angular_momentum2.saty

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document (|
  title = {全角運動量演算子${L^2} with アインシュタインの記法};
  author = {hsjoihs};
  show-title = true;
  show-toc = false;
|) '<
  +section{概要}<
    +p{
      全角運動量演算子${L^2}をシュッと表す with アインシュタインの記法。
    }
  >
  +section{計算}<
    +math(${L^2\psi = \frac{1}{2} g_{km} g_{ln} \paren{X^k\frac{\hbar}{i}\partial^l - X^l\frac{\hbar}{i}\partial^k} \paren{X^m\frac{\hbar}{i}\partial^n - X^n\frac{\hbar}{i}\partial^m}\psi
    });
    +math(${= -\frac{\hbar^2}{2} g_{km} g_{ln} 
      \paren{
        X^k\partial^lX^m\partial^n\psi - X^k\partial^lX^n\partial^m\psi
         - X^l\partial^kX^m\partial^n\psi +X^l\partial^kX^n\partial^m\psi
      } 
    });

    +math(${= -\frac{\hbar^2}{2}  
      \paren{
        g_{km} g_{lp} X^k\partial^lX^m\partial^p\psi - g_{kp} g_{ln} X^k\partial^lX^n\partial^p\psi
         - g_{km} g_{lp} X^l\partial^kX^m\partial^p\psi + g_{kp} g_{ln} X^l\partial^kX^n\partial^p\psi
      } 
    });

    +math(${= -\frac{\hbar^2}{2}  
      \paren{
        g_{km} \delta_l^p \paren{X^k\partial^lX^m - X^l\partial^kX^m}

          + \delta_{k}^p g_{ln} \paren{X^l\partial^kX^n -  X^k\partial^lX^n}
      } \nabla_p\psi
    });

    +pn{
      ここで
    }

    +math(${
      X^k\partial^lX^mf = X^kX^m\partial^lf + X^kg^{lm}f
    });

    +pn{
      なので
    }

    +math(${
      g_{km} \delta_l^p \paren{X^k\partial^lX^m - X^l\partial^kX^m}
      + \delta_{k}^p g_{ln} \paren{X^l\partial^kX^n -  X^k\partial^lX^n}
    });

    +math(${
       = g_{km} \delta_l^p \paren{X^kX^m\partial^l + X^kg^{lm} - X^lX^m\partial^k - X^lg^{km}}
    
       + \delta_{k}^p g_{ln} \paren{X^lX^n\partial^k + X^lg^{kn} -  X^kX^n\partial^l-  X^kg^{ln}}
    });

    +math(${
       = g_{km} \delta_l^p X^kX^m\partial^l + g_{km} \delta_l^pX^kg^{lm} - g_{km} \delta_l^pX^lX^m\partial^k - g_{km} \delta_l^pX^lg^{km}
    });

    +math(${
       + \delta_{k}^p g_{ln} X^lX^n\partial^k + \delta_{k}^p g_{ln} X^lg^{kn} -  \delta_{k}^p g_{ln}X^kX^n\partial^l-  \delta_{k}^p g_{ln}X^kg^{ln}
    });

    +math(${
       = g_{km} \delta_q^p X^kX^m\partial^q + X^p - g_{qm} \delta_l^pX^lX^m\partial^q - 3 X^p
    
       + \delta_{q}^p g_{ln} X^lX^n\partial^q + X^p -  \delta_{k}^p g_{qn}X^kX^n\partial^q- 3 X^p
    });

    +math(${
      = \paren {
        g_{km} \delta_q^p X^kX^m - g_{qm} \delta_l^pX^lX^m
        + \delta_{q}^p g_{ln} X^lX^n -  \delta_{k}^p g_{qn}X^kX^n
      } \partial^q - 4 X^p
    });

    +pn{
      であり
    }

    +math(${L^2\psi = -\frac{\hbar^2}{2}  
      \paren{
        \paren {
          g_{km} \delta_q^p X^kX^m - g_{qm} \delta_l^pX^lX^m
          + \delta_{q}^p g_{ln} X^lX^n -  \delta_{k}^p g_{qn}X^kX^n
        } \partial^q - 4 X^p
      } \nabla_p\psi
    });

    +math(${ = -\frac{\hbar^2}{2}  
      
        \paren {
          \delta_q^p \paren{g_{km}  X^kX^m +  g_{ln} X^lX^n}
          - g_{qm} \delta_l^pX^lX^m
           -  \delta_{k}^p g_{qn}X^kX^n
        } \nabla^q \nabla_p\psi + 2\hbar^2 X^p
       \nabla_p\psi
    });

    +math(${ = -\hbar^2
      
        \paren {
          \delta_q^p \paren{g_{km}  X^kX^m}
          - \delta_k^p \paren{
            g_{qm} X^kX^m
          }
        } \nabla^q \nabla_p\psi + 2\hbar^2 X^p
       \nabla_p\psi
    });

    +math(${ = -\hbar^2
      
        \paren {
          \delta_q^p \paren{g_{km}  X^kX^m}
          - \delta_k^p \paren{
            g_{qm} X^kX^m
          }
        } \nabla^q \nabla_p\psi + 2\hbar^2 X^p
       \nabla_p\psi
    });

    +math(${ = -\hbar^2
          \paren{g_{km}  X^kX^m} \nabla^2\psi
          + \hbar^2 \paren{
             X^pX^m
          }
       \nabla_m \nabla_p\psi + 2\hbar^2 X^p
       \nabla_p\psi
    });

    +pn{
      したがって
    }

    +math(${L^2\psi
      =  - \hbar^2 \|x\vec\|^2 \nabla^2\psi
      + \hbar^2 x\vec \cdot \paren {
        \paren{x\vec \cdot \nabla\vec}
        \nabla\vec\psi
      }
      + 2\hbar^2 x\vec \cdot \nabla\vec\psi 
    });
  >
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