上一节 「05-转置-置换-向量空间R」介绍了 向量空间与子空间 。
本节在此基础上，总结了向量空间需要满足的条件以及子空间的性质。接下来介绍了两种构建子空间的方法，即列空间与子空间的构造方法。
具体内容如下：
- 向量空间条件与子空间性质
- 列空间：从矩阵的列向量出发，通过线性组合，构造列空间。
- 零空间：对于零空间，刚开始并不知道其中有何向量，已知的信息只有这些向量需要满足的方程 Ax = 0， 通过让 x 满足特定条件而得到零空间。
向量空间需要满足加法封闭性以及数乘封闭性，即给定向量空间的向量 v 和 w, 需要满足：
- 加法封闭性：v + w 在该向量空间内
- 数乘封闭性：a v 在该向量空间内
这个条件本质上其实是 v 和 w 的所有线性组合 av + bw 在该向量空间内。
注：任何向量空间必须包含零向量Z。
很明显，子空间直线 L 或 平面 P 上，任取两个向量相加，得到的向量仍在该子空间中。而且将其上的向量做数乘伸长或缩短一定倍数，其结果也还在该子空间中。所以它们都对线性运算封闭。
上面我们都是分别研究的两个子空间，那么接下来我们对两个空间之间联系展开讨论。
对于𝑅 3 的子空间 P 与 L，首先要研究的就是它们的并空间，即：现有一向量集合，包含了 P 与 L 中的所有向量，那么这个向量集合是否构成了子空间呢？
No!!!
很明显，我们将直线 L 与平面 P 看做同一个集合 P∪L 之后，这个集合对线性运算并不封闭。
比如我们随便在直线 L 上取一个向量 a，在平面 P 上取一个向量 b。此时向量 a+b 方向就会夹在直线 L 与平面 P 之间，脱离了 P∪L 的范围。所以 P∪L 无法构成子空间。
那么这个子空间有多大呢？这就需要用 Ax = b 方程来解释了。
总结：
- 问题1: 对于所有的向量b，Ax = b 是否总是有解？
这个问题本质上其实相当于问：矩阵的 A 的列向量形成的列空间是否可以铺满整个四维实空间 R4？对于上面的方程 Ax = b 而言，四个方程，3个未知数，对于任意的向量 b 是不会总是有解的。事实上，3个列向量构成的构成的列空间 C(A) 只是 R4 的一个子空间，因此，对于任意的向量 b 方程是不会总是有解的。
- 问题2：那么什么样的向量b，能够使得 Ax = b 有解呢？
这个问题相当于问：矩阵的 A 的列向量线性组合能够形成什么样的向量或者说什么样的向量在 C(A) 中？
因此，只要向量 b 在 C(A) 中，Ax = b 有解。
- 问题3：去掉 A 的哪一列，剩下的列向量仍然可以得到相同的子空间 C(A) ?
由上面的分析，我们可以看出来，第三列是前面两列的线性组合，因此第三列对子空间的形成没有任何贡献，因此第三列可以去掉。剩下的两列对于子空间的形成作出了贡献，我们成为 主列。
因此，C(A) 是四维向量空间的一个二维子空间。
注：对于矩阵 Am*n 而言，其列空间为 m 维向量空间 Rm 的一个子空间。
那如果上面构造零空间的方程右侧变为任意向量的话，其解集 x 还能构成 向量空间 吗？
注：对于矩阵 Am*n 而言，其零空间为 n 维向量空间 Rn 的一个子空间。
在本节中我们学习了列空间与零空间。从 Ax = b 入手，给出了两种构建子空间的方法:
- 列空间：从矩阵的列向量出发，通过线性组合，构造列空间。
- 零空间：对于零空间，刚开始并不知道其中有何向量，已知的信息只有这些向量需要满足的方程 Ax = 0， 通过让 x 满足特定条件而得到零空间。
这两种构造子空间的方法需要掌握。其实就是一个从 A 的列向量入手，一个从 x 的解集入手构建子空间的问题。