dann ist <math|A>
    Orthogonalbasis <math|\<Leftrightarrow\>> <math|<around*|[|A|]>=V>.
  </corollary>

  <\theorem>
    <math|V> EVR mit <math|dim V\<less\>\<infty\>>. Dann gibt es eine
    Orthonormalbasis von <math|V>.

    (gilt auch für VR mit abzählbarer Basis)

    Beweis mittels <strong|Gram-Schmidt-Orthogonalisierung>: Sei <math|n=dim
    V>, <math|B<rprime|'>\<assign\><around*|(|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)>>
    Basis von <math|V>

    <\itemize-minus>
      <item><math|<wide|y<rsub|1>|~>\<assign\>x<rsub|1>>,
      <math|y<rsub|1>:=<frac|<wide|y<rsub|1>|~>|<around*|\<\|\|\>|<wide|y<rsub|1>|~>|\<\|\|\>>>>

      <item><math|<wide|y<rsub|2>|~>\<assign\>x<rsub|2>-<around*|\<langle\>|x<rsub|2>,y<rsub|1>|\<rangle\>>*y<rsub|1>>,
      <math|y<rsub|2>=<frac|<wide|y<rsub|2>|~>|<around*|\<\|\|\>|<wide|y<rsub|2>|~>|\<\|\|\>>>>

      <item><math|\<ldots\>>

      <item><math|<wide|y<rsub|k>|~>\<assign\>x<rsub|k>-<big-around|\<sum\>|<rsub|i=1><rsup|k-1><around*|\<langle\>|x<rsub|k>,y<rsub|i>|\<rangle\>>*y<rsub|i>>>,
      <math|y<rsub|k>=<frac|<wide|y<rsub|k>|~>|<around*|\<\|\|\>|<wide|y<rsub|k>|~>|\<\|\|\>>>>
    </itemize-minus>
  </theorem>

  <\remark>
    \ 

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|B=<around*|(|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)>> ONB von
      <math|V> <math|\<Rightarrow\>> für alle <math|x\<in\>V> gilt
      <math|x=<big-around|\<sum\>|<rsub|i=1><rsup|n><around*|\<langle\>|x,x<rsub|i>|\<rangle\>>*x<rsub|i>>>

      <math|\<Rightarrow\>> für alle <math|x,y\<in\>V> ist
      <math|<around*|\<langle\>|x,y|\<rangle\>>=<wide|x|^><rsup|\<top\>><wide|y|^>>
      (Standard-Skalarprodukt der Koordinatenvektoren bezüglich <math|B>)

      <em|Speziell:> <math|<around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>><rsup|2>=<around*|\<\|\|\>|<wide|x|^>|\<\|\|\>><rsup|2>>

      <item><math|A\<subset\>V> Orthonormalsystem in EVR <math|V>,
      <math|x\<in\>V>. Dann gilt

      <\equation*>
        <around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>><rsup|2>\<geqslant\><big-around|\<sum\>|<rsub|y\<in\>A><around*|\<langle\>|x,y|\<rangle\>><rsup|2>><space|1cm><with|mode|text|\RBessel-Ungleichung``>
      </equation*>

      (wobei höchstens abzählbar viele Summanden <math|\<gtr\>0> sein dürfen)

      <math|A> heiÿt <strong|vollständig> <math|:\<Leftrightarrow\>> In der
      Bessel-Ungleichung gilt \R<math|=>``. Dann heiÿt obige Ungleichung
      <strong|Parseval-Gleichung>.
    </enumerate-alpha>
  </remark>

  <\definition>
    <math|V> EVR, <math|\<pi\>\<in\>End<around*|(|V|)>> heiÿt
    <strong|Orthogonalprojektion> auf <math|U\<assign\>Bild \<pi\>>, wenn
    gilt:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|\<pi\>> ist Projektion, d.h.
      <math|\<pi\>\<circ\>\<pi\>=\<pi\>>

      <item><math|\<pi\><around*|(|x|)>-x \<perp\> \<pi\><around*|(|x|)>> für
      alle <math|x\<in\>V>
    </enumerate-alpha>
  </definition>

  <\remark>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item><math|\<pi\>> Orthogonalprojektion auf <math|U>
      <math|\<Rightarrow\>> <math|\<pi\><around*|(|x|)>-x \<perp\> U>
      <math|\<Rightarrow\>> <math|Kern \<pi\> \<perp\> Bild \<pi\>>

      <item><math|\<pi\>> Projektion mit <math|Kern \<pi\> \<perp\> Bild
      \<pi\>> <math|\<Rightarrow\>> <math|\<pi\>> ist Orthogonalprojektion
    </itemize-minus>
  </remark>

  <\theorem>
    <label|onp1><math|V> EVR, <math|U\<subset\>V> UVR. Es existiert genau
    dann eine Orthogonalprojektion <math|p> auf <math|U>, wenn
    <math|V=U\<oplus\>U<rsup|\<perp\>>>. <math|\<pi\>> ist dann eindeutig
    bestimmt und <math|U=<around*|(|U<rsup|\<perp\>>|)><rsup|\<perp\>>>.
  </theorem>

  <\corollary>
    Ist <math|dim U\<less\>\<infty\>>, dann existiert immer eine
    Orthogonalprojektion auf <math|U>.
  </corollary>

  <\theorem>
    <math|V> EVR, <math|U\<subset\>V> UVR mit <math|dim U\<less\>\<infty\>>.

    Dann existiert genau eine Orthogonalprojektion <math|\<pi\> :
    V\<longrightarrow\>U> und es ist dann <math|V=U\<oplus\>U<rsup|\<perp\>>>
    und <math|<around*|(|U<rsup|\<perp\>>|)><rsup|\<perp\>>=U>.
  </theorem>

  <\theorem>
    <label|onp3><math|V> EVR, <math|U\<subset\>V> UVR,
    <math|\<pi\>\<in\>End<around*|(|V|)>> mit <math|Bild \<pi\>\<subset\>U>

    <\equation*>
      \<pi\><with|mode|text| ist Orthogonalprojektion auf <math|U>
      >\<Leftrightarrow\> <around*|\<\|\|\>|x-\<pi\><around*|(|x|)>|\<\|\|\>>\<leqslant\><around*|\<\|\|\>|x-u|\<\|\|\>><with|mode|text|
      für alle >x\<in\>V,u\<in\>U
    </equation*>

    In diesem Fall heiÿt <math|<around*|\<\|\|\>|x-\<pi\><around*|(|x|)>|\<\|\|\>>\<assign\>d<around*|(|x,U|)>>
    <strong|Abstand> von <math|x> zu <math|U>.
  </theorem>

  <\remark>
    Orthogonalprojektionen \Rkontrahieren``, d.h.

    <\equation>
      <around*|\<\|\|\>|\<pi\><around*|(|x|)>|\<\|\|\>>\<leqslant\><around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>><label|kontr1>
    </equation>

    <\equation>
      <around*|\<\|\|\>|\<pi\><around*|(|x|)>-\<pi\><around*|(|y|)>|\<\|\|\>>\<leqslant\><around*|\<\|\|\>|x-y|\<\|\|\>><label|kontr2>
    </equation>

    Für Projektionen sind (<reference|kontr1>) bzw. (<reference|kontr2>)
    charakterisierend dafür, Orthogonalprojektion zu sein!
  </remark>

  <section|Adjungierte Abbildungen>

  <\definition>
    <math|V,W> EVR, <math|\<Phi\>\<in\>Hom<around*|(|V,W|)>>.

    <math|\<Psi\>\<in\>Hom<around*|(|W,V|)>> heiÿt <strong|Adjungierte> /
    <strong|adjungierte Abbildung> von <math|\<Phi\>>, wenn gilt:

    <\equation*>
      <around*|\<langle\>|\<Phi\><around*|(|v|)>,w|\<rangle\>>=<around*|\<langle\>|v,\<Psi\><around*|(|w|)>|\<rangle\>><space|0.5cm>\<forall\>v\<in\>V,w\<in\>W
    </equation*>

    <em|Notation:> Für <math|\<Psi\>> schreibt man auch
    <math|\<Phi\><rsup|\<ast\>>>.
  </definition>

  <\remark>
    Falls ein solches <math|\<Psi\>> existiert, ist es eindeutig bestimmt.
  </remark>

  <\remark>
    Existiert <math|\<Phi\><rsup|\<ast\>>\<nocomma\>>, so auch
    <math|<around*|(|\<Phi\><rsup|\<ast\>>|)><rsup|\<ast\>>> und es ist
    <math|><with|mode|math|<around*|(|\<Phi\><rsup|\<ast\>>|)><rsup|\<ast\>>=\<Phi\>>.
  </remark>

  <\theorem>
    <strong|(Rieszscher Darstellungssatz)> V EVR mit <math|dim
    V\<less\>\<infty\>>, <math|y<rsup|\<ast\>>\<in\>V<rsup|\<ast\>>>
    Linearform auf <math|V>. Dann existiert genau ein <math|v\<in\>V> mit
    <math|y<rsup|\<ast\>><around*|(|x|)>=<around*|\<langle\>|x,v|\<rangle\>>>.
  </theorem>

  <\theorem>
    <label|adj_ex><math|V,W> EVR mit <math|dim V,dim W\<less\>\<infty\>>.

    Dann existiert zu jedem <math|\<Phi\>\<in\>Hom<around*|(|V,W|)>> die
    adjungierte Abbildung <with|mode|math|\<Phi\><rsup|\<ast\>>\<in\>Hom<around*|(|W,V|)>>.
  </theorem>

  <\remark>
    \ 

    <\enumerate-alpha>
      <item>Wir haben gesehen: Für endlichdimensionale EVR <math|V> sind
      <math|V> und <math|V<rsup|\<ast\>\<ast\>>> kanonisch (d.h.
      basisunabhängig) isomorph, wohingegen, falls <math|V> kein
      Skalarprodukt hat, <math|V> und <math|V<rsup|\<ast\>>> nur nach Wahl
      einer Basis identifiziert werden können.

      Ist nun <math|V> EVR mit <math|dim V\<less\>\<infty\>>, so ist
      <math|\<Psi\>: V\<longrightarrow\>V<rsup|\<ast\>>\<nocomma\>,v\<mapsto\><around*|\<langle\>|v,\<cdummy\>|\<rangle\>>>
      ein Isomorphismus, der nicht von der Wahl einer Basis abhängt. Damit
      sind <math|V> und <math|V<rsup|\<ast\>>> kanonisch identifizierbar.

      <item>Identifiziert man <math|V> mit <math|V<rsup|\<ast\>>> wie in a),
      so ist eine Basis <math|B> von <math|V> genau dann duale Basis von
      <math|V<rsup|\<ast\>>\<nocomma\>>, wenn <math|B> in <math|V>
      Orthonormalbasis ist.

      <item>Ebenso gilt für <math|V,W> wie in Satz <reference|adj_ex> und
      <math|V=V*<rsup|\<ast\>>\<nocomma\>,W=W<rsup|\<ast\>>>: Die Adjungierte
      <math|\<Phi\>*<rsup|\<ast\>>:V\<longrightarrow\>W> stimmt mit der
      transponierten/dualen Abbildung <math|\<Phi\><rsup|\<top\>>:
      W<rsup|\<noplus\>\<ast\>>\<longrightarrow\>V<rsup|\<ast\>>> überein.

      <item>Folgerung: In diesem Fall gilt für <em|Orthonormalbasen> von
      <math|V> und <math|W> für die entsprechenden Abbildungsmatrizen:

      <\equation*>
        A<rsub|\<Phi\><rsup|\<ast\>>>=A<rsub|\<Phi\><rsup|\<top\>>>=<around*|(|A<rsub|\<Phi\>>|)><rsup|\<top\>>
      </equation*>

      <item>Für <math|\<Phi\><rsup|\<ast\>>> gelten -- auch für den Fall
      <math|dim V= \<infty\>> -- dieselben Eigenschaften wie für
      <math|\<Phi\><rsup|\<top\>>>:

      <\itemize-minus>
        <item><math|<around*|(|\<Phi\><rsup|\<ast\>>|)><rsup|\<ast\>>=\<Phi\>>

        <item><math|\<alpha\><rsub|1>*\<Phi\><rsub|1><rsup|\<ast\>>+\<alpha\><rsub|2>*\<Phi\><rsub|2><rsup|\<ast\>>=<around*|(|\<alpha\><rsub|1>*\<Phi\><rsub|1>+\<alpha\><rsub|2>*\<Phi\><rsub|2>|)><rsup|\<ast\>>>
        (<math|\<Rightarrow\>> <math|Hom<around*|(|V,W|)>\<longrightarrow\>Hom<around*|(|W,V|)>\<nocomma\>,\<Phi\>\<longrightarrow\>\<Phi\><rsup|\<ast\>>>
        linear!)

        <item><math|<around*|(|\<Psi\>\<circ\>\<Phi\>|)><rsup|\<ast\>>=\<Phi\><rsup|\<ast\>>\<circ\>\<Psi\><rsup|\<ast\>>>
      </itemize-minus>
    </enumerate-alpha>
  </remark>

  <\definition>
    <math|V> EVR, <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>>.

    <math|\<Phi\>> heiÿt <strong|selbstadjungiert> (s.a.)
    <math|:\<Leftrightarrow\>> <math|<around*|\<langle\>|\<Phi\><around*|(|x|)>,y|\<rangle\>>=<around*|\<langle\>|x,\<Phi\><around*|(|y|)>|\<rangle\>>>
    für alle <math|x,y\<in\>V>.

    <math|\<Phi\>> heiÿt <strong|antiselbstadjungiert> (a.s.a)
    <math|:\<Leftrightarrow\>> <math|<around*|\<langle\>|\<Phi\><around*|(|x|)>,y|\<rangle\>>=-<around*|\<langle\>|x,\<Phi\><around*|(|y|)>|\<rangle\>>>
    für alle <math|x,y\<in\>V>.
  </definition>

  <\remark>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item><math|\<Phi\>> ist s.a. (a.s.a) genau dann, wenn
      <math|\<Phi\><rsup|\<ast\>>> existiert und
      <math|\<Phi\>*<rsup|\<ast\>>= \<Phi\>> bzw.
      <math|\<Phi\><rsup|\<ast\>>=-\<Phi\>>.

      <item>Ist <math|V> EVR, <math|dim V\<less\>\<infty\>>, <math|B> ONB von
      <math|V>, dann gilt: <math|\<Phi\>> ist s.a. (a.s.a) genau dann, wenn
      für die Abbildungsmatrix von <math|\<Phi\>> bezüglich <math|B> gilt:
      <math|A<rsub|\<Phi\>>=A<rsub|\<Phi\>><rsup|\<top\>>> (<math|A>
      symmetrisch) bzw. <math|A<rsub|\<Phi\>>=-A<rsub|\<Phi\>><rsup|\<top\>>>
      (<math|A> antisymmetrisch).
    </itemize-minus>
  </remark>

  <\theorem>
    <label|sa1><math|V> EVR mit <math|dim V\<less\>\<infty\>>,
    <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>>. Dann gilt:

    <\equation*>
      \<Phi\><with|mode|text| ist s.a. >\<Leftrightarrow\><with|mode|text| Es
      existiert eine ONB von <math|V> aus Eigenvektoren von <math|\<Phi\>>>
    </equation*>
  </theorem>

  <\remark>
    Die Matrix <math|S> mit <math|S*A<rsub|\<Phi\>>*S<rsup|-1>=<with|mode|text|Diagonalmatrix>>
    lässt sich also so wählen, dass ihre Spalten eine ONB von
    <math|\<bbb-R\><rsup|n>> bilden, also gilt:
    <math|S*S<rsup|\<Tau\>>=E<rsub|n>>.
  </remark>

  <\definition>
    Eine Matrix <math|A\<in\>\<bbb-R\><rsup|n\<times\>n>> heiÿt
    <strong|orthogonal>, wenn gilt: <math|A*A<rsup|\<Tau\>>=E<rsub|n>>.

    Es gilt: <math|A> orthogonal <math|\<Leftrightarrow\>>
    <math|A<rsup|\<top\>>=A<rsup|-1>> <math|\<Leftrightarrow\>>
    <math|A<rsup|\<top\>>*A=E<rsub|n>>

    Die Menge aller orthogonalen <math|n\<times\>n>-Matrizen bildet eine
    Untergruppe, genannt <math|O<around*|(|n|)>>, von
    <math|GL<around*|(|n,\<bbb-R\>|)>>.
  </definition>

  <\example>
    <math|O<around*|(|1|)>=<around*|{|\<pm\>1|}>>,
    <math|O<around*|(|2|)>=<around*|{|<with|mode|text|Drehungen um <math|O>,
    Spiegelung an Geraden durch <math|O>>|}>>
  </example>

  <\definition>
    <math|A,A<rprime|'>\<in\>\<bbb-R\><rsup|n\<times\>n>> heiÿen
    <strong|orthogonal äquivalent>, wenn gilt:
    <math|A<rprime|'>=S*A*S<rsup|\<top\>>> mit
    <math|S\<in\>O<around*|(|n|)>>.

    Satz <reference|sa1> sagt also: <math|A\<in\>\<bbb-R\><rsup|n\<times\>n>>
    ist symmetrisch <math|\<Leftrightarrow\>> <math|A> ist orthogonal
    äquivalent zu einer Diagonalmatrix.
  </definition>

  <\example>
    \ 

    <\enumerate-alpha>
      <item>Gegeben eine symmetrische Matrix <math|A>.

      Finden einer orthogonalen Matrix <math|S> mit
      <math|S<rsup|\<top\>>*A*S=S*A*S<rsup|\<top\>>=
      <with|mode|text|Diagonalmatrix>>: Diagonalisieren wie üblich, aber als
      Basis der Eigenräume je eine ONB bestimmen (Gram-Schmidt). Die Spalten
      von <math|S> sind die Vektoren der ONB.

      <item>Orthogonalprojektionen <math|\<pi\><rsub|U>:V\<longrightarrow\>U>
      sind selbstadjungiert (auch wenn <math|dim V=\<infty\>>)
    </enumerate-alpha>
  </example>

  <section|Isometrien>

  <\definition>
    <math|V,W> EVR, <math|\<Phi\>\<in\>Hom<around*|(|V,W|)>> heiÿt
    <strong|Isometrie> oder <strong|orthogonale Abbildung>, wenn
    <math|\<Phi\>> mit dem Skalarprodukt verträglich ist/das Skalarprodukt
    erhält, wenn also

    <\equation*>
      <around*|\<langle\>|\<Phi\><around*|(|x|)>,\<Phi\><around*|(|y|)>|\<rangle\>><rsub|W>=<around*|\<langle\>|x,y|\<rangle\>><rsub|V>
    </equation*>
  </definition>

  <\remark>
    <math|\<Phi\>> Isometrie <math|\<Rightarrow\>> <math|\<Phi\>> injektiv.
  </remark>

  <\definition>
    <math|V> und <math|W> heiÿen <strong|isometrisch>, falls es eine
    <em|bijektive> Isometrie <math|V\<longrightarrow\>W> gibt.
  </definition>

  <\theorem>
    <label|iso1><math|V,W> EVR, <math|\<Phi\>\<in\>Hom<around*|(|V,W|)>>.
    Dann sind äquivalent:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|\<Phi\>> ist Isometrie

      <item><math|<around*|\<\|\|\>|\<Phi\><around*|(|x|)>|\<\|\|\>><rsub|W>=<around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>><rsub|V>>
      für alle <math|x\<in\>V>

      <item><math|d<rsub|W><around*|(|\<Phi\><around*|(|x|)>,\<Phi\><around*|(|y|)>|)>=d<rsub|V><around*|(|x,y|)>>
      für alle <math|x,y\<in\>V>
    </enumerate-alpha>
  </theorem>

  <\theorem>
    <label|iso2><math|V,W> EVR der gleichen Dimension
    <math|n\<less\>\<infty\>>, <math|\<Phi\>\<in\>Hom<around*|(|V,W|)>>. Dann
    sind äquivalent:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|\<Phi\>> ist Isometrie

      <item><math|\<forall\>> ONB <math|<around*|(|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)>>
      von <math|V> gilt: <math|<around*|(|\<Phi\><around*|(|x<rsub|1>|)>,\<ldots\>,\<Phi\><around*|(|x<rsub|n>|)>|)>>
      ist ONB von <math|W>

      <item><math|\<exists\>> ONB <math|<around*|(|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)>>
      von <math|V>, sodass gilt: <math|<around*|(|\<Phi\><around*|(|x<rsub|1>|)>,\<ldots\>,\<Phi\><around*|(|x<rsub|n>|)>|)>>
      ist ONB von <math|W>

      <item><math|\<Phi\><rsup|\<ast\>>\<circ\>\<Phi\>=id<rsub|V>> und
      <math|\<Phi\>\<circ\>\<Phi\><rsup|\<ast\>>=id<rsub|W>>

      <item>Bezüglich aller ONB <math|B> von <math|V> und aller ONB <math|C>
      von <math|W> ist <math|A<rsub|\<Phi\>>> orthogonal.

      <item>Es existieren ONB <math|B> von <math|V> und <math|C> von
      <math|W>, sldass <math|A<rsub|\<Phi\>><around*|(|B,C|)>> orthogonal
      ist.
    </enumerate-alpha>

    <em|Speziell:> Ist <math|V=W>, <math|dim V=n>, <math|\<Phi\>:
    V\<longrightarrow\>V> Isometrie, dann gilt:

    <\itemize-minus>
      <item><math|\<Phi\><rsup|\<ast\>>\<circ\>\<Phi\>=id<rsub|V>=\<Phi\>\<circ\>\<Phi\><rsup|\<ast\>>>

      <item><math|det \<Phi\>=det \<Phi\><rsup|\<ast\>>>, also
      <math|<around*|\||det \<Phi\>|\|>=1>, somit <math|det \<Phi\>=\<pm\>1>

      <item>Jeder Eigenwert <math|\<lambda\>> von <math|\<Phi\>> hat Betrag
      <math|1>.
    </itemize-minus>
  </theorem>

  <\definition>
    Isometrien <math|\<Phi\>:\<bbb-R\><rsup|n>\<longrightarrow\>\<bbb-R\><rsup|n>>
    (<math|\<bbb-R\><rsup|n>> mit Standard-SKP) heiÿen

    <\itemize-minus>
      <item><strong|Drehungen>, falls <math|det \<Phi\>=1>

      <item><strong|(Dreh-)Spiegelungen>, falls <math|det \<Phi\>=-1>
    </itemize-minus>
  </definition>

  <\remark>
    <math|V> EVR, <math|dim V\<less\>\<infty\>>. Dann bilden die Isometrien
    <math|\<Phi\>:V\<longrightarrow\>V> eine Gruppe, die <strong|orthogonale
    Gruppe> <math|O<around*|(|V|)>>.

    Sie ist Untergruppe von <math|Aut<around*|(|V|)>=<around*|{|\<Phi\>\<in\>End
    V <mid|\|> \<Phi\><with|mode|text| invertierbar>|}>>.

    Sie enthält als Untergruppe die <strong|spezielle orthogonale Gruppe>
    <math|SO<around*|(|V|)>=<around*|{|\<Phi\>\<in\>O<around*|(|V|)> <mid|\|>
    det \<Phi\>=+1|}>>
  </remark>

  <\definition>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item><math|O<around*|(|n|)>\<assign\>O<around*|(|\<bbb-R\><rsup|n>|)>>,
      <math|\<bbb-R\><rsup|n><rsup|>> mit Standard-SKP

      <item><math|SO<around*|(|n|)>\<assign\><around*|{|A\<in\>O<around*|(|n|)>
      <mid|\|> det A=1|}>>
    </itemize-minus>

    <math|\<Rightarrow\>> <math|SO<around*|(|n|)>\<less\>O<around*|(|n|)>\<less\>GL<around*|(|n|)>=GL<around*|(|n,\<bbb-R\>|)>>
  </definition>

  <\theorem>
    <math|V> <math|n>-dimensionaler EVR, <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>>.
    Dann ist <math|\<Phi\>> genau dann Isometrie, wenn eine Orthonormalbasis
    von <math|V> existiert, sodass <math|A<rsub|\<Phi\>>> bezüglich dieser
    Basis folgende Form hat:

    <\equation*>
      A<rsub|\<Phi\>>=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|1>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|-1>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|-1>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|cos
      \<Theta\><rsub|1>>|<cell|-sin \<Theta\><rsub|1>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|sin
      \<Theta\><rsub|1>>|<cell|cos \<Theta\><rsub|1>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|cos
      \<Theta\><rsub|k>>|<cell|-sin \<Theta\><rsub|k>>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|sin
      \<Theta\><rsub|k>>|<cell|cos \<Theta\><rsub|k>>>>>>
    </equation*>
  </theorem>

  <strong|Interpretation:> <math|\<Phi\>> Isometrie <math|\<Leftrightarrow\>>
  <math|\<exists\>> Zerlegung von <math|V> in orthogonale Summe

  <\equation*>
    V=U<rsub|1>\<oplus\>U<rsub|2>\<oplus\><big-around|\<oplus\>|<rsub|i=1><rsup|k>W<rsub|i>>,
  </equation*>

  wobei

  <\itemize-minus>
    <item><math|\<Phi\><mid|\|><rsub|U<rsub|1>> = id> <em|(Fix-Unterraum)>

    <item><math|\<Phi\><mid|\|><rsub|U<rsub|2>> = id<rsub|U<rsub|2>>>
    <em|(Spiegelung an <math|U<rsub|2><rsup|\<perp\>>=U<rsub|1>+<big-around|\<oplus\>|W<rsub|i>>>)>

    <item><math|\<Phi\><mid|\|><rsub|W<rsub|i>> => Drehung im 2-dimensionalen
    UVR <math|W<rsub|i>> um den Winkel <math|\<Theta\><rsub|i>>
  </itemize-minus>

  <\theorem>
    <strong|(Satz vom Fuÿball)> Wird der Ball nach der 1. Halbzeit zum
    Anpfiff wieder auf den Mittelpunkt gelegt, so gibt es mindestens zwei
    Punkte auf dem Ball, die auf denselben Stellen wie zu Beginn der 1.
    Halbzeit liegen.
  </theorem>

  <section|Unitäre Vektorräume>

  <\definition>
    <math|V> <math|\<bbb-C\>>-Vektorraum. <math|\<beta\>:
    V\<times\>V\<longrightarrow\>\<bbb-C\>> heiÿt <strong|Hermitesch> oder
    <strong|hermitesche Form> auf <math|V>, falls für alle
    <math|a,b\<in\>\<bbb-C\>,x,x<rprime|'>,y\<in\>V> gilt:

    <\description>
      <item*|(H1)><math|\<beta\><around*|(|a*x+b*x<rprime|'>,y|)>=a\<cdot\>\<beta\><around*|(|x,y|)>+b\<cdot\>\<beta\><around*|(|x<rprime|'>,y|)>>

      <item*|(H2)><math|\<beta\><around*|(|x,y|)>=<wide|\<beta\><around*|(|y,x|)>|\<bar\>>>
    </description>
  </definition>

  <\remark>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item><math|\<beta\>> ist damit im ersten Argument
      <math|\<bbb-C\>>-linear, im zweiten Argument gilt jedoch:

      <\equation*>
        \<beta\><around*|(|x,a*y+b*y<rprime|'>|)>=<wide|a|\<bar\>>\<cdot\>\<beta\><around*|(|x,y|)>+<wide|b|\<bar\>>\<cdot\>\<beta\><around*|(|x,y<rprime|'>|)>
      </equation*>

      Weil <math|\<beta\>> im zweiten Argument nur \Rhalb`` linear ist, nennt
      man <math|\<beta\>> auch <strong|Sesquilinearform> (von lat. \Rsesqui``
      = \Randerthalb)

      <item>Für alle <math|x\<in\>V> gilt
      <math|\<beta\><around*|(|x,x|)>=<wide|\<beta\><around*|(|x,x|)>|\<bar\>>
      \<Longrightarrow\> \<beta\><around*|(|x,x|)>\<in\>\<bbb-R\>>.

      Damit lässt sich die positive Definitheit von <math|\<beta\>> wie im
      Fall eines SKP auf einem EVR erklären, nämlich durch
      <math|\<beta\><around*|(|x,x|)>\<gtr\>0> für alle <math|x\<in\>V>.
    </itemize-minus>
  </remark>

  <\definition>
    Eine positiv definite hermitesche Form auf einem <math|\<bbb-C\>>-VR
    <math|V> heiÿt <strong|Skalarprodukt> auf <math|V>. Dann schreibt man
    auch <math|\<beta\>=<around*|\<langle\>|\<cdummy\>,\<cdummy\>|\<rangle\>>>
    und das Paar <math|<around*|(|V,<around*|\<langle\>| ,|\<rangle\>>|)>>
    heiÿt dann auch <strong|unitärer Vektorraum> oder <strong|komplexer
    Vektorraum mit Skalarprodukt>.
  </definition>

  Damit lassen sich in UniVR wie bei EVR Länge, Abstand und Orthogonalität
  von Vektoren definieren.

  <\example>
    <strong|(Standard-Skalarprodukt im <math|\<bbb-C\><rsup|n>>)>

    <\equation*>
      <around*|\<langle\>|x,y|\<rangle\>><rsub|\<bbb-C\><rsup|n>>=<big-around|\<sum\>|<rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i>*<wide|y<rsub|i>|\<bar\>>>=x<rsup|\<top\>>*<wide|y|\<bar\>>
    </equation*>

    Also <math|<around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>><rsup|2>=<around*|\<\|\|\>|<wide|x|^>|\<\|\|\>><rsup|2>>
    bezüglich der Standardbasis
  </example>

  <\theorem>
    Satz <reference|normzeugs> überträgt sich auf UniVR mit kleinen
    Modifikationen:

    <\itemize-minus>
      <item>a)--d) bleiben gleich

      <item>e) (Parallelogrammgleichung) lautet nun:

      <\equation*>
        4*<around*|\<langle\>|x,y|\<rangle\>>=<around*|\<\|\|\>|x+y|\<\|\|\>><rsup|2>-<around*|\<\|\|\>|x-y|\<\|\|\>><rsup|2>+\<mathi\>
        <around*|\<\|\|\>|x+\<mathi\>*y|\<\|\|\>><rsup|2>-\<mathi\>*<around*|\<\|\|\>|x-\<mathi\>*y|\<\|\|\>><rsup|2>
      </equation*>

      <item>In f) (Satz des Pythagoras) gilt nur noch die eine Richtung:

      <\equation*>
        x\<perp\>y \<Longrightarrow\><around*|\<\|\|\>|x+y|\<\|\|\>><rsup|2>=<around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>><rsup|2>+<around*|\<\|\|\>|y|\<\|\|\>><rsup|2>
      </equation*>
    </itemize-minus>
  </theorem>

  <\definition>
    <math|A\<in\>\<bbb-C\><rsup|n\<times\>n>> heiÿt <strong|Hermitesch>, wenn
    gilt: <math|A=<wide|A<rsup|\<top\>>|\<bar\>>>.

    Skalarprodukte <math|\<beta\>=<around*|\<langle\>| ,|\<rangle\>>> in
    UniVR lassen sich durch hermitesche Matrizen beschreiben.
  </definition>

  <\remark>
    Das Gram-Schmidt-Verfahren gilt in UniVR, ebenso Satz <reference|ogs-lu>.
  </remark>

  <\remark>
    Ist <math|V> UniVR, <math|B=<around*|(|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)>>
    ONB von <math|B>, dann ist immer noch\ 

    <\equation*>
      x=<big-around|\<sum\>|<rsub|i=1><rsup|n><around*|\<langle\>|x,x<rsub|i>|\<rangle\>>*x<rsub|i>>
    </equation*>

    aber für <math|<around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>>> gilt nun:
    <math|<around*|\<\|\|\>|x|\<\|\|\>><rsup|2>=<big-around|\<sum\>|<rsub|i=1><rsup|n><around*|\||<around*|\<langle\>|x,x<rsub|i>|\<rangle\>>|\|><rsup|2>>>
    (im EVR fehlt der Betrag)
  </remark>

  <\remark>
    <math|V> UniVR <math|\<Rightarrow\>> Orthogonalprojektionen sind wie im
    EVR definierbar und die Sätze <reference|onp1>--<reference|onp3> gelten
    entsprechend.
  </remark>

  <\corollary>
    <math|V> UniVR, <math|dim V\<less\>\<infty\>>. Dann hat <math|V> eine ONB
    und es existiert eine Orthogonalprojektion auf jeden UVR von <math|V>.
  </corollary>

  <\remark>
    Der Riezsche Darstellungssatz gilt auch für UniVR.
  </remark>

  <strong|Achtung:> Für UniVR lassen sich <math|V> und <math|V<rsup|\<ast\>>>
  i.A. nicht mehr kanonisch identifizieren, denn
  <math|V\<longrightarrow\>V<rsup|\<ast\>>>,
  <math|x\<mapsto\><around*|\<langle\>|\<cdummy\>,x|\<rangle\>>> ist nicht
  <math|\<bbb-C\>>-linear!

  <\definition>
    <math|V,W> UniVR, <math|\<Phi\>\<in\>Hom<around*|(|V,W|)>\<nosymbol\>.>
    Die <strong|Adjungierte> / <strong|adjungierte Abbildung>
    <math|\<Phi\><rsup|\<ast\>>\<in\>Hom<around*|(|W,V|)>> ist definiert
    durch

    <\equation*>
      <around*|\<langle\>|\<Phi\><around*|(|v|)>,w|\<rangle\>>=<around*|\<langle\>|v,\<Phi\><around*|(|w|)>|\<rangle\>><space|0.5cm>\<forall\>v\<in\>V,w\<in\>W
    </equation*>
  </definition>

  <\remark>
    Satz <reference|adj_ex> gilt auch für UniVR, ebenso die Rechenregeln für
    Adjungierte, allerdings mit

    <\equation*>
      <around*|(|\<alpha\>\<Phi\>|)><rsup|\<ast\>>=<wide|\<alpha\>|\<bar\>>*\<Phi\><rsup|\<ast\>>\<nocomma\><space|0.5cm>\<alpha\>\<in\>\<bbb-C\>
    </equation*>
  </remark>

  <\remark>
    <math|V,W> UniVR gleicher Dimension, <math|\<Phi\>\<in\>Hom<around*|(|V,W|)>>

    Für die Abbildungsmatrix von <math|\<Phi\><rsup|\<ast\>>\<in\>Hom<around*|(|W,V|)>>
    gilt <math|A<rsub|\<Phi\>>=<around*|(|<wide|A<rsub|\<Phi\>>|\<bar\>>|)><rsup|\<top\>>>.

    Dabei wird jeder Eintrag von <math|A<rsub|\<Phi\>>> komplex konjugiert,
    um <math|<wide|A<rsub|\<Phi\>>|\<bar\>>> zu erhalten.

    <strong|Achtung:> <math|\<Phi\><rsup|\<ast\>>> und die
    transponierte/duale Abbildung <math|\<Phi\><rsup|\<Tau\>>\<in\>Hom<around*|(|W<rsup|\<ast\>>,V<rsup|\<ast\>>|)>>
    sind nun zu unterscheiden, wenn <math|V,W> bzw.
    <math|V<rsup|\<ast\>>,W<rsup|\<ast\>>> sind nicht mehr
    <math|\<bbb-C\>>-linear isomorph.
  </remark>

  <\definition>
    <math|V> UniVR, <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>.>

    <math|\<Phi\>> heiÿt <strong|selbstadjungiert> (s.a.)
    <math|:\<Leftrightarrow\>> <math|\<Phi\><rsup|\<ast\>>=\<Phi\>>

    <math|\<Phi\>> heiÿt <strong|antiselbstadjungiert> (a.s.a)
    <math|:\<Leftrightarrow\>> <with|mode|math|\<Phi\><rsup|\<ast\>>=-\<Phi\>>
  </definition>

  <\remark>
    <math|dim V=n\<less\>\<infty\>>, <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>>.
    Dann gilt:

    <math|\<Phi\>> ist selbstadjungiert <math|\<Rightarrow\>>
    <math|A<rsub|\<Phi\><rsup|\<ast\>>>=A<rsub|\<Phi\>>=<wide|A<rsub|\<Phi\>>|\<bar\>><rsup|\<top\>>>
    (d.h. A ist Hermitesche Matrix)

    <math|\<Phi\>> ist antiselbstadjungiert <math|\<Rightarrow\>>
    <math|A<rsub|\<Phi\><rsup|\<ast\>>>=-<wide|A<rsub|\<Phi\>>|\<bar\>><rsup|\<top\>>>
    (d.h. A ist schief-Hermitesche Matrix)
  </remark>

  <\definition>
    <math|V,W> UniVR, <math|\<Phi\>\<in\>Hom<around*|(|V,W|)>>

    <math|\<Phi\>> heiÿt <strong|Isometrie> / <strong|unitär>, falls gilt:
    <math|<around*|\<langle\>|\<Phi\><around*|(|x|)>,\<Phi\><around*|(|y|)>|\<rangle\>><rsub|W>=<around*|\<langle\>|x,y|\<rangle\>><rsub|V>>
    für alle <math|x,y\<in\>V>.
  </definition>

  <\remark>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item><math|\<Phi\>> Isometrie und <math|W=V> <math|\<Rightarrow\>>
      <math|\<Phi\><rsup|\<ast\>>=\<Phi\><rsup|-1>>

      <item><math|dim V=n\<less\>\<infty\>>. Dann gilt für die
      Abbildungsmatrix einer unitären Abbildung
      <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)> >bezüglich einer ONB von
      <math|V>:

      <\equation*>
        A<rsub|\<Phi\>>\<cdot\><wide|A<rsub|\<Phi\>>|\<bar\>><rsup|\<top\>>=<wide|A<rsub|\<Phi\>>|\<bar\>><rsup|\<top\>>\<cdot\>A<rsub|\<Phi\>>=E<rsub|n>
        \<Leftrightarrow\> <wide|A<rsub|\<Phi\>>|\<bar\>><rsup|\<top\>>=<around*|(|A<rsub|\<Phi\>>|)><rsup|-1>
      </equation*>

      Solche <math|A\<in\>\<bbb-C\><rsup|n\<times\>n>> heiÿen <strong|unitäre
      Matrizen>.
    </itemize-minus>
  </remark>

  <\definition>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item><math|U<around*|(|n|)>\<assign\><around*|{|A\<in\>GL<around*|(|n,\<bbb-C\>|)>
      <mid|\|> A<with|mode|text| unitär>|}>> heiÿt die <strong|unitäre
      Gruppe> (in Dimension <math|n>)

      <item><math|SU<around*|(|n|)>\<assign\><around*|{|A\<in\>U<around*|(|n|)>
      <mid|\|> det A = 1|}>> heiÿt die <strong|spezielle unitäre Gruppe> (in
      Dimension <math|n>)
    </itemize-minus>
  </definition>

  <\remark>
    <math|SU<around*|(|n|)>\<less\>U<around*|(|n|)>\<less\>GL<around*|(|n,\<bbb-C\>|)>>

    Im Gegensatz zu <math|O<around*|(|n|)>> ist <math|U<around*|(|n|)>>
    zusammenhängend.
  </remark>

  <\remark>
    Satz <reference|iso1> gilt wörtlich auch für unitäre Abbildungen; in Satz
    <reference|iso2> e) und f) ist die Orthogonalität der Abbildungsmatrizen
    durch \RUnitarität`` zu ersetzen.
  </remark>

  <subsection|Normale Endomorphismen>

  <\definition>
    <math|V> EVR oder UniVR, <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>>

    <math|\<Phi\>> heiÿt <strong|normal>, wenn die adjungierte Abbildung
    <math|\<Phi\><rsup|\<ast\>>> existiert und
    <math|\<Phi\>\<circ\>\<Phi\><rsup|\<ast\>>=\<Phi\><rsup|\<ast\>>\<circ\>\<Phi\>>
  </definition>

  <\definition>
    <math|A\<in\>\<bbb-C\><rsup|n\<times\>n>> heiÿt <strong|normal>, wenn
    gilt: <math|A\<cdot\><wide|A|\<bar\>><rsup|\<top\>>=<wide|A|\<bar\>><rsup|\<top\>>\<cdot\>A>
  </definition>

  <\example>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item><math|\<Phi\>> selbstadjungiert/antiselbstadjungiert/Isometrie
      <math|\<Rightarrow\>> <math|\<Phi\>> normal

      <item><math|A\<in\>\<bbb-R\><rsup|n\<times\>n>>
      symmetrisch/schiefsymmetrisch/orthogonal <math|\<Rightarrow\>> <math|A>
      normal

      <item><math|B\<in\>\<bbb-C\><rsup|n\<times\>n>>
      Hermitesch/anti-Hermitesch/unitär <math|\<Rightarrow\>> <math|B> normal
    </itemize-minus>
  </example>

  <\theorem>
    <math|V> EVR oder UniVR, <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>>. Dann
    sind äquivalent:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|\<Phi\>> ist normal

      <item><math|\<Phi\><rsup|\<ast\>>> existiert und für alle
      <math|x,y\<in\>V> gilt <math|<around*|\<langle\>|\<Phi\><around*|(|x|)>,\<Phi\><around*|(|y|)>|\<rangle\>>=<around*|\<langle\>|\<Phi\><rsup|*\<ast\>><around*|(|x|)>,\<Phi\><rsup|\<ast\>><around*|(|y|)>|\<rangle\>>>

      <item><math|\<Phi\><rsup|\<ast\>>> existiert und für alle
      <math|x\<in\>V> gilt <math|<around*|\<\|\|\>|\<Phi\><around*|(|x|)>|\<\|\|\>>=<around*|\<\|\|\>|\<Phi\><rsup|\<ast\>><around*|(|x|)>|\<\|\|\>>>
    </enumerate-alpha>

    Gilt ferner <math|dim V=n\<less\>\<infty\>>, so sind a), b), c) auÿerdem
    äquivalent zu

    <\enumerate-alpha>
      <item>Bezüglich jeder ONB von <math|V> ist die Abbildungsmatrix
      <math|A<rsub|\<Phi\>>> von <math|\<Phi\>> normal

      <item>Es gibt eine ONB <math|B> von <math|V>, bezüglich der die
      Abbildungsmatrix <math|A<rsub|\<Phi\>>> von <math|\<Phi\>> normal ist.
    </enumerate-alpha>
  </theorem>

  <\corollary>
    <math|V> UniVR, <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>> normal, so gilt:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|Kern \<Phi\>=Kern \<Phi\><rsup|\<ast\>>>

      <item>Die Eigenräume von <math|\<Phi\>> und
      <math|\<Phi\><rsup|\<ast\>>> sind gleich, d.h. für
      <math|c\<in\>\<bbb-C\>> gilt

      <\equation*>
        \<Phi\><around*|(|x|)>=c\<cdot\>x \<Longleftrightarrow\>
        \<Phi\><rsup|\<ast\>><around*|(|x|)>=<wide|c|\<bar\>>\<cdot\>x
      </equation*>

      <item>Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind stets orthogonal
    </enumerate-alpha>
  </corollary>

  <\theorem>
    <math|V> <math|n>-dimensionaler UniVR,
    <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>>. Dann sind äquivalent:

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|\<Phi\>> ist normal

      <item>Es existiert eine ONB aus Eigenvektoren von <math|\<Phi\>> in V.
    </enumerate-alpha>
  </theorem>

  <\corollary>
    Für Matrizen bedeutet der Satz:

    <\equation*>
      A\<in\>\<bbb-C\><rsup|n\<times\>n><with|mode|text| ist normal
      >\<Longleftrightarrow\><with|mode|text| >\<exists\>
      S\<in\>U<around*|(|n|)>: <wide|S|\<bar\>><rsup|\<top\>>*A*S<with|mode|text|
      ist diagonal>
    </equation*>

    <math|\<rightsquigarrow\>> spezielle Normalformen für

    <\enumerate-numeric>
      <item>Hermitesche Matrizen: Normalform ist Diagonalmatrix mit reellen
      Eigenwerten

      <item>Anti-Hermitesche Matrizen: Normalform ist Diagonalmatrix mit
      Eigenwerten mit Realteil <math|0>

      <item>Unitäre Matrizen: Normalform ist Diagonalmatrix mit Eigenwerten
      vom Betrag <math|1>.
    </enumerate-numeric>
  </corollary>

  <\theorem>
    <math|V> <math|n>-dimensionaler EVR. <math|\<Phi\>\<in\>End<around*|(|V|)>>
    ist genau dann normal, wenn es eine Orthogonalbasis von <math|V> gibt,
    sodass die Abbildungsmatrix von <math|\<Phi\>> folgende Gestalt hat:

    <\equation*>
      A<rsub|\<Phi\>>=<wide|A|~>=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|\<lambda\><rsub|1>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|\<lambda\><rsub|k>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|\<alpha\><rsub|1>>|<cell|\<beta\><rsub|1>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|-\<beta\><rsub|1>>|<cell|\<alpha\><rsub|1>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|\<alpha\><rsub|m>>|<cell|\<beta\><rsub|m>>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|-\<beta\><rsub|m>>|<cell|\<alpha\><rsub|m>>>>>>
    </equation*>

    mit <math|\<lambda\><rsub|i>,\<alpha\><rsub|j>,\<beta\><rsub|j>\<in\>\<bbb-R\>>.
    Hier sind <math|\<lambda\><rsub|1>,\<ldots\>,\<lambda\><rsub|k>> die
    reellen und <math|\<alpha\><rsub|j>\<pm\>\<mathi\>*\<beta\><rsub|j>>,
    <math|\<beta\><rsub|j>\<gtr\>0>, die komplexen Nullstellen von
    <math|p<rsub|\<Phi\>>>.
  </theorem>

  <\theorem>
    <strong|(Für Matrizen)> <math|A\<in\>\<bbb-R\><rsup|n\<times\>n>> ist
    genau dann normal, wenn es <math|S\<in\>O<around*|(|n|)>> gibt, sodass
    <math|S<rsup|\<top\>*>*A*S> von der obigen Form ist mit
    <with|mode|math|\<lambda\><rsub|i>,\<alpha\><rsub|j>,\<beta\><rsub|j>>
    wie dort (mit <math|p<rsub|A>> statt <math|p<rsub|\<Phi\>>>).
  </theorem>

  <\remark>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item><math|<wide|A|~>> ist genau die reelle Jordanform der normalen
      Matrix <math|A>.

      <item>Für <em|schief>symmetrische <math|A\<in\>\<bbb-R\><rsup|n\<times\>n>>
      lautet die Normalform

      <\equation*>
        <wide|A<rsub|>|~>=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|0>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|0>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|0>|<cell|\<beta\><rsub|1>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|-\<beta\><rsub|1>>|<cell|0>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|0>|<cell|\<beta\><rsub|m>>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|-\<beta\><rsub|m>>|<cell|0>>>>>
      </equation*>
    </itemize-minus>
  </remark>

  <\theorem>
    <math|A\<in\>O<around*|(|n|)>> <math|\<Longleftrightarrow\>>
    <math|\<exists\> S\<in\>O<around*|(|n|)>> mit

    <\equation*>
      <wide|A|~>=S<rsup|\<top\>>*A*S=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|1>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|-1>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|-1>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|cos
      \<omega\><rsub|1>>|<cell|-sin \<omega\><rsub|1>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|sin
      \<omega\><rsub|1>>|<cell|cos \<omega\><rsub|1>>|<cell|>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|\<ddots\>>|<cell|>|<cell|>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|cos
      \<omega\><rsub|k>>|<cell|-sin \<omega\><rsub|k>>>|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|>|<cell|sin
      \<omega\><rsub|k>>|<cell|cos \<omega\><rsub|k>>>>>>
    </equation*>

    mit <math|\<omega\><rsub|i>\<in\><around*|(|0,\<pi\>|)>>
  </theorem>

  <section|Affine Geometrie und Quadriken>

  <\definition>
    Ein Tripel <math|<around*|(|A,V,f|)>> bestehend aus einer nichtleeren
    Menge <math|A>, einem <math|\<bbb-K\>>-Vektorraum <math|V> und einer
    Abbildung <math|f : A\<times\>A \<longrightarrow\> V> heisst
    <strong|affiner Raum> (AR) über <math|\<bbb-K\>>, wenn gilt:

    <\description>
      <item*|(A1)>Für alle <math|P\<in\>A> und alle <math|x\<in\>V> existiert
      genau ein <math|Q\<in\>A> mit <math|f<around*|(|P,Q|)>=x>

      <item*|(A2)>Für alle <math|P,Q,R\<in\>A> ist
      <math|f<around*|(|P,Q|)>+f<around*|(|Q,R|)>=f<around*|(|P,R|)>>
    </description>

    Die Elemente von <math|A> heissen auch <strong|Punkte> und statt
    <math|<around*|(|A,V,f|)>> schreibt man oft nur <math|A>.

    <math|dim A \<assign\> dim V> heisst <strong|Dimension> von <math|A>.

    Ist <math|\<bbb-K\>=\<bbb-R\>> oder <math|\<bbb-K\>=\<bbb-C\>>, so heisst
    <math|A> <strong|reeller> bzw. <strong|komplexer> AR.

    Ist <math|V> EVR, so heisst <math|A> <strong|euklidischer affiner Raum>
    (EAR).
  </definition>

  Je zwei Punkten <math|P,Q\<in\>A> wird also genau ein Verbindungsvektor
  <math|f<around*|(|P,Q|)>=:<wide|PQ|\<vect\>>\<in\>V> zugeordnet.

  Interpretation:

  <\description>
    <item*|A1> \RAnheften``/\RAbtragen`` von <math|x\<in\>V> in
    <math|P\<in\>A> führt zu genau einem anderen Punkt <math|Q\<in\>A> und
    dafür gilt dann <math|x=f<around*|(|P,Q|)>=<wide|PQ|\<vect\>>>.

    <item*|A2>Abtragen von Vektoren in <math|A> ist mit der Vektoraddition in
    <math|V> verträglich.
  </description>

  <\corollary>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item><math|<wide|PQ|\<vect\>>=O\<in\>V> <math|\<Leftrightarrow\>>
      <math|P=Q>

      <item><with|mode|math|<wide|PQ|\<vect\>>=-<wide|QP|\<vect\>>>

      <item><with|mode|math|<wide|PQ|\<vect\>>=<wide|PR|\<vect\>>>
      <math|\<Rightarrow\>> <math|Q=R>

      <with|mode|math|<wide|QR|\<vect\>>=<wide|PR|\<vect\>>>
      <math|\<Rightarrow\>> <math|Q=P>
    </itemize-minus>
  </corollary>

  <\example>
    Ein <math|\<bbb-K\>>-Vektorraum <math|V> ist affiner Raum mit zugehörigem
    Vektorraum <math|V> vermöge

    <\equation*>
      <wide|x y|\<vect\>>\<assign\>y-x
    </equation*>

    Umgekehrt sei <math|A> affiner Raum und <math|O\<in\>A> <em|irgendein>
    Punkt. Dann gibt es für alle <math|X\<in\>A> genau einen
    Verbindungsvektor <math|<wide|OX|\<vect\>>>. Es gilt:

    <\equation*>
      V=<around*|{|<wide|OX|\<vect\>> <mid|\|> X\<in\>A|}><with|mode|text|
      und >A\<longrightarrow\>V,X\<mapsto\><wide|OX|\<vect\>><with|mode|text|
      ist bijektiv>
    </equation*>

    <math|<wide|OX|\<vect\>>> heiÿt <strong|Ortsvektor> von <math|X\<in\>A>
    bezüglich <math|O>.
  </example>

  <\definition>
    <math|A> affiner Raum, <math|L\<subset\>A> nichtleer heiÿt
    <strong|affiner Unterraum> (AUR) von <math|A> <math|:\<Leftrightarrow\>>

    <\equation*>
      \<exists\> P\<in\>L:<around*|{|<wide|PX|\<vect\>> <mid|\|>
      X\<in\>L|}><with|mode|text| ist UVR von <math|V>>
    </equation*>
  </definition>

  <\remark>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item><math|L> bestimmt eindeutig den UVR
      <math|U<rsub|L>\<assign\><around*|{|<wide|XY|\<vect\>> <mid|\|>
      X,Y\<in\>L|}>>, den sogenannten <strong|Richtungsraum> oder die
      <strong|Richtung> von <math|L>.

      <item>Affine Unterräume <math|L\<subset\>A> sind ebenfalls affine Räume
      (mit der Einschränkung von <math|f> auf <math|L>).

      <item><math|L\<subset\>A> AUR <math|\<Rightarrow\>> <math|L> hat
      <em|nach Wahl eines Ursprungs> <math|O\<in\>A> eine Darstellung der
      Form

      <\equation*>
        L=<around*|{|<wide|OX|\<vect\>> <mid|\|>
        X\<in\>L|}>=<wide|OP|\<vect\>>+U<rsub|L>
      </equation*>
    </itemize-minus>
  </remark>

  <\theorem>
    <math|A> affiner Raum, <math|\<emptyset\>\<subset\>\<cal-M\>> sei Menge
    affiner Unterräume von A. Dann gilt:

    <\equation*>
      M\<assign\><big-around|\<cap\>|<rsub|L\<in\>\<cal-M\>>L><with|mode|text|
      ist (entweder leer oder) ein affiner Unterraum.>
    </equation*>
  </theorem>

  <\definition>
    Für eine nichtleere Teilmenge <math|C\<subset\>A> heiÿt der Durchschnitt
    aller AUR <math|L> mit <math|C\<subset\>L> die <strong|affine Hülle> von
    <math|C>.
  </definition>

  <\definition>
    Für <math|C=<around*|{|P<rsub|1>,\<ldots\>,P<rsub|k>|}>> heiÿt die affine
    Hülle von <math|C> auch <strong|Verbindungsraum> von
    <math|P<rsub|1>,\<ldots\>,P<rsub|k>>.

    Notation: <math|P<rsub|1>\<vee\>\<ldots\>\<vee\>P<rsub|k>>
  </definition>

  <\definition>
    Die affine Hülle endlich vieler AUR <math|L<rsub|1>,\<ldots\>,L<rsub|k>>
    heiÿt <strong|Verbindungsraum> von <math|L<rsub|1>,\<ldots\>,L<rsub|k><rsub|>>,
    Notation: <math|L<rsub|1>\<vee\>\<ldots\>\<vee\>L<rsub|k>>.
  </definition>

  <subsection|Gruppenwirkungen>

  <\definition>
    Ist <math|X> eine Menge und <math|G> eine Gruppe, so nennt man einen
    Homomorphismus \ <math|\<tau\>: G\<longrightarrow\>S<around*|(|X|)>>
    <strong|Wirkung> oder <strong|Aktion> oder <strong|Operation> von
    <math|G> auf <math|X>.

    Für alle <math|g\<in\>G> ist damit <math|\<tau\><rsub|g>\<assign\>\<tau\><around*|(|g|)>:
    X\<longrightarrow\>X> bijektiv, und dass <math|\<tau\>> Homomorphismus
    ist, heiÿt

    <\equation*>
      \<tau\><rsub|g\<cdot\>g<rprime|'>><around*|(|x|)>=\<tau\><around*|(|g\<cdot\>g<rprime|'>|)><around*|(|x|)>=\<tau\><rsub|g><around*|(|\<tau\><rsub|g<rprime|'>><around*|(|x|)>|)><with|mode|text|
      für alle> x\<in\>X,g,g<rprime|'>\<in\>G
    </equation*>
  </definition>

  <\example>
    Jede Gruppe wirkt auf sich selbst durch

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|\<ell\>: G\<longrightarrow\>S<around*|(|G|)>\<nocomma\>,g\<mapsto\>\<ell\><rsub|g>>
      mit <math|\<ell\><rsub|g><around*|(|x|)>=g\<circ\>x> [<em|Linkswirkung>
      von <math|g> auf sich selbst]

      <item><math|k: G\<longrightarrow\>S<around*|(|G|)>\<nocomma\>,g\<mapsto\>k<rsub|g>>
      mit <math|k<rsub|g> : G\<longrightarrow\>G,k<rsub|g><around*|(|x|)>=g*x*g<rsup|-1>>
      [<em|Konjugationswirkung>]
    </enumerate-alpha>
  </example>

  <\remark>
    Jede Wirkung <math|\<tau\>:G\<longrightarrow\>S<around*|(|X|)>> bestimmt
    eine Abbildung <math|\<Theta\>=\<Theta\><around*|(|\<tau\>|)>:G\<times\>X\<longrightarrow\>X>
    durch <math|\<Theta\><around*|(|g,x|)>=\<tau\><rsub|g><around*|(|x|)>>
    und es gilt

    <\description>
      <item*|(W1)>Ist <math|e\<in\>G> neutrales Element, so ist
      <math|\<Theta\><around*|(|e,x|)>=x> für alle <math|x\<in\>X>.

      <item*|(W2)>Für alle <math|g,g*<rprime|'>\<in\>G,x\<in\>X> gilt
      <math|\<Theta\><around*|(|g,\<Theta\><around*|(|g<rprime|'>,x|)>|)>=\<Theta\><around*|(|g\<circ\>g<rprime|'>,x|)>>
    </description>

    <strong|Notation:> Für <math|\<Theta\><around*|(|g,x|)>> schreibt man
    auch <math|g\<cdot\>x>.

    Umgekehrt definiert jede Abbildung <math|\<Theta\> :
    G\<times\>X\<longrightarrow\>X>, die (W1) und (W2) erfüllt, eine Wirkung
    von <math|G> auf <math|X>.
  </remark>

  <\definition>
    Ist <math|\<tau\> : G\<longrightarrow\>S<around*|(|X|)>> Gruppenwirkung,
    so heiÿt für <math|x\<in\>X>

    <\equation*>
      G<around*|(|X|)>\<assign\>G\<cdot\>x=<around*|{|\<tau\><rsub|g><around*|(|x|)>
      <mid|\|> g\<in\>G|}>
    </equation*>

    <strong|Bahn> oder <strong|Orbit> von <math|x> unter <math|G>.
  </definition>

  <\definition>
    Eine Wirkung <math|\<tau\>> von <math|G> auf <math|X> heiÿt
    <strong|einfach transitiv>, falls gilt:

    <\equation*>
      \<forall\> x,y\<in\>X \<exists\>! g\<in\>G:
      \<tau\><rsub|g><around*|(|x|)>=y
    </equation*>
  </definition>

  \SHier fehlt eventuell noch was!\T

  <\theorem>
    Es seien <math|L<rsub|1>,\<ldots\>,L<rsub|k>\<subset\>\<bbb-A\>> affine
    Unterräume und <math|P<rsub|i>\<in\>L<rsub|i>> beliebig gewählt. Dann
    gilt für den Richtungsraum des Verbindungsraumes
    <math|L=L<rsub|1>\<vee\>\<ldots\>\<vee\>L<rsub|k>>:

    <\equation*>
      U<rsub|L>=U<rsub|L<rsub|1>>+\<ldots\>+U<rsub|L<rsub|k>>+<around*|[|<wide|P<rsub|1>P<rsub|2>|\<vect\>>,\<ldots\>,<wide|P<rsub|1>P<rsub|k>|\<vect\>>|]>.
    </equation*>

    Ist <math|L<rsub|1>\<cap\>\<ldots\>\<cap\>L<rsub|k>=\<emptyset\>\<nocomma\>>,
    so gilt

    <\equation*>
      U<rsub|L>=U<rsub|L<rsub|1>>+\<ldots\>+U<rsub|L<rsub|k>>.
    </equation*>
  </theorem>

  <\example>
    \ Der Verbindungsraum von <math|k+1> Punkten
    <math|P<rsub|0>,\<ldots\>,P<rsub|k>> besitzt den Richtungsraum

    <\equation*>
      U=<around*|[|<wide|P<rsub|0>P<rsub|1>|\<vect\>>,\<ldots\>,<wide|P<rsub|0>P<rsub|k>|\<vect\>>|]>
    </equation*>

    und es gilt <math|dim U\<leqslant\>k>. Für <math|k=1> und
    <math|P<rsub|0>\<neq\>P<rsub|1>> ist der Richtungsraum eine Gerade, man
    schreibt dann auch <math|P<rsub|0>P<rsub|1>> statt
    <math|P<rsub|0>\<vee\>P<rsub|1>>.
  </example>

  <\theorem>
    Es sei <math|\<bbb-A\>> ein affiner Raum und <math|L<rsub|1>,L<rsub|2>>
    affine Unterräume von <math|\<bbb-A\>> mit zugehörigen Richtungsräumen
    <math|U<rsub|1>,U<rsub|2>>. Dann gilt für
    <math|L<rsub|1>\<cap\>L<rsub|2>\<neq\>\<emptyset\>>:

    <\equation*>
      dim L<rsub|1>+dim L<rsub|2>=dim<around*|(|L<rsub|1>\<vee\>L<rsub|2>|)>+dim<around*|(|L<rsub|1>\<cap\>L<rsub|2>|)>
    </equation*>

    und für <math|L<rsub|1>\<cap\>L<rsub|2>=\<emptyset\>>:

    <\equation*>
      dim L<rsub|1>+dim L<rsub|2>=dim<around*|(|L<rsub|1>\<vee\>L<rsub|2>|)>+dim<around*|(|U<rsub|1>\<cap\>U<rsub|2>|)>-1
    </equation*>
  </theorem>

  <\definition>
    Sei <math|L> ein affiner Unterraum von <math|\<bbb-A\>>, der nicht gleich
    <math|\<bbb-A\>> ist. Gibt es einen Punkt <math|P\<in\>\<bbb-A\>>, so
    dass der Verbindungsraum von <math|L> und <math|P> gleich
    <math|\<bbb-A\>> ist, so heiÿt <math|L> eine <strong|Hyperebene> von
    <math|\<bbb-A\>>.

    Ist <math|dim \<bbb-A\>=n>, so sind die Hyperebenen genau die affinen
    Unterräume der Dimension <math|n-1>.
  </definition>

  <\definition>
    Zwei affine Unterräume <math|L<rsub|1>,L<rsub|2>> heiÿen
    <strong|parallel>, geschrieben <math|L<rsub|1><around*|\<\|\|\>||\<nobracket\>>L<rsub|2>>,
    wenn für die entsprechenden Richtungsräume gilt:
    <math|U<rsub|1>\<subset\>U<rsub|2>> oder
    <math|U<rsub|2>\<subset\>U<rsub|1>>.

    Zwei Geraden heiÿen <strong|windschief>, falls sie weder parallel sind
    noch einen Punkt gemeinsam haben.
  </definition>

  <\definition>
    Es seien <math|\<bbb-A\>> ein affiner Raum,
    <math|k\<in\>\<bbb-N\><rsub|0>> und <math|P<rsub|0>,\<ldots\>,P<rsub|k>\<in\>\<bbb-A\>>.
    Die Punkte <math|P<rsub|0>,\<ldots\>,P<rsub|k>> heiÿen <strong|affin
    unabhängig> oder <strong|in allgemeiner Lage>, wenn
    <math|dim<around*|(|P<rsub|0>\<vee\>\<ldots\>\<vee\>P<rsub|k>|)>=k> ist.

    Sind die Punkte nicht affin unabhängig, so heien sie <strong|affin
    abhängig.>

    Eine Teilmenge <math|C\<subset\>\<bbb-A\>> heiÿt affin abhängig, wenn für
    jedes <math|k\<in\>\<bbb-N\>> alle paarweise verschiedenen Punkte
    <math|P<rsub|0>,\<ldots\>,P<rsub|k>> aus <math|C> affin unabhängig sind,
    ansonsten affin abhängig.
  </definition>

  <\theorem>
    Es seien <math|\<bbb-A\>> ein affiner Raum und
    <math|P<rsub|0>,\<ldots\>,P<rsub|k>\<in\>\<bbb-A\>>. Dann sind
    äquivalent:

    <\enumerate-alpha>
      <item>Die Punkte <math|P<rsub|0>,\<ldots\>,P<rsub|k>> sind affin
      unabhängig.

      <item>Die Vektoren <math|<wide|P<rsub|0>P<rsub|1>|\<vect\>>,\<ldots\>,<wide|P<rsub|0>P<rsub|k>|\<vect\>>>
      sind linear unabhängig.
    </enumerate-alpha>
  </theorem>

  <\remark>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item>Ist <math|\<bbb-A\>=V>, so gilt auÿerdem: Die Punkte
      <math|x<rsub|0>,\<ldots\>,x<rsub|k>> sind genau dann affin unabhängig,
      wenn aus <math|a<rsub|0>*x<rsub|0>+\<ldots\>+a<rsub|k>*x<rsub|k>=O> und
      <math|a<rsub|0>+\<ldots\>+a<rsub|k>=0> stets
      <math|a<rsub|0>=\<ldots\>=a<rsub|k>=0> folgt.

      <item>Jede Teilmenge einer affin unabhängigen Punktmenge ist affin
      unabhängig.

      <item>Jede Obermenge einer affin abhängigen Punktmenge ist affin
      abhängig.

      <item>Sind die Punkte <math|P<rsub|0>,\<ldots\>,P<rsub|k>> affin
      abhängig, so gilt <math|dim <around*|(|P<rsub|0>\<vee\>\<ldots\>\<vee\>P<rsub|k>|)>\<less\>k>.

      <item>Jeder <math|k>-dimensionale affine Unterraum ist affine Hülle von
      <math|k+1> affin unabhängigen Punkten.
    </itemize-minus>
  </remark>

  <\definition>
    Es sei en<math|L> ein <math|k>-dimensionaler affiner Unterraum von
    <math|\<bbb-A\>> und <math|P<rsub|0>,\<ldots\>,P<rsub|k>> <math|k+1>
    affin unabhängige Punkte in <math|L>.

    Dann heiÿt <math|<around*|(|P<rsub|0>;<wide|P<rsub|0>P<rsub|1>|\<vect\>>,\<ldots\>,<wide|P<rsub|0>P<rsub|k>|\<vect\>>|)>>
    ein <strong|affines Koordinatensystem> von <math|L> mit dem
    <strong|Koordinatenursprung> <math|P<rsub|0>>, den
    <strong|Koordinatenachsen> <math|P<rsub|0>P<rsub|i>> und den
    <strong|Einheitspunkten> <math|P<rsub|i>> auf diesen Achsen.

    Für jeden Punkt <math|P\<in\>L> heiÿen die Koordinaten
    <math|a<rsub|1>,\<ldots\>,a<rsub|k>> des Vektors
    <math|<wide|P<rsub|0>P|\<vect\>>> bezüglich der Basis
    <math|<around*|(|<wide|P<rsub|0>P<rsub|1>|\<vect\>>,\<ldots\>,<wide|P<rsub|0>P<rsub|k>|\<vect\>>|)>>
    von <math|U<rsub|L>> die <strong|affinen Koordinaten> des Punktes
    <math|P> bezüglich des affinen Koordinatensystems
    <math|<around*|(|P<rsub|0>;<wide|P<rsub|0>P<rsub|1>|\<vect\>>,\<ldots\>,<wide|P<rsub|0>P<rsub|k>|\<vect\>>|)>>.
    Wir schreiben dann auch <math|P<around*|(|a<rsub|1>,\<ldots\>,a<rsub|k>|)>>.

    In einem <math|n>-dimensionalen affinen Raum <math|\<bbb-A\>> erhalten
    wir also für jede Wahl eines Ursprungs <math|O\<in\>\<bbb-A\>> und jede
    Wahl einer Basis <math|<around*|(|v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|n>|)>> von
    <math|V> ein affines Koordinatensystem
    <math|<around*|(|O;v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|n>|)>> von
    <math|\<bbb-A\>>.

    Ist <math|\<bbb-A\>> euklidischer Raum und ist
    <math|<around*|(|v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|n>|)>> eine ONB von <math|V>,
    so sprechen wir von einem <strong|kartesischen Koordinatensystem>
    <math|<around*|(|O;v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|n>|)>> von <math|\<bbb-A\>>
    und die affinen Koordinaten eines Punktes <math|X> heiÿen dann
    <strong|kartesische Koordinaten>.
  </definition>

  <\theorem>
    Sei <math|L> ein <math|k>-dimensionaler affiner Unterraum von
    <math|\<bbb-A\>> und <math|<around*|(|P<rsub|0>;<wide|P<rsub|0>P<rsub|1>|\<vect\>>,\<ldots\>,<wide|P<rsub|0>P<rsub|k>|\<vect\>>|)>>
    ein affines Koordinatensystem in <math|L>. Dann gilt für die Ortsvektoren
    der Punkte <math|P\<in\>L> bezüglich eines beliebigen Ursprungs
    <math|O\<in\>\<bbb-A\>>:

    <\equation*>
      <wide|O P|\<vect\>>=<wide|O P<rsub|0>|\<vect\>>+a<rsub|1>*<wide|P<rsub|0>P<rsub|1>|\<vect\>>+\<ldots\>+a<rsub|k>*<wide|P<rsub|0>P<rsub|k>|\<vect\>>
    </equation*>

    wobei <math|a<rsub|1>,\<ldots\>,a<rsub|k>> die affinen Koordinaten von
    <math|P> bezüglich des Koordinatensystems sind. Dies heiÿt eine
    <strong|Parameterdarstellung 1. Art> von <math|L> mit den
    Richtungsvektoren <with|mode|math|<wide|P<rsub|0>P<rsub|1>|\<vect\>>,\<ldots\>,><with|mode|math|<wide|P<rsub|0>P<rsub|k>|\<vect\>>>
    und den Parametern <math|a<rsub|1>,\<ldots\>,a<rsub|k>>.

    Ebenso gilt mit <math|a<rsub|0>\<assign\>1-a<rsub|1>-\<ldots\>-a<rsub|k>>:

    <\equation*>
      <wide|O P|\<vect\>>=a<rsub|0>*<wide|O
      P<rsub|0>|\<vect\>>+a<rsub|1>*<wide|OP<rsub|1>|\<vect\>>+\<ldots\>+a<rsub|k>*<wide|OP<rsub|k>|\<vect\>>\<nocomma\>,<with|mode|text|
      \ >a<rsub|0>+\<ldots\>+a<rsub|k>=1
    </equation*>

    Dies heiÿt eine <strong|Parameterdarstellung 2. Art> von <math|L>. Die
    eindeutig bestimmten Skalare <math|a<rsub|0>,\<ldots\>,a<rsub|k>> sind
    unabhängig von der Wahl von <math|O> und heiÿen
    <strong|Schwerpunktskoordinaten> oder <strong|baryzentrische Koordinaten>
    von <math|P> bezüglich <math|P<rsub|0>,\<ldots\>,P<rsub|k>>.

    Ist <math|char \<bbb-K\>> kein Teiler von <math|k+1>, so heiÿt der Punkt
    <math|S> mit den Koordinaten <math|a<rsub|0>=\<ldots\>=a<rsub|k>=<frac|1|k+1>>
    <strong|Schwerpunkt> von <math|P<rsub|0>,\<ldots\>,P<rsub|k>>.

    Letztere Darstellung bezeichnet man auch als <strong|Affinkombination>
    der Vektoren <with|mode|math|<wide|O P<rsub|0>|\<vect\>>,\<ldots\>,<wide|O
    P<rsub|k>|\<vect\>>>. Entsprechend heiÿt <math|P\<in\>\<bbb-A\>>
    Affinkombination der Punkte <math|P<rsub|0>,\<ldots\>,P<rsub|k>>, wenn
    eine solche Darstellung existiert. In diesem Fall gilt die Darstellung
    dann für alle <math|O\<in\>\<bbb-A\>>. Sind
    <math|P<rsub|0>,\<ldots\>,P<rsub|k>> affin unabhängig, so sind
    <math|a<rsub|0>,\<ldots\>,a<rsub|k>> eindeutig bestimmt (nämlich die
    Schwerpunktskoordinaten von <math|P>).
  </theorem>

  <\remark>
    \ 

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|P> ist genau dann Affinkombination der Punkte
      <math|P<rsub|0>,\<ldots\>,P<rsub|k>\<in\>\<bbb-A\>>, wenn es Zahlen
      <math|a<rsub|0>,\<ldots\>,a<rsub|k>> gibt mit
      <math|a<rsub|0>+\<ldots\>+a<rsub|k>=1> und

      <\equation*>
        a<rsub|0>*<wide|P<rsub|>P<rsub|0>|\<vect\>>+\<ldots\>+a<rsub|k>*<wide|P<rsub|>P<rsub|k>|\<vect\>>=O
      </equation*>

      <item><math|P> ist genau dann Affinkombination der affin unabhängigen
      Punkte <math|P<rsub|0>,\<ldots\>,P<rsub|k>\<in\>\<bbb-A\>>, wenn
      <math|P<rsub|0>,\<ldots\>,P<rsub|k>,P> affin abhängig sind.

      <item>Sei <math|C\<in\>\<bbb-A\>> nichtleer. Dann ist die affine Hülle
      von <math|C> die Menge aller Affinkombinationen von Punkten aus
      <math|C>.
    </enumerate-alpha>
  </remark>

  <subsection|Orthogonale Unterräume>

  <\definition>
    Seien <math|L<rsub|1>> und <math|L<rsub|2>> affine Unterräume, die nicht
    parallel sind, mit Richtungsräumen <math|U<rsub|1>> bzw.
    <math|U<rsub|2>>. Betrachte die orthogonalen Komplemente
    <math|W<rsub|1>\<assign\><around*|(|U<rsub|1>\<cap\>U<rsub|2>|)><rsup|\<bot\>>\<cap\>U<rsub|1>>,
    <with|mode|math|W<rsub|2>\<assign\><around*|(|U<rsub|1>\<cap\>U<rsub|2>|)><rsup|\<bot\>>\<cap\>U<rsub|2>>
    des Schnittes <math|U<rsub|1>\<cap\>U<rsub|2>> in <math|U<rsub|1>> bzw.
    <math|U<rsub|2>>. Es gilt <math|W<rsub|i>\<neq\><around*|{|O|}>>, da
    <math|L<rsub|1>> und <math|L<rsub|2>> nicht parallel sind.

    Die Unterräume <math|L<rsub|1>> und <math|L<rsub|2>> heiÿen
    <strong|orthogonal> (<math|L<rsub|1>\<bot\>L<rsub|2>>), falls
    <math|W<rsub|1>\<bot\>W<rsub|2>> gilt.

    Ist <math|L<rsub|1>> eine Gerade und <math|L<rsub|1>\<cap\>L<rsub|2>\<neq\>\<emptyset\>>,
    so heiÿt <math|L<rsub|1>> auch ein <strong|Lot> auf <math|L<rsub|2>>.
  </definition>

  <\remark>
    \;

    <\itemize-minus>
      <item><math|U<rsub|L<rsub|1>>\<cap\>U<rsub|L<rsub|2>>=<around*|{|O|}>>
      <math|\<Rightarrow\>> <math|w<rsub|1>=U<rsub|L<rsub|1>>,w<rsub|2>=U<rsub|L<rsub|2>>>
      <math|\<Rightarrow\>> <math|L<rsub|1>\<bot\>L<rsub|2>\<nocomma\>>,
      <math|U<rsub|L<rsub|1>>\<bot\>U<rsub|L<rsub|2>>>

      <item>Orthogonale Unterräume sind nie parallel, müssen sich aber auch
      nicht schneiden.

      <item><math|\<ell\>> Lot auf AUR <math|L> <math|\<Rightarrow\>>
      <math|\<ell\>\<cap\>L=<around*|{|p|}>> [<math|p> Lotfuÿpunkt]
    </itemize-minus>
  </remark>

  <\definition>
    <math|A> EAR, <math|X,Y\<in\>A>. Der <strong|Abstand>
    <math|d<around*|(|X,Y|)>> von <math|X> und <math|Y> ist definiert als

    <\equation*>
      d<around*|(|X,Y|)>\<assign\><around*|\<\|\|\>|<wide|X
      Y|\<vect\>>|\<\|\|\>>
    </equation*>

    <math|<around*|(|A,d|)>> ist also metrischer Raum.

    <math|A> sei <math|n>-dimensional, <math|X=<around*|(|x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)>>,
    <math|Y=<around*|(|y<rsub|1>,\<ldots\>,y<rsub|n>|)>> in <em|kartesischen>
    Koordinaten bezüglich eines KoSys <math|<around*|(|O;v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|n>|)>>

    <\equation*>
      \<Rightarrow\><with|mode|text| >d<around*|(|X,Y|)>=<sqrt|<big-around|\<sum\>|<rsub|i=1><rsup|n><around*|(|y<rsub|i>-x<rsub|i>|)><rsup|2>>>
    </equation*>
  </definition>

  <\definition>
    <math|M<rsub|1>,M<rsub|2>\<subset\>A> beliebige Teilmengen:

    <\equation*>
      d<around*|(|M<rsub|1>,M<rsub|2>|)>\<assign\>
      inf<around*|{|d<around*|(|X<rsub|1>,X<rsub|2>|)> <mid|\|>
      X<rsub|1>\<in\>M<rsub|1>,X<rsub|2>\<in\>M<rsub|2>|}>
    </equation*>

    Im Allgemeinen wird das Infimum nicht angenommen!
  </definition>

  <\theorem>
    <math|L<rsub|1>>, <math|L<rsub|2>> EUR mit Richtungsräumen
    <math|U<rsub|1>=U<rsub|L<rsub|1>>>, <math|U<rsub|2>=U<rsub|L<rsub|2>>>,
    <math|P<rsub|1>\<in\>U<rsub|1>>, <math|P<rsub|2>\<in\>U<rsub|2>>:

    <\equation*>
      d<around*|(|L<rsub|1>,L<rsub|2>|)>=d<around*|(|<wide|P<rsub|1>P<rsub|2>|\<vect\>>,U<rsub|1>+U<rsub|2>|)>=<around*|\<\|\|\>|<wide|P<rsub|1>P<rsub|2>|\<vect\>>-\<pi\><rsub|U<rsub|1>+U<rsub|2>><around*|(|<wide|P<rsub|1>P<rsub|2>|\<vect\>>|)>|\<\|\|\>>
    </equation*>

    wobei <math|\<pi\><rsub|U<rsub|1>+U<rsub|2>>> Orthogonalprojektion ist.
  </theorem>

  <\remark>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item>Punkte <math|Q<rsub|1>>, <math|Q<rsub|2>> mit
      <math|d<around*|(|Q<rsub|1>,Q<rsub|2>|)>=d<around*|(|L<rsub|1>,L<rsub|2>|)>>
      erhält man so:

      Gilt <math|\<pi\><rsub|U<rsub|1>+U<rsub|2><rsub|>><around*|(|<wide|P<rsub|1>P<rsub|2>|\<vect\>>|)>=x<rsub|1>+x<rsub|2>>,
      <math|x<rsub|i>\<in\>U<rsub|i>>, so seien <math|Q<rsub|1>>,
      <math|Q<rsub|2>> gegeben durch

      <\equation*>
        x<rsub|1>=<wide|P<rsub|1>Q<rsub|1>|\<vect\>>\<nocomma\><with|mode|text|,
        >-x<rsub|2>=<wide|P<rsub|2>Q<rsub|2>|\<vect\>>
      </equation*>

      <item><math|L<rsub|1>\<cap\>L<rsub|2>=\<emptyset\>>
      <math|\<Rightarrow\>> <math|Q<rsub|1>\<neq\>Q<rsub|2>> und die Gerade
      <math|Q<rsub|1>Q<rsub|2>> ist <em|gemeinsames> Lot von <math|L<rsub|1>>
      und <math|L<rsub|2>>.

      Dann gilt ferner <math|Q<rsub|1>>, <math|Q<rsub|2>> sind eindeutig
      <math|\<Leftrightarrow\>> <math|U<rsub|1>+U<rsub|2>=U<rsub|1>\<oplus\>U<rsub|2>>
      (es gibt also keine parallelen Geraden in <math|L<rsub|1>> und
      <math|L<rsub|2>>.

      <item>Spezialfall: <math|X\<in\>A\<nocomma\>>, <math|L> AUR. Dann gilt
      für beliebige Punkte <math|P\<in\>L>:

      <\equation*>
        d<around*|(|X,L|)>=<around*|\<\|\|\>|<wide|P
        X|\<vect\>>-\<pi\><rsub|U<rsub|L>><around*|(|<wide|P
        X|\<vect\>>|)>|\<\|\|\>>
      </equation*>
    </itemize-minus>
  </remark>

  <subsection|Affine Abbildungen>

  <\definition>
    <math|\<bbb-A\>>, <math|\<bbb-B\>> seien affine Räume mit zugehörigen
    <math|\<bbb-K\>>-Vektorräumen <math|V,W>.

    <math|\<varphi\>: \<bbb-A\>\<longrightarrow\>\<bbb-B\>> heiÿt
    <strong|affine Abbildung> (<strong|affine Transformation>), wenn gilt:

    <\equation*>
      \<exists\> \<Phi\>: V\<longrightarrow\>W<with|mode|text| linear mit
      ><wide|\<varphi\><around*|(|P|)>\<varphi\><around*|(|Q|)>|\<vect\>>=\<Phi\><around*|(|<wide|P
      Q|\<vect\>>|)><with|mode|text| für alle >P,Q\<in\>\<bbb-A\>
    </equation*>

    Ist <math|\<varphi\>> zusätzlich bijektiv, so heiÿt <math|\<varphi\>>
    auch <strong|Affinität>.
  </definition>

  <\remark>
    Es reicht aus, den Spezialfall <math|\<bbb-A\>=V> und <math|\<bbb-B\>=W>
    mit

    <\equation*>
      \<varphi\>:V\<longrightarrow\>W,x\<mapsto\>\<Phi\><around*|(|x|)>+w
    </equation*>

    mit dem <strong|Translationsvektor> <math|w> zu betrachten
  </remark>

  <\theorem>
    <math|\<bbb-A\>,\<bbb-B\>> affine Räume über <math|\<bbb-K\>>, <math|dim
    \<bbb-A\>=n>, <math|P<rsub|0>,\<ldots\>,P<rsub|n>\<in\>\<bbb-A\>> affin
    unabhängig und <math|Q<rsub|0>,\<ldots\>,Q<rsub|n>\<in\>\<bbb-B\>>
    beliebig. Dann existiert genau eine affine Abbildung
    <math|\<varphi\>:\<bbb-A\>\<longrightarrow\>\<bbb-B\>> mit
    <math|\<varphi\><around*|(|P<rsub|i>|)>=Q<rsub|i>> für alle <math|i>.

    (Affine Abbildungen sind durch ihre Werte auf affinen KoSys eindeutig
    festgelegt.)
  </theorem>

  <\corollary>
    <strong|(Koordinatenwechsel in affinen Räumen)> Koordinatenwechsel in
    affinen Räumen erfolgen durch Affinitäten und umgekehrt bilden
    Affinitäten <math|\<varphi\>:\<bbb-A\>\<longrightarrow\>\<bbb-A\>> mit
    assoziierten Vektorraumisomorphismen <math|\<Phi\>:V\<longrightarrow\>V>
    ein Koordinatensystem <math|<around*|(|O;v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|n>|)>>
    auf ein neues Koordinatensystem <math|<around*|(|\<varphi\><around*|(|O|)>;\<Phi\><around*|(|v<rsub|1>|)>,\<ldots\>,\<Phi\><around*|(|v<rsub|n>|)>|)>>
    ab, für das die affinen Koordinaten eines Punktes im alten und neuem
    System übereinstimmen.
  </corollary>

  <\remark>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item>Affine Abbildungen bilden AUR in AUR und parallele AUR in
      parallele AUR ab.

      <item>Affinitäten erhalten die Dimension von AUR, speziell sind sie
      geraden- und parallelentreu.

      <item>Affine Abbildungen sind auÿerdem teilverhältnistreu:
      <math|TV<around*|(|\<varphi\><around*|(|P|)>,\<varphi\><around*|(|Q|)>;\<varphi\><around*|(|R|)>|)>=TV<around*|(|P,Q;R|)>>
    </itemize-minus>
  </remark>

  <\theorem>
    Jede bijektive Abbildung <math|\<varphi\>:\<bbb-A\>\<longrightarrow\>\<bbb-A\>>,
    die geradentreu, parallelentreu und teilverhältnistreu ist, ist eine
    Affinität.
  </theorem>

  <\remark>
    Die Affinitäten <math|\<varphi\>:\<bbb-A\>\<longrightarrow\>\<bbb-A\>>
    bilden eine Gruppe bezüglich <math|\<circ\>>.
  </remark>

  <\definition>
    <math|M<rsub|1>,M<rsub|2>\<subset\>\<bbb-A\>> heiÿen <strong|affin
    äquivalent>, falls eine Affinität <math|\<varphi\>:\<bbb-A\>\<longrightarrow\>\<bbb-A\>>
    existiert mit <math|\<varphi\><around*|(|M<rsub|1>|)>=M<rsub|2>>.
  </definition>

  <subsubsection|Affine Abbildungen in euklidischen Räumen>

  <\definition>
    Seien <math|\<bbb-A\>>, <math|\<bbb-B\>> euklidische affine Räume,
    <math|\<varphi\>:\<bbb-A\>\<longrightarrow\>\<bbb-B\>> affine Abbildung
    mit zugehöriger linearer Abbildung <math|\<Phi\>>.

    <math|\<varphi\>> heiÿt <strong|Isometrie>, falls <math|\<Phi\>>
    Isometrie ist.

    <math|\<varphi\>> heiÿt <strong|eigentlich>, wenn <math|det \<Phi\>=+1>
    ist, <strong|uneigentlich>, wenn <math|det \<Phi\>=-1> ist.
  </definition>

  <\remark>
    Isometrien lassen Abstände fest: Für <math|X,Y\<in\>\<bbb-A\>> gilt

    <\equation*>
      d<around*|(|\<varphi\><around*|(|X|)>,\<varphi\><around*|(|Y|)>|)>=d<around*|(|X,Y|)>
    </equation*>

    Diese Eigenschaft charakterisiert Isometrien:
  </remark>

  <\theorem>
    <math|\<bbb-A\>>, <math|\<bbb-B\>> euklidische affine Räume,
    <math|\<varphi\>:\<bbb-A\>\<longrightarrow\>\<bbb-B\>> beliebig (nicht
    unbedingt affin). Dann gilt:

    <\equation*>
      \<varphi\><with|mode|text| Isometrie
      >\<Leftrightarrow\><with|mode|text| Für alle <math|X,Y\<in\>\<bbb-A\>>
      gilt >d<around*|(|X,Y|)>=d<around*|(|\<varphi\><around*|(|X|)>,\<varphi\><around*|(|Y|)>|)>
    </equation*>
  </theorem>

  <\remark>
    \ 

    <\itemize-minus>
      <item>Isometrien <math|\<varphi\>:\<bbb-A\>\<longrightarrow\>\<bbb-A\>>
      eines euklidischen Raumes <math|\<bbb-A\>> bilden eine Untergruppe der
      Gruppe aller Affinitäten von <math|\<bbb-A\>>.

      <item><math|M<rsub|1>,M<rsub|2>\<in\>\<bbb-A\>> heiÿen
      <strong|kongruent>, wenn eine <strong|Bewegung> von <math|\<bbb-A\>>
      (Isometrie <math|\<bbb-A\>\<longrightarrow\>\<bbb-A\>>) existiert mit
      <math|\<varphi\><around*|(|M<rsub|1>|)>=M<rsub|2>>.

      <item>Kongruenz gibt eine feinere Klasseneinteilung als affine
      Äquivalenz.
    </itemize-minus>
  </remark>

  <subsection|Quadriken in affinen Räumen>

  <\definition>
    Sei <math|\<bbb-A\>> reeller affiner Raum, <math|dim \<bbb-A\>=n>, mit
    Richtungsvektorraum <math|V> und Ursprung <math|O>. Sei auÿerdem
    <math|\<beta\> : V\<times\>V\<longrightarrow\>\<bbb-R\>> symmetrische
    Bilinearform, <math|\<beta\>\<neq\>0>,
    <math|\<Phi\>:V\<longrightarrow\>\<bbb-R\>> Linearform,
    <math|c\<in\>\<bbb-R\>>.

    Ist die Punktmenge

    <\equation*>
      Q=<around*|{|X\<in\>\<bbb-A\> \<mid\> <wide|O
      X|\<vect\>>=x\<nocomma\>,\<beta\><around*|(|x,x|)>+2*\<Phi\><around*|(|x|)>+c=O|}>
    </equation*>

    nicht leer, so heiÿt <math|Q> <strong|Quadrik>. Für <math|n=2> heiÿt
    <math|Q> dann auch <strong|Kegelschnitt>.

    Ist die affine Hülle von <math|Q> <math|aff Q=\<bbb-A\>>, so heiÿt
    <math|Q> <strong|eigentlich>.
  </definition>

  <\remark>
    Die Koordinaten <math|<wide|x|^>> bezüglich eines affinen KoSys
    <math|<around*|(|O;v<rsub|1>,\<ldots\>,v<rsub|n>|)>> erfüllen eine
    Gleichung der Form

    <\equation*>
      <wide|x|^><rsup|\<top\>>*A*<wide|x|^>+2*b<rsup|\<top\>><wide|x|^>+c=O
    </equation*>

    mit <math|A=<around*|(|\<beta\><around*|(|v<rsub|i>,v<rsub|j>|)>|)>>
    symmetrisch, <math|b<rsup|\<top\>>=<around*|(|\<Phi\><around*|(|v<rsub|1>|)>,\<ldots\>,\<Phi\><around*|(|v<rsub|n>|)>|)>>.

    Quadriken sind Nullstellenmengen von Polynomen in <math|n> Variablen vom
    Grad <math|2>.
  </remark>

  <\theorem>
    Sei <math|Q\<subset\>\<bbb-A\>> eine Quadrik und
    <math|\<varphi\>:\<bbb-A\>\<longrightarrow\>\<bbb-A\>> Affinität. Dann
    ist auch <math|\<varphi\><around*|(|Q|)>> eine Quadrik und
    <math|\<varphi\><around*|(|Q|)>> ist eigentlich genau dann, wenn <math|Q>
    eigentlich ist.
  </theorem>

  <\theorem>
    <strong|(Affine Hauptachsentransformation von Quadriken)> Es sei
    <math|\<bbb-A\>> ein <math|n>-dimensionaler affiner Raum. Dann lässt sich
    jede Quadrik <math|Q\<subset\>\<bbb-A\>> bezüglich eines geeigneten
    affinen KoSys durch eine der folgenden Gleichungen <strong|(affinen
    Normalformen)> beschreiben:

    <\enumerate-Roman>
      <item><math|x<rsub|1><rsup|2>+\<cdots\>+x<rsub|p><rsup|2>-x<rsub|p+1><rsup|2>-\<cdots\>-x<rsub|r><rsup|2>=0>
      mit <math|0\<less\>p\<leqslant\>r\<leqslant\>n>,
      <math|r-p\<leqslant\>p>

      <item><math|x<rsub|1><rsup|2>+\<cdots\>+x<rsub|p><rsup|2>-x<rsub|p+1><rsup|2>-\<cdots\>-x<rsub|r><rsup|2>=1>
      mit <math|0\<less\>p\<leqslant\>r\<leqslant\>n>

      <item><math|x<rsub|1><rsup|2>+\<cdots\>+x<rsub|p><rsup|2>-x<rsub|p+1><rsup|2>-\<cdots\>-x<rsub|r><rsup|2>=2*x<rsub|n>>
      mit <math|0\<less\>p\<leqslant\>r\<less\>n>, <math|r-p\<leqslant\>p>
    </enumerate-Roman>
  </theorem>

  <\theorem>
    Zwei Quadriken <math|Q> und <math|Q<rprime|'>> sind genau dann affin
    äquivalent, wenn die affinen Normalformen von <math|Q> und
    <math|Q<rprime|'>> vom gleichen Typ sind und <math|r=r<rprime|'>>,
    <math|p=p<rprime|'>> gilt.
  </theorem>
</body>

<\initial>
  <\collection>
    <associate|language|german>
  </collection>
</initial>

<\references>
  <\collection>
    <associate|adj_ex|<tuple|211|?>>
    <associate|auto-1|<tuple|1|1>>
    <associate|auto-10|<tuple|1.2.6|6>>
    <associate|auto-11|<tuple|2|6>>
    <associate|auto-12|<tuple|2.1|6>>
    <associate|auto-13|<tuple|2.2|8>>
    <associate|auto-14|<tuple|2.3|10>>
    <associate|auto-15|<tuple|2.3.1|11>>
    <associate|auto-16|<tuple|2.4|11>>
    <associate|auto-17|<tuple|2.4.1|12>>
    <associate|auto-18|<tuple|2.4.2|?>>
    <associate|auto-19|<tuple|2.4.3|?>>
    <associate|auto-2|<tuple|1.1|1>>
    <associate|auto-20|<tuple|2.4.4|?>>
    <associate|auto-21|<tuple|3|?>>
    <associate|auto-22|<tuple|4|?>>
    <associate|auto-23|<tuple|4.1|?>>
    <associate|auto-24|<tuple|5|?>>
    <associate|auto-25|<tuple|5.1|?>>
    <associate|auto-26|<tuple|5.2|?>>
    <associate|auto-27|<tuple|5.2.1|?>>
    <associate|auto-28|<tuple|5.3|?>>
    <associate|auto-29|<tuple|6|?>>
    <associate|auto-3|<tuple|1.2|2>>
    <associate|auto-30|<tuple|6.1|?>>
    <associate|auto-31|<tuple|7|?>>
    <associate|auto-32|<tuple|8|?>>
    <associate|auto-33|<tuple|9|?>>
    <associate|auto-34|<tuple|9.1|?>>
    <associate|auto-35|<tuple|10|?>>
    <associate|auto-36|<tuple|10.1|?>>
    <associate|auto-37|<tuple|10.2|?>>
    <associate|auto-38|<tuple|10.3|?>>
    <associate|auto-39|<tuple|10.3.1|?>>
    <associate|auto-4|<tuple|1.2.1|3>>
    <associate|auto-40|<tuple|10.4|?>>
    <associate|auto-5|<tuple|1.2.2|3>>
    <associate|auto-6|<tuple|1.2.3|3>>
    <associate|auto-7|<tuple|1.2.4|4>>
    <associate|auto-8|<tuple|1.2.5|5>>
    <associate|auto-9|<tuple|1.2.5.1|6>>
    <associate|iso1|<tuple|224|?>>
    <associate|iso2|<tuple|225|?>>
    <associate|kontr1|<tuple|1|?>>
    <associate|kontr2|<tuple|2|?>>
    <associate|normzeugs|<tuple|189|?>>
    <associate|ogs-lu|<tuple|196|?>>
    <associate|onp1|<tuple|202|?>>
    <associate|onp3|<tuple|205|?>>
    <associate|sa1|<tuple|215|?>>
  </collection>
</references>

<\auxiliary>
  <\collection>
    <\associate|toc>
      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Grundbegriffe
      der Algebra> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-1><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|Gruppen
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-2>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|Körper und Ringe
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-3>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Restklassenkörper
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-4>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Körperhomomorphismen
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-5>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Ringe <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-6>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Matrizen
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-7>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Polynome
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-8>>

      <with|par-left|<quote|6fn>|Teiler von Polynomen
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-9><vspace|0.15fn>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Der Gauss-Algorithmus
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-10>>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Vektorräume>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-11><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|Definition
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-12>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|Lineare Ab- und Unabhängigkeit
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-13>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|(Direkte) Summen und Quotientenräume
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-14>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Quotientenräume (Faktorräume)
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-15>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|Lineare Abbildungen
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-16>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Lineare Abbildungen und Basen
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-17>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Vektorräume linearer Abbildungen
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-18>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Wichtiger Spezialfall
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-19>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Die Adjungierte
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-20>>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Lineare
      Abbildungen und Matrizen> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-21><vspace|0.5fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Determinanten
      und Eigenwerte> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-22><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|Determinanten
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-23>>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Eigenwerte
      & Diagonalisierbarkeit> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-24><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|Der Satz von Cayley-Hamilton
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-25>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|Die Jordansche Normalform
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-26>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Haupträume
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-27>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|Die reelle Jordan-Form
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-28>>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Euklidische
      und unitäre Vektorräume> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-29><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|Orthogonalbasen und -projektionen
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-30>>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Adjungierte
      Abbildungen> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-31><vspace|0.5fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Isometrien>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-32><vspace|0.5fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Unitäre
      Vektorräume> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-33><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|Normale Endomorphismen
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-34>>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Affine
      Geometrie und Quadriken> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-35><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|Gruppenwirkungen
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-36>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|Affine Abbildungen
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-37>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Affine Abbildungen in euklidischen Räumen
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-38>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|Quadriken in affinen Räumen
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-39>>
    </associate>
  </collection>
</auxiliary>