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线性分组码

1 Huffman 编码

源代码：huffman.m。

运行结果如下。

>> huffman
信源符号：6, 3, 8, 9, 6, 3, 2, 6, 2, 1.
编码规则：
  1 → 100
  2 → 000
  3 → 010
  4 → 00110
  5 → 001111
  6 → 011
  7 → 001110
  8 → 101
  9 → 0010
  10 → 11
编码后：0110101010010011010000011000100.
解码后：6, 3, 8, 9, 6, 3, 2, 6, 2, 1.
✓ 一致。

2 模拟传输线性分组码

源代码：sim_channel.m、sim_source.m。Simulink：linear_BSC.slx。

改变信道错误概率（sim_channel.m）

此部分为视频讲解内容。

信源为二元均匀分布信源；编码为线性分组码，其生成矩阵如下。

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & & & \\ 0 & 1 & 1 & & 1 & & \\ 1 & 1 & 1 & & & 1 & \\ 1 & 0 & 1 & & & & 1 \\ \end{bmatrix}. $$

运行结果如下。




红线没编码，误码率就是信道错误概率。

改变信源分布（sim_source.m）

信道为二元对称信道，错误概率为 0.05；编码同上。

运行结果如下。

由图，对于线性分组码、二元对称信道，误码率和信源分布无关！

这并非不合理。注意译码过程：校验矩阵 $H$ × 接收序列 $R$ ⇒ 伴随式 $S$ ⇒ 错误图样 $E$——纠错的结论是错误图样 $E$，不涉及具体发送什么码字。根据信道错误概率，可将错误图样 $E$ 直接转换为误码率 $P_E$。

因此，无论发送什么码字，这一条件下的误码率都相等。进而总误码率与各个码字的发送比例无关，即误码率与信源分布无关。

遇到的问题：模拟次数太少时，误码率会很不准

模拟次数 = Sample time × Samples per frame，这两项的默认值分别是1、4。最开始我没改，误码率一直是零，莫名其妙。

此节的图都是“改变信道错误概率”。

调试就是调一调试一试，我把信道错误概率改得特别大（最大 5% → 90%），发现误码率不是零了。后来又转了几个弯，最终发觉是模拟次数太少——如果只模拟四次，全都正确的概率不低于 $\qty(1-0.05)^4 \approx 81.5%$，确实很大。

经过试验，我发现采样频率一万次（下图右）曲线比较平滑（⇒ 误差足够小），时间也勉强能接受（两三分钟）。

采样频率 100（左）、10000（右）时的图象

事后诸葛亮

可用随机变量 $E$ 描述传递错误的次数，它服从 $\operatorname{Bernoulli}(n,q)$，其中 $n$ 是传输次数，$p$ 是信道单次错误概率。可知 $\operatorname{Var} E = nq(1-q)$。

误码率 $\eta = E/n$，其期望当然是 $q$。又

$$ \operatorname{Var} \eta = \frac{\operatorname{Var} E}{n^2} = \frac{q(1-q)}{n}. $$

相对误差远小于一即 $\sqrt{\operatorname{Var} E} \ll q$，相当于 $ \sqrt{n} \gg \sqrt{1-q} / \sqrt{q} \approx 1/\sqrt{q}$，或者 $n \gg 1/q$。这里 $q \approx 0.025$，图中差 10% 就能看出来，$n$ 要远大于 $1 / 0.025 / 10% \approx 400$ 才行。