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Lezione 4: la generazione di numeri casuali

Indice

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4.1 I numeri pseudo-casuali

  • quando si effettua una qualunque misura, si porta a termine il confronto fra i dati raccolti e un modello della natura
    • per falsificare il modello, oppure
    • per determinare il valore (e l'incertezza associata) di uno dei suoi parametri
  • è cruciale saper calcolare le previsioni di un modello
    • spesso non si conosce il modello in forma analitica e si ricorre a metodi computazionali alternativi per ottenere le previsioni da confrontare con le misure
  • molte tecniche di calcolo si basano sulla generazione di numeri casuali
    • per riprodurre la natura aleatoria delle misure
    • o per popolare uniformemente spazi fasi definiti entro confini sofisticati

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4.1.1 sequenze casuali

  • un processo casuale, o stocastico, produce una successione di numeri distribuiti casualmente secondo una distribuzione di probabilità fissata
  • la probabilità che un determinato numero compaia in qualunque punto della successione non dipende dai numeri che lo precedono o che lo seguono
  • ad esempio:
    • il tempo di arrivo di raggi cosmici su un rivelatore di muoni
    • il risultato del lancio di una moneta o di un dado
  • siccome dipendono dalle tempistiche di processi naturali, si tratta tipicamente di sequenze che richiedono molto tempo per essere costruite, che diventa un fattore limitante nei calcoli

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4.1.2 sequenze pseudo-casuali

  • esistono programmi e librerie, detti in generale generatori di numeri pseudo-casuali, che producono successioni di numeri tali da sembrare numeri casuali
  • la sequenza dei numeri nelle successioni è deterministica, e le funzioni utilizzate per la generazione sono costruite per mimare il comportamento di successioni casuali
  • il primo numero di una successione (o sequenza) di numeri pseudo-casuali si chiama seed, perché noto quel numero e l'algoritmo di generazione si può riprodurre l'intera sequenza
    • chiaramente, da diversi seed iniziano sequenze di numeri pseudo-casuali diverse

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4.1.3 il generatore lineare congruenziale

  • un esempio di formula per calcolare l'elemento successivo di una sequenza pseudo-casuale dato un qualunque numero è il seguente: lineare-congruenziale
  • con: lineare-congruenziale_condizioni
  • il primo elemento della sequenza, con indice zero, è il seed
  • questo algoritmo genera per costruzione numeri compresi fra 0 ed M

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4.1.4 le problematiche dei generatori di numeri pseudo-casuali

  • la dipendenza funzionale fra due numeri pseudo-casuali consecutivi non deve essere visibile
  • se in una sequenza di numeri pseudo-casuali ricompare un numero già visto, la sequenza inizia a ripetersi da quel punto: si tratta della periodicità del generatore.
  • il periodo deve essere molto maggiore della quantità di numeri pseudo-casuali generati e non dipendere dalla scelta del seed
  • tipicamente i generatori di numeri casuali seguono una distribuzione uniforme: la non-uniformità della distribuzione è un altro difetto tipico che si vuole evitare
  • un esempio del risultato di un generaore di numeri pseudo-casuali poco performante si trova qui pseudo_fail

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4.1.5 un generatore di numeri casuali in C++

  • nella libreria cstdlib è presente un generatore di numeri pseudo-casuali rand(): 
    #include <cstdlib>
#include <iostream>

int main (int arcg, char ** argv)
  {
    for (int i = 0 ; i < 5 ; ++i)
      std::cout << "indice " << i << " --> " << rand () << "\n" ;
    std::cout << "\nRAND_MAX: " << RAND_MAX << std::endl ;
    return 0 ;
  }
    il codice precedente produce come output: 
    indice 0 --> 16807
indice 1 --> 282475249
indice 2 --> 1622650073
indice 3 --> 984943658
indice 4 --> 1144108930

RAND_MAX: 2147483647

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4.1.6 le caratteristiche di rand ()

  • è un generatore di numeri interi pseudo-casuali distribuiti uniformemente fra 0 e RAND_MAX, che è una variabile definita all'interno della libreria cstdlib
  • il generatore inizia sempre dallo stesso seed per generare gli eventi, quindi se si rigira il programma si ottiene sempre la medesima sequenza numerica

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4.1.7 come cambiare il seed di generazione

  • esiste la funzione srand (int seed) che imposta il seed di generazione dei numeri casuali: 
    srand (3) ;
for (int i = 0 ; i < 5 ; ++i)
  std::cout << "indice " << i << " --> " << rand () << "\n" ;
  • è importante poter riprodurre la stessa sequenza di numeri pseudo-casuali a scopo di test
  • se invece si vuole produrre ad ogni esecuzione una sequenza differente, si può utilizzare il tempo di esecuzione come seed di generazione, utilizzando la funzione time () della libreria ctime: 
    #include <ctime>
// resto del codice
srand (time (NULL)) ;
for (int i = 0 ; i < 5 ; ++i)
  std::cout << "indice " << i << " --> " << rand () << "\n" ;
  • a meno di avere importanti ragioni per fare diversamente, il seed si inizializza una volta sola durante l'esecuzione di un programma

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4.2 generare numeri pseudo-casuali con distribuzione uniforme

  • rand() genera numeri interi compresi fra 0 e RAND_MAX
  • può però essere usata per produrre sequenze di numeri pseudo-casuali che seguano distribuzioni differenti, mediante opportuni algoritmi
  • in generale le densità di probabilità dei numeri pseudo-casuali prodotti con un calcolatore avranno sempre dominio limitato, per via delle limitazioni intrinseche dei calcolatori
  • la distribuzione uniforme di numeri casuali è un caso particolare infatti è definita su un insieme limitato per costruzione (altrimenti il suo integrale sarebbe divergente)

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4.2.1 una distribuzione uniforme di numeri razionali pseudo-casuali

  • l'obiettivo è produrre numeri casuali compresi nell'intervallo min, max, partendo dalle risorse che abbiamo, cioè rand ()
    1. distribuzione uniforme fra 0 ed 1 : 
      rand () / static_cast<float> (RAND_MAX) ;
    2. dilatazione fra 0 e max-min: 
      (max - min) * rand () / static_cast<float> (RAND_MAX) ;
    3. traslazione di min: 
      float rand_range (float min, float max)
  {
    min + (max - min) * rand () / static_cast<float> (RAND_MAX) ;
  }

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4.3 altre distribuzioni di probabilità: try-and-catch

  • nel caso della distribuzione di densità di probabilità (pdf) uniforme, la probabilità che eventi pseudo-casuali vengano generati in un dato intervallo non dipende dalla posizione dell'intervallo
  • per pdf non uniformi questo non è vero

distribuzione_non_uniforme

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4.3.1 l'algoritmo try-and-catch (TAC)

  • generare eventi pseudo-casuali in modo proporzionale all'area sottesa dalla pdf

distribuzione_non_uniforme

  • popolare il piano con coppie di numeri pseudo-casuali x,y, ciascuno generato uniformemente con rand_range () e utilizzare x solo se y < f(x)

distribuzione_non_uniforme

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4.3.2 l'implementazione dell'algoritmo try-and-catch

  • per ripetere la generazione fino a che la condizione y < f(x) non è soddisfatta, si utilizza un ciclo: 
    float rand_TAC (float f (float), float xMin, float xMax, float yMax)
  {
    double x = 0. ;
    double y = 0. ; 
    do {
      x = rand_range (xMin, xMax) ;
      y = rand_range (0, yMax) ;
    } while (y > f (x)) ;
    return x ; 
  }
  • la funzione rand_TAC ha bisogno di più argomenti rispetto a rand_range:
    • un limite superiore per l'asse verticale: yMax
    • la forma funzionale da usare come pdf: come vedete anche una funzione può essere passata come argomento ad un'altra funzione, descrivendone il prototipo

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4.3.3 vantaggi e svantaggi dell'algoritmo try-and-catch

vantaggi
  • nota la forma funzionale della pdf, l'algoritmo funziona
  • non è necessario che la pdf sia nota analiticamente, è sufficiente che si possa scrivere come funzione di C++
  • facilmente generalizzabile a N dimensioni
svantaggi
  • bisogna essere certi di conoscere il massimo (yMax) della funzione
  • ha bassa efficienza:
    • per ottenere un numero casuale, bisogna generarne di sicuro almeno due
    • spesso molti di più, perché molti punti sul piano vengono scartati

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4.4 altre distribuzioni di probabilità: la funzione inversa

  • sia x una variabile casuale con pdf f(x) continua
  • sia F(x) la distribuzione di probabilità cumulativa (cdf)
  • se F(x) è strettamente crescente allora la variabile y = F(x) ha distribuzione uniforme (si dimostra usando la regola per il cambio di variabile in una pdf)
  • generare eventi pseudo-casuali con distribuzione uniforme in y equivale a generare eventi pseudo-casuali lungo x con distribuzione f(x)

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4.4.1 l'algoritmo della funzione inversa

  • si calcolano analiticamente F(x) e la sua funzione inversa F -1(y)

funzione_inversa

  • si generano numeri pseudo-casuali yi con distribuzione uniforme fra 0 ed 1 lungo l'asse y
  • per ogni evento generato, si calcola xi = F -1(yi) e si utilizza quel valore come numero casuale generato
  • dove f(x) è più alta F(x) è più ripida, quindi il numero di numeri pseudo-casuali generati nei due intervalli Δy1 e Δy2 risulta proporzionale all'area sottesa dalla curva f(x) sopra i due intervalli con dimensione Δx, rispettivamente, che è l'obiettivo che si vuole ottenere.

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4.4.2 vantaggi e svantaggi dell'algoritmo della funzione inversa

vantaggi
  • è efficiente nella generazione dei numeri pseudo-casuali, perché ogni numero viene utilizzato
svantaggi
  • bisogna conoscere la forma analitica di f(x) ed F(x) e sapere invertire la funzione comulativa per ottenere F -1(y)
  • il calcolo di una funzione aggiunge tempo nella generazione degli eventi

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4.5 distribuzioni di probabilità Gaussiane: il teorema centrale del limite

  • Il teorema centrale del limite può essere utilizzato per generare distribuzioni di probabilità con forma Gaussiana
Siano date N variabili casuali xi indipendenti ed identicamente distribuite secondo una distribuzione di probabilità f(x) con media μ e varianza σ2 finite. Allora la variabile y = ⟨xi⟩ è distribuita, per N grande, come una Gaussiana con media μ e varianza σ2.

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4.5.1 l'implementazione dell'algoritmo

  • anche in questo caso, si parte da generatori di numeri pseudo-casuali noti: la distribuzione uniforme
  • per produrre un singolo numero pseudo-casuale distribuito secondo una Gaussiana, è necessario generare N numeri pseudo-casuali secondo la distribuzione uniforme e calcolarne la media
  • al crescere di N la distribuzione finale si avvicina sempre più al limite Gaussiano:

funzione_inversa

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4.5.2 vantaggi e svantaggi dell'algoritmo per generazione di pdf con forma gaussiana

vantaggi
  • è basato su un ben noto teorema e permette di verificare (entro le approssimazioni numeriche di un calcolatore) che il teorema stesso funzioni
  • non è necessario descrivere analiticamente la forma funzionale della Gaussiana
svantaggi
  • per raggiungere una buona precisione, bisogna generare molti numeri pseudo-casuali uniformi per ottenerne uno distribuito Gaussianamente

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4.6 ESERCIZI

  • Gli esercizi relativi alla lezione si trovano qui