上一节我们主要介绍方程 Ax = 0 的算法。这一节，我们主要介绍：
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方程 Ax = b 的完整算法。
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在此基础上，介绍矩阵的秩对方程组解的个数的影响
这节我们要介绍如何来解 Ax=b ，但是这个方程并不一定有解。我们通过一个例子来说明下这个问题:
【例1】
这里的 A 有一个特点，就是 1, 2 两行之和等于第三行，因此可以将第三行全部变为0。 根据「02-矩阵消元」提出的增广消元法，列增广矩阵后消元，得到矩阵 U:
再看这个条件：
，它反映了一种线性组合特点，即 b 向量的第三个分量是前两个分量之和。反过来看 A 矩阵本身特点，发现 A 矩阵第三行也是前两行的和。记得之前我们说过， Ax=b 有解的条件是 b 在 A 的列空间中。这个例子再一次印证了这个条件。
总结一下：
- 向量 b 满足什么条件时，方程 Ax = b 总有解？
- 列空间角度：当且仅当 b 属于 A 的列空间 C(A)。
- 线性组合角度： b 是 A 的列向量的线性组合。
- 初等变换的角度（消元法的角度）：如果 A 的各行线性组合得到零行，那么对 b 中元素线性组合，也必将得到自然数 0.
注：以上这3种说法等价。
- 方程 Ax = b 的通解 x = 特解 + 零空间向量
- 特解xp：首先令所有的自由变量为0，然后求解主变量，主变量和自由变量组合得到了特解 xp。
- 零空间向量 xn: 求解方程 Ax = 0 即可得到xn。
- x = xp + xn
证明：Axp = b Axn = 0 => A(xp + xn) = 0
对于 Ax=b 这个方程， 通解 = 矩阵零空间向量 + 矩阵特解 。这很好理解，矩阵零空间向量代入方程最后结果等于 0 ，所以它不会影响等式，而是把方程的解向量扩展到一个类似子空间的空间上。
以下举例说明这个算法。
设 
满足可解条件，我们来彻底求解方程。
上一节中，我们求解 Ax = 0 方程的特解时，分别将自由变量赋值为 0/1, 这是因为最特殊的赋值方式： 自由变量全部赋值为 0 的方式在 Ax=0 中行不通，因为这样的赋值方式在 Ax=0 中得到的是零向量。我们最后求出的通解为:
但是 Ax=b 这个方程不同，只要 b 不是 0，我们就可以将 自由变量全部赋值为 0 。本例中我们使用此方法得到特解。
以下是完整的过程：
这个解集在几何角度的解释为： 
上的一个二维平面，很显然，这个解集无法构成一个向量空间，因为解集中连零向量都没有。也就可以理解为：解集在空间中变现为 中的一个不过原点的平面。
很明显在上面我们消元求 Ax=b 的过程中，矩阵 A 的秩对最后解的形式有至关重要的影响，下面我们就总结一下这方面的问题。
列满秩是指：m*n 的矩阵 A 中，秩 R = n < m 。例如：
主元。也就是说这样的矩阵零空间向量中只有一个向量：零向量。这样的矩阵 A 的构造的方程 Ax=b ，要么不满足可解条件，要么只有一种符合对应方程组的解。
解最后只有两种情况：
- 有解且唯一
- 无解，不满足可解条件
行满秩是指： m*n 的矩阵中，秩 R = m < n 。例如：
上一节我们介绍过，这样的矩阵消元之后会是 [I F] 形式（I 表示单位阵，F 表示其他部分），很明显由这样的矩阵构成的方程 Ax=b ，最后肯定是无穷多个解，因为这种矩阵中，永远有（n-R）个自由变量。
当 m*n 矩阵 A 是方阵时，若 A 满秩，则 R = m = n 。例如：
这种矩阵经过消元，必可以化为单位阵 I ，自由变量个数为 0。只能得到一个全是主元的方程组。所以这种矩阵构成的 Ax=b 方程最后只能有唯一解。
秩 R < n, 且 R < m 时，A 矩阵不满秩，此时 A 可化简为 
形式，最后化简结果中有 0 行。如 【例1】 中的矩阵，b 的分量与零行牵扯出了可解条件的存在。所以这样的矩阵 A 所构成的 Ax=b 方程解有两种情况：
- 不满足可解条件（零行导致的可解条件）
- 解无穷多个（特解 + 零空间所有向量）
观察以上情况，自由变量总为 (n-r) 个，所以先判断自由变量个数可以初步判断 Ax=b 的解的结构：
而可解条件的产生是由于 A 消元之后的 0 行导致的，所以再判断 A 消元之后会不会有零行产生就可以确定解的结构：
本节基于上一节中零空间的求解，延伸介绍了 Ax=b 的一般解法。并从 A 矩阵秩的角度探讨了秩与方程解的结构之间的联系。至此我们已经学完了解方程 Ax=b 形式矩阵方程的所有问题，在这个过程中，我们需要注意的无非就是自由变元个数，以及通解和特解的问题，整体而言，这部分重在求解流程以及如何理解。正确理解向量空间之后，理解这种矩阵方程问题也就不是什么难事了！！