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\documentclass{article}
\usepackage[total={7in,10in}]{geometry}
% basic
\usepackage{comment}
\makeatletter
\@ifclassloaded{revtex4-2}{}{
\@ifclassloaded{standalone}{}{
\@ifclassloaded{beamer}{}{
\usepackage{geometry} % only use geometry outside of RevTeX and TeXit
}
}
}
\makeatother
\usepackage{microtype}
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{titlesec}
% programmability
\usepackage{xparse}
\usepackage{xtemplate}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{xintexpr}
\usepackage{mathcommand}
% Support for CJK characters
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\ifthenelse{\equal{\meaning\luatexbanner}{\meaning\someundefinednonsense}}{
% xelatex
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}{
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\usepackage{CJKutf8}
\AddToHook{begindocument/end}{\CJK{UTF8}{gbsn}}
\AddToHook{enddocument}{\endCJK}
}
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\usepackage{amsfonts} % for \mathbb, \mathfrak
\usepackage{mathrsfs} % for \mathscr
\usepackage{bm}
\usepackage{upgreek}
\newcommand{\mbb}[1]{\mathbb{#1}}
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\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
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\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\tbf}[1]{\textbf{#1}}
%\newcommand{\mit}[1]{\mathit{#1}}
\newcommand{\msf}[1]{\mathsf{#1}}
\newcommand{\mcal}[1]{\mathcal{#1}}
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%\newcommand{\mtt}[1]{\mathtt{#1}}
\newcommand{\tit}[1]{\textit{#1}}
\newcommand{\ttt}[1]{\texttt{#1}}
\newcommand{\bs}[1]{\boldsymbol{#1}}
% basic utilities
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{lipsum}
% extensions
\usepackage{cancel} % \cancel
\usepackage{tensor} % \tensor, \indices
\usepackage{fixdif} % \d
\usepackage[shortlabels]{enumitem} % options to enumerate and itemize environments
\usepackage{dcolumn} % align numbers by decimal point in tabular
\usepackage{hyperref} % \url, \href, and add hyperlinks to crossrefs
\usepackage{scalerel} % \scalerel, \stretchrel, \scaleto, \stretchto
\usepackage[notquote]{hanging} % \hangpara
\usepackage{chngcntr} % \counterwithin, \counterwithout
\usepackage{slashed} % \slashed
\makeatletter
\@ifclassloaded{beamer}{
% https://tex.stackexchange.com/a/24491
\setitemize{label=\usebeamerfont*{itemize item}%
\usebeamercolor[fg]{itemize item}
\usebeamertemplate{itemize item}}
}{}
\makeatother
% beamer style
\makeatletter
\@ifclassloaded{beamer}{
\usetheme{Boadilla}
\usefonttheme{serif}
\setbeamertemplate{footline}{% https://tex.stackexchange.com/a/67000
\leavevmode%
\hbox{%
\begin{beamercolorbox}[wd=.2\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,center]{author in head/foot}%
\usebeamerfont{author in head/foot}\insertshortauthor
\end{beamercolorbox}%
\begin{beamercolorbox}[wd=.8\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,center]{title in head/foot}%
\usebeamerfont{title in head/foot}\insertshorttitle\hspace*{3em}
\insertframenumber{} / \inserttotalframenumber\hspace*{1ex}
\end{beamercolorbox}
}%
\vskip0pt%
}
}{}
% floats
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{mystyle}{
basicstyle=\ttfamily\scriptsize,
tabsize=2,
showspaces=false,
showstringspaces=false,
extendedchars=true
}
\lstset{style=mystyle}
\makeatletter
\@ifclassloaded{revtex4-2}{
% https://tex.stackexchange.com/a/597712
\usepackage[caption=false]{subfig}
\usepackage{ragged2e}
\DeclareCaptionJustification{justified}{\justifying}
}{
\usepackage{caption} % not compatible with RevTeX
\usepackage{subfig}
}
\makeatother
\usepackage{graphicx} % \includegraphics
\usepackage{booktabs} % \toprule, \midrule, \bottomrule
\setlength{\tabcolsep}{12pt}
% fancy tools
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{chemfig}
\usepackage{chemmacros}
\usepackage{physics2}
\usephysicsmodule[empty={}]{diagmat}
\usephysicsmodule{doubleprod}
\usephysicsmodule{xmat}
\usepackage[separate-uncertainty=true,multi-part-units=single]{siunitx}
\sisetup{range-phrase=--, range-units=single} % use -- for ranges, unit appears only once
\catcode`\%=12\relax
\DeclareSIUnit[number-unit-product=]\percent{%}
\catcode`\%=14\relax % use \percent in \SI{}{}
\DeclareSIUnit[number-unit-product=\,]\fahrenheit{\SIUnitSymbolDegree F} % \fahrenheit
% symbols
\usepackage{amssymb}
\usepackage[nointegrals]{wasysym}
\usepackage[safe]{tipa}
\usepackage{pifont}
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\newcommand{\xmark}{\text{\ding{55}}}
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\renewmathcommand{\i}{\mrm{i}}
\newcommand{\e}{\mrm{e}}
\newcommand{\st}{\trm{s.t.}}
\NewChemParticle{\muon}{\chemmu}
\NewChemParticle{\tauon}{\chemtau}
\NewChemParticle{\eneu}{\chemnu_{\!\!e}}
\NewChemParticle{\mneu}{\chemnu_{\!\!\chemmu}}
\NewChemParticle{\tneu}{\chemnu_{\!\!\chemtau}}
\NewChemParticle{\pion}{\chempi}
\NewChemParticle{\etaon}{\chemeta}
% for drawing
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\usepackage{circuitikz}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{tikz-3dplot}
%\usepackage{tikz-feynhand}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{decorations.markings}
\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
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\usetikzlibrary{bending}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{math}
\usetikzlibrary{pgfplots.units}
\usetikzlibrary{angles}
\usetikzlibrary{shapes.geometric}
\usetikzlibrary{shadings}
\pgfplotsset{
compat=newest,
ylabel style={rotate=-90},
trig format=rad
}
% https://tex.stackexchange.com/a/685953
\makeatletter
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\pgfmathiftrigonometricusesdeg{}{%
\pgfmathradians@{\pgf@temp@a}\let\pgf@temp@a\pgfmathresult
\pgfmathradians@{\pgf@temp@b}\let\pgf@temp@b\pgfmathresult
\def\pgfmath@trig@format@choice{0}
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% more shortcuts
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\newcommand{\mll}{\mathllap}
\newcommand{\mrl}{\mathrlap}
\newcommand{\fr}{\frac}
\newcommand{\dfr}{\dfrac}
\newcommand{\tfr}{\tfrac}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\bhat}[1]{\hat{\bs{\mbf{#1}}}}
\newcommand{\fs}{\slashed}
\newcommand{\hatfs}[1]{{\hat{\phantom{#1}}\mathllap{\fs{#1}}}}
\newcommand{\func}[3]{#1\colon#2\to#3} % \func{f}{A}{B} => f:A->B
\newcommand{\vfunc}[5]{\func{#1}{#2}{#3},\quad#4\longmapsto#5} % \vfunc{f}{A}{B}{a}{b} => f:A->B, a|->b
\newcommand{\fc}[2]{#1\mathchoice{\!}{\!}{}{}\p{#2}} % \fc{f}{x} => f(x)
\newcommand{\bfc}[2]{#1\mathchoice{\!}{\!}{}{}\b{#2}} % \bfc{f}{x} => f[x]
\newcommand{\Bfc}[2]{#1\mathchoice{\!}{\!}{}{}\B{#2}} % \bfc{f}{x} => f{x}
\newcommand{\opc}[2]{\fc{\opn{#1}}{#2}} % \opc{sgn}{x} => sgn(x)
\newcommand{\bopc}[2]{\bfc{\opn{#1}}{#2}} % \bopc{sgn}{x} => sgn[x]
\newcommand{\Bopc}[2]{\Bfc{\opn{#1}}{#2}} % \bopc{sgn}{x} => sgn{x}
\newcommand{\set}[2]{\left\{#1\;\middle|\;#2\right\}} % \set{x}{S} => {x|S}
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\ifthenelse{\equal{#1}{}}
{\fr{\partial#2}{\partial#3}}{\p{\fr{\partial#2}{\partial#3}}_{#1}}
} % \tp[a]{f}{x} => (df/dx)_a, \tp{f}{x} => df/dx
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\newcommand{\order}[1]{\fc{\mrm{O}}{#1}} % \order{x} => O(x)
% parentheses
\renewmathcommand\p[1]{\left(#1\right)}
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\renewmathcommand\v[1]{\left|#1\right|}
\renewmathcommand\a[1]{\left\langle#1\right\rangle}
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\newcommand\ket[1]{\left|#1\right>}
\newcommand\braket[2]{\left<#1\middle|#2\right>}
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\newcommand\bbra[1]{\left[#1\right|}
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\newcommand\amelb[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right]}
% operators
\DeclareMathOperator{\sech}{sech}
\DeclareMathOperator{\csch}{csch}
\DeclareMathOperator{\arsinh}{arsinh}
\DeclareMathOperator{\arcosh}{arcosh}
\DeclareMathOperator{\artanh}{artanh}
\DeclareMathOperator{\arcoth}{arcoth}
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\let\Im\relax
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\letdif\dt{delta}
\letdif\Dt{Delta}
% Lie groups and others
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\newcommand\SU[1]{\fc{\mrm{SU}}{#1}}
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\renewmathcommand\o[1]{\fc{\mfk o}{#1}}
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\newcommand\spin[1]{\fc{\mfk{spin}}{#1}}
\newcommand\pin[1]{\fc{\mfk{pin}}{#1}}
% theorems
\makeatletter
\@ifclassloaded{beamer}{}{
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{proposition}{Theorem}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
}
\makeatother
% displaystyle matrices
\makeatletter
\def\env@dmatrix{
\hskip-\arraycolsep
\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
\extrarowheight=2ex
\array{*\c@MaxMatrixCols{>{\displaystyle}c}}
}
\newenvironment{dmatrix}{\env@dmatrix}{\endarray\hskip-\arraycolsep}
\newenvironment{pdmatrix}{\left(\env@dmatrix}{\endmatrix\right)}
\newenvironment{bdmatrix}{\left[\env@dmatrix}{\endmatrix\right]}
\newenvironment{Bdmatrix}{\left\{\env@dmatrix}{\endmatrix\right\}}
\newenvironment{vdmatrix}{\left|\env@dmatrix}{\endmatrix\right|}
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\makeatother
\newcounter{para}
\newcommand\mypara{\par\refstepcounter{para}(\thepara)\space}
\titleformat{\section}[block]{\Large\bfseries\filcenter}{}{0em}{}
\renewcommand\thesection{}
\renewcommand\thesubsection{\protect\setcounter{equation}{0}\protect\setcounter{para}{0}第 \arabic{subsection} 题}
\title{hs\_phys\_probs 005}
\author{詹有丘}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\subsection{喷流}
有时对黑洞等天体的观测中能发现喷流:
沿着天体的自转轴有两束反方向运动的高速发光物质喷出.
今对某天体的喷流进行观测.
天体相对于地球的运动速度大小远小于喷流的速度大小, 因此忽略不计.
喷流离天体的距离足够远, 因此忽略广义相对论效应.
\tit{本题中, 凡涉及方向, 指天体到地球连线与所说方向的夹角.}
\mypara
天体到地球的距离为 $D$.
两束喷流在天球 (不计地球自转) 上运动的角速度大小分别为 $\mu_\mrm a$ 和 $\mu_\mrm r$ ($\mu_\mrm r\le\mu_\mrm a$).
求天体的自转轴的方向.
\mypara
天体以恒定角速度进动.
喷流的光谱中某谱线波长为 $\lmd_0$ (光源静止系中).
其因 Doppler 效应而变化的范围, 在两束喷流中分别是 $\b{\lmd_{\mrm a1},\lmd_{\mrm a2}}$
和 $\b{\lmd_{\mrm r1},\lmd_{\mrm r2}}$.
求天体的进动角速度的方向.
\tit{注}: 已知量有冗余.
\mypara
假设在喷流与地球相对静止的情况下, 其发光是各向同性的, 光谱为 $I_\nu\d\nu\propto\nu^\alp\d\nu$,
且其视光度 (特定频率范围内通过瞳孔/光圈的总电磁功率) 为 $S_0$.
求速率为 $\beta c$, 方向为 $\tht$ 的一束喷流的视光度.
\newpage
\section{参考答案}
\subsection{喷流}
\mypara
设喷流的速度大小为 $\beta c$, 方向为 $\tht$.
在喷流运动了 $\Dlt t'$ 的时间前后各向地球发出一束光线. 如图~\ref{fig:jets} 所示.
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\begin{scope}[decoration={markings,mark=at position 0.5 with {\arrow{>}}}]
\draw[postaction={decorate}] (-3,-2) node[left] {天体} -- node[midway,below right] {喷流} (0,0);
\draw[postaction={decorate}] (0,0) -- (3,2);
\draw[postaction={decorate}] (0,0) -- (10,0);
\draw[postaction={decorate}] (3,2) -- node[midway,below] {光线} (10,2);
\end{scope}
\node at (10,1) {地球};
\draw[|<->|] (-3,0) -- node[midway,left] {$\Dt y$} (-3,2);
\draw[|<->|] (-0.2,0.3) -- node[midway, above left] {$\beta c\Dt t'$} ++(3,2);
\node[above right,xshift=15] at (0,0) {$\tht$};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\label{fig:jets}
\end{figure}
两束光线到达地球的时间分别为 $D/c$ 和 $\Dt t'+\p{D-\beta c\Dt t'\cos\tht}/c$.
由此获得时间差
\[\Dt t=\Dt t'-\beta\Dt t'\cos\tht.\]
这两束光线的距离为 $\Dt y=\beta c\Dt t'\sin\tht$, 因此喷流的视速率为
\[\fr{\Dt y}{\Dt t}=\fr{\beta\sin\tht}{1-\beta\cos\tht}c.\]
对于锐角 $\tht$, 这是接近喷流. 对于远离喷流, 只需替换 $\tht\to\pi-\tht$ 即可.
因此可以获得两束喷流在天球上的角速度大小:
\[\mu_\mrm a=\fr1D\fr{\Dt y}{\Dt t}=\fr{\beta\sin\tht}{1-\beta\cos\tht}\fr cD,\quad
\mu_\mrm r=\fr{\beta\sin\tht}{1+\beta\cos\tht}\fr cD.\]
由此反解 $\beta,\tht$, 获得
\[\tan\tht=\fr{2D}c\fr{\mu_\mrm a\mu_\mrm r}{\mu_a-\mu_\mrm r},\quad
\beta\cos\tht=\fr{\mu_\mrm a-\mu_\mrm r}{\mu_\mrm a+\mu_\mrm r}.\]
\mypara
设进动角速度的方向为 $\vphi$, 其与自转轴的夹角为 $\psi$.
在进动的过程中, $\tht$ 的变化范围是 $\b{\v{\vphi-\psi},\vphi+\psi}$.
应用 Doppler 效应的公式时, 注意角度是观察者系中的, 于是得到
\[\lmd=\gma\p{1-\beta\cos\tht}\lmd_0,\]
其中 $\gma\ceq\p{1-\beta^2}^{-1/2}$.
因此,
\[\lmd_{\mrm a1,2}=\p{1-\beta\fc\cos{\vphi\mp\psi}}\gma\lmd_0,\quad
\lmd_{\mrm b1,2}=\p{1+\beta\fc\cos{\vphi\pm\psi}}\gma\lmd_0.\]
题中所说已知量的冗余可以看出指的是 $\lmd_{\mrm a2}+\lmd_{\mrm b1}=\lmd_{\mrm a1}+\lmd_{\mrm b2}$,
因此这里的 4 个方程只有 3 个独立.
由这些方程反解 $\beta,\vphi,\psi$, 可以解得
\[\vphi=\fr12\p{
\arccos\fr{\lmd_{\mrm b1}-\lmd_{\mrm a2}}{\sqrt{\p{\lmd_{\mrm b1}+\lmd_{\mrm a2}}^2-4\lmd_0^2}}
\pm\arccos\fr{\lmd_{\mrm b2}-\lmd_{\mrm a1}}{\sqrt{\p{\lmd_{\mrm b2}+\lmd_{\mrm a1}}^2-4\lmd_0^2}}
}.\]
式中 ``$\pm$'' 对应于两个物理上可能的解.
还可以加上 $\pi$ 的整数倍获得更多的解, 但最终只会有两个不同的锐角解.
\mypara
该问题涉及多个效应: 光行差, 宏观 Doppler 效应, 以及微观 Doppler 效应.
光行差指光的传播方向变化, 导致立体角变化;
宏观 Doppler 效应指的是先后到达地球的光线时间差不等于发出它们的时间差;
微观 Doppler 效应指的是光线的频率的变化, 导致每个光子的能量变化.
具体思路是, 将视光度表达为
\[S_\mrm{obs}\d t_\mrm{obs}=\int_\text{特定频率范围}\int_\text{光圈张成的立体角}
\fc{I_\mrm{obs}}{\nu,\Omg}\d\nu\d\Omg\d t_\mrm{obs},\]
其中 $I_\mrm{obs}\d\nu_\mrm{obs}$ 是观察者系中单位立体角的功率随频率的分布,
$\Omg$ 是 $\p{\tht,\vphi}$ 的缩写, $\d\Omg=\sin\tht\d\tht\d\vphi$.
这里需要注意的是, 积分范围是与参考系无关的
(因为 $S_\mrm{rest}$ 是在假设喷流与地球相对静止的情况下得到的),
所以实际上被积变量 $\nu,\Omg$ 可以任意替换名字,
比如说可以换成 $\nu_\mrm{rest},\Omg_\mrm{rest}$, 只需要保证积分范围和被积函数不变即可;
但是\tbf{不能}说 $\d\nu_\mrm{obs}=\d\nu_\mrm{rest}$.
然后, 研究光行差效应可获得 $\d\Omg_\mrm{obs}$ 与 $\d\Omg_\mrm{rest}$ 的关系;
研究宏观 Doppler 效应可获得 $\d t_\mrm{obs}$ 与 $\d t_\mrm{rest}$ 的关系;
研究微观 Doppler 效应可获得 $I_\mrm{obs}\d\Omg_\mrm{obs}\d t_\mrm{obs}$
与 $I_\mrm{rest}\d\Omg_\mrm{rest}\d t_\mrm{rest}$ 的关系.
利用 Lorentz 不变量 (光子数不变)
\[\fc{N_\mrm{obs}}{\nu_\mrm{obs},\Omg_\mrm{obs}}\d\nu_\mrm{obs}\d\Omg_\mrm{obs}\d t_\mrm{obs}
=\fc{N_\mrm{rest}}{\nu_\mrm{rest},\Omg_\mrm{rest}}\d\nu_\mrm{rest}\d\Omg_\mrm{rest}\d t_\mrm{rest}\]
即可最终获得 $S_\mrm{obs}$ 与 $S_\mrm{rest}$ 的关系,
其中 $N_\mrm{obs}\d\nu_\mrm{obs}$ 是单位立体角内单位时间发出的光子数随频率的分布.
首先考虑光行差. 利用速度合成公式, 可以容易得到,
对于在观察者系中出射角 (出射方向与运动方向的夹角) 为 $\tht_\mrm{obs}$ 的光线, 在静止系中其出射角为
\[\cos\tht_\mrm{rest}=\fr{\cos\tht_\mrm{obs}-\beta}{1-\beta\cos\tht_\mrm{obs}}.\]
于是, 可以计算得立体角 (注意 $\vphi_\mrm{obs}=\vphi_\mrm{rest}$)
\[\d\Omg_\mrm{rest}=\sin\tht_\mrm{rest}\d\tht_\mrm{rest}\d\vphi_\mrm{rest}
=\fr{\sin\tht_\mrm{obs}\d\tht_\mrm{obs}\d\vphi_\mrm{obs}}{\gma^2\p{1-\beta\cos\tht_\mrm{obs}}^2}
=\dlt^2\d\Omg_\mrm{obs},\]
其中 $\dlt\ceq\gma^{-1}\p{1-\beta\cos\tht_\mrm{obs}}^{-1}$ 是 Doppler 因子.
然后考虑宏观 Doppler 效应. \tbf{不能}由钟慢效应简单得到 $\d t_\mrm{obs}=\gma^{-1}\d t_\mrm{rest}$.
要理解这一点, 可以这么考虑: 光源每单位时间发射一定数量的光子, 这定义了一个频率 $f_\mrm{rest}$.
单位时间内, 观察者又会看到一定数量的光子, 这是另一个频率 $f_\mrm{obs}$.
这两个频率之间的关系 $f_\mrm{obs}=\dlt f_\mrm{rest}$ 就是 Doppler 效应.
而 $\d t_\mrm{rest}$ 的意义是, 静止系中发射一定数量
$f_\mrm{rest}\d t_\mrm{rest}$ 的光子所需要的总时间, 它会反比于这个频率.
所以得到 $\d t_\mrm{obs}=\dlt^{-1}\d t_\mrm{rest}$.
最后探讨微观 Doppler 效应.
我们知道
\[\fc{I_\mrm{rest}}{\nu,\Omg}\d\nu=h\nu\fc{N_\mrm{rest}}{\nu,\Omg}\d\nu,\quad
\fc{I_\mrm{obs}}{\nu,\Omg}\d\nu=h\nu\fc{N_\mrm{obs}}{\nu,\Omg}\d\nu,\]
其中 $h\nu$ 是频率为 $\nu$ 的单个光子的能量.
另一方面, 题目给出了 $\fc{I_\mrm{rest}}{\nu,\Omg}\propto\nu^\alp$, 于是可知
\[\fc{N_\mrm{rest}}{\nu,\Omg}=K\nu^{\alp-1},\]
其中 $K$ 是比例常数.
由 Doppler 效应知 $\nu_\mrm{obs}=\dlt\nu_\mrm{rest}$, 因此由光子数的 Lorentz 不变性可知
\begin{align*}
\fc{N_\mrm{obs}}{\nu_\mrm{obs},\Omg_\mrm{obs}}\d\nu_\mrm{obs}\d\Omg_\mrm{obs}\d t_\mrm{obs}
&=\fc{N_\mrm{rest}}{\nu_\mrm{rest},\Omg_\mrm{rest}}\d\nu_\mrm{rest}\d\Omg_\mrm{rest}\d t_\mrm{rest}\\
&=K\nu_\mrm{rest}^{\alp-1}\d\nu_\mrm{rest}\d\Omg_\mrm{rest}\d t_\mrm{rest}\\
&=\dlt^{-\alp}K\nu_\mrm{obs}^{\alp-1}\d\nu_\mrm{obs}\d\Omg_\mrm{rest}\d t_\mrm{rest}\\
&=\dlt^{-\alp}\fc{N_\mrm{rest}}{\nu_\mrm{obs},\Omg_\mrm{obs}}\d\nu_\mrm{obs}\d\Omg_\mrm{rest}\d t_\mrm{rest}.
\end{align*}
综合三种效应, 可以得到
\begin{align*}
\fc{I_\mrm{obs}}{\nu_\mrm{obs},\Omg_\mrm{obs}}\d\nu_\mrm{obs}\d\Omg_\mrm{obs}\d t_\mrm{obs}
&=h\nu_\mrm{obs}\fc{N_\mrm{obs}}{\nu_\mrm{obs},\Omg_\mrm{obs}}\d\nu_\mrm{obs}\d\Omg_\mrm{obs}\d t_\mrm{obs}\\
&=\dlt^{-\alp}h\nu_\mrm{obs}\fc{N_\mrm{rest}}{\nu_\mrm{obs},\Omg_\mrm{obs}}\d\nu_\mrm{obs}\d\Omg_\mrm{rest}\d t_\mrm{rest}\\
&=\dlt^{-\alp}\fc{I_\mrm{rest}}{\nu_\mrm{obs},\Omg_\mrm{obs}}\d\nu_\mrm{obs}\,\dlt^2\d\Omg_\mrm{obs}\d t_\mrm{rest}.
\end{align*}
现在, 两边对 $\nu_\mrm{obs},\Omg_\mrm{obs}$ 积分, 然后除以 $\d t_\mrm{obs}$, 可得
\begin{align*}
S_\mrm{obs}&=\fr1{\d t_\mrm{obs}}\int\fc{I_\mrm{obs}}{\nu,\Omg}\d\nu\d\Omg\d t_\mrm{obs}\\
&=\dlt^{2-\alp}\fr1{\d t_\mrm{obs}}\int\fc{I_\mrm{rest}}{\nu,\Omg}\d\nu\d\Omg\d t_\mrm{rest}\\
&=\dlt^{3-\alp}\fr1{\d t_\mrm{rest}}\int\fc{I_\mrm{rest}}{\nu,\Omg}\d\nu\d\Omg\d t_\mrm{rest}\\
&=\dlt^{3-\alp}S_\mrm{rest}.
\end{align*}
这里 $S_\mrm{rest}$ 就是题目中所给的 $S_0$. 因此,
\[S_\mrm{obs}=\p{1-\beta^2}^{\p{3-\alp}/2}\p{1-\beta\cos\tht}^{\alp-3}S_0.\]
\tit{另}: 可利用结论: $I/\nu^3$ 是 Lorentz 不变量, 其中 $I\d\nu$ 是单位立体角的功率随频率的分布.
于是可以直接获得
\[I_\mrm{obs}=I_\mrm{rest}\p{\fr{\nu_\mrm{obs}}{\nu_\mrm{rest}}}^3
=\dlt^3I_\mrm{rest}=\dlt^3K\nu_\mrm{rest}^\alp=\dlt^{3-\alp}K\nu_\mrm{obs}^\alp.\]
获得跟上一种解法相同的结果 (因子 $\dlt^{3-\alp}$).
\end{document}