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% Default to the notebook output style
% Inherit from the specified cell style.
\documentclass{article}
\usepackage{graphicx} % Used to insert images
\usepackage{adjustbox} % Used to constrain images to a maximum size
\usepackage{color} % Allow colors to be defined
\usepackage{enumerate} % Needed for markdown enumerations to work
\usepackage{geometry} % Used to adjust the document margins
\usepackage{amsmath} % Equations
\usepackage{amssymb} % Equations
\usepackage[mathletters]{ucs} % Extended unicode (utf-8) support
\usepackage[utf8x]{inputenc} % Allow utf-8 characters in the tex document
\usepackage{fancyvrb} % verbatim replacement that allows latex
\usepackage{grffile} % extends the file name processing of package graphics
% to support a larger range
% The hyperref package gives us a pdf with properly built
% internal navigation ('pdf bookmarks' for the table of contents,
% internal cross-reference links, web links for URLs, etc.)
\usepackage{hyperref}
\usepackage{longtable} % longtable support required by pandoc >1.10
\usepackage{booktabs} % table support for pandoc > 1.12.2
\definecolor{orange}{cmyk}{0,0.4,0.8,0.2}
\definecolor{darkorange}{rgb}{.71,0.21,0.01}
\definecolor{darkgreen}{rgb}{.12,.54,.11}
\definecolor{myteal}{rgb}{.26, .44, .56}
\definecolor{gray}{gray}{0.45}
\definecolor{lightgray}{gray}{.95}
\definecolor{mediumgray}{gray}{.8}
\definecolor{inputbackground}{rgb}{.95, .95, .85}
\definecolor{outputbackground}{rgb}{.95, .95, .95}
\definecolor{traceback}{rgb}{1, .95, .95}
% ansi colors
\definecolor{red}{rgb}{.6,0,0}
\definecolor{green}{rgb}{0,.65,0}
\definecolor{brown}{rgb}{0.6,0.6,0}
\definecolor{blue}{rgb}{0,.145,.698}
\definecolor{purple}{rgb}{.698,.145,.698}
\definecolor{cyan}{rgb}{0,.698,.698}
\definecolor{lightgray}{gray}{0.5}
% bright ansi colors
\definecolor{darkgray}{gray}{0.25}
\definecolor{lightred}{rgb}{1.0,0.39,0.28}
\definecolor{lightgreen}{rgb}{0.48,0.99,0.0}
\definecolor{lightblue}{rgb}{0.53,0.81,0.92}
\definecolor{lightpurple}{rgb}{0.87,0.63,0.87}
\definecolor{lightcyan}{rgb}{0.5,1.0,0.83}
% commands and environments needed by pandoc snippets
% extracted from the output of `pandoc -s`
\DefineVerbatimEnvironment{Highlighting}{Verbatim}{commandchars=\\\{\}}
% Add ',fontsize=\small' for more characters per line
\newenvironment{Shaded}{}{}
\newcommand{\KeywordTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.00,0.44,0.13}{\textbf{{#1}}}}
\newcommand{\DataTypeTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.56,0.13,0.00}{{#1}}}
\newcommand{\DecValTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.25,0.63,0.44}{{#1}}}
\newcommand{\BaseNTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.25,0.63,0.44}{{#1}}}
\newcommand{\FloatTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.25,0.63,0.44}{{#1}}}
\newcommand{\CharTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.25,0.44,0.63}{{#1}}}
\newcommand{\StringTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.25,0.44,0.63}{{#1}}}
\newcommand{\CommentTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.38,0.63,0.69}{\textit{{#1}}}}
\newcommand{\OtherTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.00,0.44,0.13}{{#1}}}
\newcommand{\AlertTok}[1]{\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{\textbf{{#1}}}}
\newcommand{\FunctionTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.02,0.16,0.49}{{#1}}}
\newcommand{\RegionMarkerTok}[1]{{#1}}
\newcommand{\ErrorTok}[1]{\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{\textbf{{#1}}}}
\newcommand{\NormalTok}[1]{{#1}}
% Define a nice break command that doesn't care if a line doesn't already
% exist.
\def\br{\hspace*{\fill} \\* }
% Math Jax compatability definitions
\def\gt{>}
\def\lt{<}
% Document parameters
\title{MNI-TP1-2014}
% Pygments definitions
\makeatletter
\def\PY@reset{\let\PY@it=\relax \let\PY@bf=\relax%
\let\PY@ul=\relax \let\PY@tc=\relax%
\let\PY@bc=\relax \let\PY@ff=\relax}
\def\PY@tok#1{\csname PY@tok@#1\endcsname}
\def\PY@toks#1+{\ifx\relax#1\empty\else%
\PY@tok{#1}\expandafter\PY@toks\fi}
\def\PY@do#1{\PY@bc{\PY@tc{\PY@ul{%
\PY@it{\PY@bf{\PY@ff{#1}}}}}}}
\def\PY#1#2{\PY@reset\PY@toks#1+\relax+\PY@do{#2}}
\expandafter\def\csname PY@tok@gd\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.63,0.00,0.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@gu\endcsname{\let\PY@bf=\textbf\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.50,0.00,0.50}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@gt\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.00,0.27,0.87}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@gs\endcsname{\let\PY@bf=\textbf}
\expandafter\def\csname PY@tok@gr\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@cm\endcsname{\let\PY@it=\textit\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.25,0.50,0.50}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@vg\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.10,0.09,0.49}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@m\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.40,0.40,0.40}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@mh\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.40,0.40,0.40}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@go\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.53,0.53,0.53}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@ge\endcsname{\let\PY@it=\textit}
\expandafter\def\csname PY@tok@vc\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.10,0.09,0.49}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@il\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.40,0.40,0.40}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@cs\endcsname{\let\PY@it=\textit\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.25,0.50,0.50}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@cp\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.74,0.48,0.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@gi\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.00,0.63,0.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@gh\endcsname{\let\PY@bf=\textbf\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.50}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@ni\endcsname{\let\PY@bf=\textbf\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.60,0.60,0.60}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@nl\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.63,0.63,0.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@nn\endcsname{\let\PY@bf=\textbf\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@no\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.53,0.00,0.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@na\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.49,0.56,0.16}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@nb\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.00,0.50,0.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@nc\endcsname{\let\PY@bf=\textbf\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@nd\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.67,0.13,1.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@ne\endcsname{\let\PY@bf=\textbf\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.82,0.25,0.23}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@nf\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@si\endcsname{\let\PY@bf=\textbf\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.73,0.40,0.53}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@s2\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.73,0.13,0.13}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@vi\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.10,0.09,0.49}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@nt\endcsname{\let\PY@bf=\textbf\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.00,0.50,0.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@nv\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.10,0.09,0.49}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@s1\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.73,0.13,0.13}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@sh\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.73,0.13,0.13}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@sc\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.73,0.13,0.13}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@sx\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.00,0.50,0.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@bp\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.00,0.50,0.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@c1\endcsname{\let\PY@it=\textit\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.25,0.50,0.50}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@kc\endcsname{\let\PY@bf=\textbf\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.00,0.50,0.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@c\endcsname{\let\PY@it=\textit\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.25,0.50,0.50}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@mf\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.40,0.40,0.40}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@err\endcsname{\def\PY@bc##1{\setlength{\fboxsep}{0pt}\fcolorbox[rgb]{1.00,0.00,0.00}{1,1,1}{\strut ##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@kd\endcsname{\let\PY@bf=\textbf\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.00,0.50,0.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@ss\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.10,0.09,0.49}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@sr\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.73,0.40,0.53}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@mo\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.40,0.40,0.40}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@kn\endcsname{\let\PY@bf=\textbf\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.00,0.50,0.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@mi\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.40,0.40,0.40}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@gp\endcsname{\let\PY@bf=\textbf\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.50}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@o\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.40,0.40,0.40}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@kr\endcsname{\let\PY@bf=\textbf\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.00,0.50,0.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@s\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.73,0.13,0.13}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@kp\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.00,0.50,0.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@w\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.73,0.73,0.73}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@kt\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.69,0.00,0.25}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@ow\endcsname{\let\PY@bf=\textbf\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.67,0.13,1.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@sb\endcsname{\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.73,0.13,0.13}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@k\endcsname{\let\PY@bf=\textbf\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.00,0.50,0.00}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@se\endcsname{\let\PY@bf=\textbf\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.73,0.40,0.13}{##1}}}
\expandafter\def\csname PY@tok@sd\endcsname{\let\PY@it=\textit\def\PY@tc##1{\textcolor[rgb]{0.73,0.13,0.13}{##1}}}
\def\PYZbs{\char`\\}
\def\PYZus{\char`\_}
\def\PYZob{\char`\{}
\def\PYZcb{\char`\}}
\def\PYZca{\char`\^}
\def\PYZam{\char`\&}
\def\PYZlt{\char`\<}
\def\PYZgt{\char`\>}
\def\PYZsh{\char`\#}
\def\PYZpc{\char`\%}
\def\PYZdl{\char`\$}
\def\PYZhy{\char`\-}
\def\PYZsq{\char`\'}
\def\PYZdq{\char`\"}
\def\PYZti{\char`\~}
% for compatibility with earlier versions
\def\PYZat{@}
\def\PYZlb{[}
\def\PYZrb{]}
\makeatother
% Exact colors from NB
\definecolor{incolor}{rgb}{0.0, 0.0, 0.5}
\definecolor{outcolor}{rgb}{0.545, 0.0, 0.0}
% Prevent overflowing lines due to hard-to-break entities
\sloppy
% Setup hyperref package
\hypersetup{
breaklinks=true, % so long urls are correctly broken across lines
colorlinks=true,
urlcolor=blue,
linkcolor=darkorange,
citecolor=darkgreen,
}
% Slightly bigger margins than the latex defaults
\geometry{verbose,tmargin=1in,bmargin=1in,lmargin=1in,rmargin=1in}
\begin{document}
\maketitle
\subparagraph{TP 1 -- Méthodes Numériques pour l'Ingénieur CM3 -- Mars 2015}
\section{Résolution des équations non linéaires}
Le texte de cette sessions de travaux pratiques est également disponible
ici
\textcolor{blue}{http://nbviewer.ipython.org/github/ecalzavarini/numerical-methods-at-polytech-lille/blob/master/MNI-TP1-2014.ipynb}
\subsubsection{Instructions pour ce TP}
Pendant ce TP vous aurez à écrire plusieurs scripts (Nous vous suggérons
de les nommer script1.py , script2.py ,\ldots{})
Les scripts doivent être accompagnés par un par un document descriptif
unique ( README.txt ). Dans ce fichier, vous devrez décrire le mode de
fonctionnement des scripts et, si besoin, mettre vos commentaires. Merci
d'y écrires aussi vos nomes et prenoms complets.
Tous les fichiers doivent etre mis dans un dossier appelé TP1-nom1-nom2
et ensuite être compressés dans un fichier TP1-nom1-nom2.tgz .
Enfin vous allez envoyer ce fichier par email à l'enseignant :
soit Enrico ([email protected]) ou Stefano
\subsection{Programmation}
Ecrire un script Python permettant la recherche des racines d'une
équation quelconque \[f(x)=0\] par la méthode :
\(a\)) de la dichotomie,
\(b\)) de la tangente (de Newton-Raphson) ,
en appliquant le critère d'arrêt \(x_{n+1} − x_{n} < \varepsilon_1\),
où la valeur de \(\varepsilon_1\) sera précisée par l'utilisateur.
L'équation \(f(x)\) sera définie à l'aide d'une function dans le script.
\subsection{Validation}
Déterminer la racine de l'équation
\[f (x) = x^4 − 2x^3 −11x^2 +12x\]
par la méthode dichotomique (dans l'intervalle
\(x \in \left[3.2, 8.2 \right]\) ) et de la tangente (en commençant les
itérations par \(x_0=8.2\) ).
On effectuera les calculs de la racine avec les précisions
\(\varepsilon_1 = 10^{-k}\) avec \(k=1,\ldots ,6\).
Tracer au préalable le graphique de la fonction \(f(x)\) dans
l'intervalle étudié.
Pour chaque calcul préciser : la valeur de la racine \(x\) trouvée, de
la fonction \(f(x)\), de l'erreur absolue \(\varepsilon = x-x^*\) (avec
\(x^*\) le valeur exacte, égale ici à 4.0) ainsi que le nombre
d'itérations effectuées.
Les valeurs obtenues doivent être affichés de façon claire sur l'écran
par le script et dans le compte-rendu dans un tableau.
Si possible, formuler une conclusion sur les résultats obtenus.
\subsection{Application}
Une boule de rayon R et de masse volumique \(\rho_l\) est placée dans un
réservoir rempli d'un liquide au repos de masse volumique
\(ρ_f = 1000 Kg/m^3\) (eau). La boule s'enfonce alors d'une hauteur
\(h\) (voir la figure ci-dessous).
Le but de ce TP est de déterminer, à l'aide des deux méthodes numériques
vues auparavant, cette hauteur \(h\) en fonction de la masse volumique
de la boule \(\rho_l\) .
\begin{center}
\adjustimage{max size={0.9\linewidth}{0.9\paperheight}}{MNI-TP1-2014_files/MNI-TP1-2014_14_0.jpeg}
\end{center}
{ \hspace*{\fill} \\}
\paragraph{Question 1 :}
En considérant l'équilibre des forces en présence, donner l'expression
permettant de déterminer \(h=f(\rho_l, \rho_f, R)\).\\
Rappel :
Le volume d'une sphère du rayon \(r\) est donné par l'équation
\[V_s = 4/3 \pi r^3 \] Le volume d'une calotte sphérique du rayon \(r\)
et de hauteur \(h\) est \[ V_c = 1/3 \pi h^2 (3 r - h)\]
\paragraph{Question 2 :}
Pour \(R = 0.125 m\), et pour les valeurs suivantes de \(\rho_l\)
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi})}
\item
\(\rho_l = 1800 Kg/m^3\) (plexiglas) ,
\item
\(\rho_l = 1000 Kg/m^3\) (caoutchouc) ,
\item
\(\rho_l = 400 Kg/m^3\) (pin) ,
\end{enumerate}
la boule coulera-t-elle ou non? Sinon, de quelle profondeur \(h\)
s'enfoncera-t-elle?
Tracer pour le trois cas le graphique de la fonction \(f(x)\) dans
l'intervalle étudié.
\paragraph{Bonus:}
Déterminer \(h=f(\rho_l, \rho_f, R)\) à l'aide de la méthode de la corde
(de la regula-falsi).
\paragraph{Rappel : pour tracer un graphique en Python}
\begin{Verbatim}[commandchars=\\\{\}]
{\color{incolor}In [{\color{incolor}26}]:} \PY{k+kn}{import} \PY{n+nn}{numpy} \PY{k+kn}{as} \PY{n+nn}{np}
\PY{k+kn}{import} \PY{n+nn}{matplotlib.pyplot} \PY{k+kn}{as} \PY{n+nn}{plt}
\PY{n}{x}\PY{o}{=}\PY{n}{np}\PY{o}{.}\PY{n}{linspace}\PY{p}{(}\PY{o}{\PYZhy{}}\PY{l+m+mi}{5}\PY{p}{,}\PY{l+m+mi}{5}\PY{p}{,}\PY{l+m+mi}{100}\PY{p}{)} \PY{c}{\PYZsh{} nous définissons une liste (array) avec Numpy }
\PY{n}{plt}\PY{o}{.}\PY{n}{plot}\PY{p}{(}\PY{n}{x}\PY{p}{,}\PY{n}{np}\PY{o}{.}\PY{n}{sin}\PY{p}{(}\PY{n}{x}\PY{p}{)}\PY{o}{*}\PY{n}{np}\PY{o}{.}\PY{n}{exp}\PY{p}{(}\PY{n}{x}\PY{p}{)}\PY{o}{\PYZhy{}}\PY{l+m+mi}{1}\PY{p}{)} \PY{c}{\PYZsh{} on utilise la fonction sinus de Numpy}
\PY{n}{plt}\PY{o}{.}\PY{n}{plot}\PY{p}{(}\PY{n}{x}\PY{p}{,}\PY{n}{np}\PY{o}{.}\PY{n}{zeros}\PY{p}{(}\PY{l+m+mi}{100}\PY{p}{)}\PY{p}{)}
\PY{n}{plt}\PY{o}{.}\PY{n}{ylabel}\PY{p}{(}\PY{l+s}{\PYZsq{}}\PY{l+s}{fonction sinus}\PY{l+s}{\PYZsq{}}\PY{p}{)}
\PY{n}{plt}\PY{o}{.}\PY{n}{xlabel}\PY{p}{(}\PY{l+s}{\PYZdq{}}\PY{l+s}{l}\PY{l+s}{\PYZsq{}}\PY{l+s}{axe des abcisses}\PY{l+s}{\PYZdq{}}\PY{p}{)}
\PY{n}{plt}\PY{o}{.}\PY{n}{axis}\PY{p}{(}\PY{p}{[}\PY{l+m+mi}{0}\PY{p}{,} \PY{l+m+mi}{5}\PY{p}{,} \PY{o}{\PYZhy{}}\PY{l+m+mi}{10}\PY{p}{,} \PY{l+m+mi}{10}\PY{p}{]}\PY{p}{)}
\PY{n}{plt}\PY{o}{.}\PY{n}{show}\PY{p}{(}\PY{p}{)}
\end{Verbatim}
\begin{center}
\adjustimage{max size={0.6\linewidth}{0.6\paperheight}}{MNI-TP1-2014_files/MNI-TP1-2014_22_0.png}
\end{center}
{ \hspace*{\fill} \\}
% Add a bibliography block to the postdoc
\end{document}