clase-02

clase-02

jueves 17 agosto 2023, presencial

repaso clase anterior y programa hoy

la clase anterior repasamos conceptos básicos de matemática, incluyendo:

• escalares
• vectores
• fuerzas
• Leyes de Newton
• ley de gravitación universal

la clase de hoy es la unidad 1: cinemática en 1 y 2 dimensiones

• definición de cinemática
• ecuación de velocidad en 1D
• ecuación de velocidad en 2D
• ecuación de posición en 1D
• ecuación de posición en 2D

definición de cinemática

en cinemática, describiremos y modelaremos los vectores de posición x, velocidad v y de aceleración a de cuerpos, sin importar las fuerzas ni las causas de estos movimientos.

notación en cinemática

en 1D:

• posición: x(t), medida en m
• velocidad: v(t), medida en m/s
• aceleración: a(t), medida en m/s^2

en 2D:

• posición: vector x(t), descomponemos en x(t), y(t).
• velocidad: vector v(t), descomponemos en vx(t), vy(t).
• aceleración: vector a(t), descomponemos en ax(t), ay(t).

adicionales:

$$\Delta = Delta = final - inicial$$

supuestos y simplificaciones de cinemática

• un cuerpo se puede describir con una posición en un punto
• en ese punto, está toda la masa del cuerpo

relaciones entre posición, velocidad y aceleración:

aceleración es cambio de velocidad en el tiempo, entonces por definición:

$$a(\Delta t) = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$$

donde Delta significa diferencia, y la ecuación anterior se lee como la aceleración en una ventana de tiempo, es igual a la variación de velocidad en esa ventana de tiempo, dividida por la ventana de tiempo.

velocidad es cambio de posición el tiempo, entonces por definición:

$$v(\Delta t) = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$$

ecuación de aceleración en una dimensión (1D)

en este curso simplificaremos nuestros cálculos, usando una aceleración promedio, que notaremos como a y es una constante, entonces:

$$ a(t) = a $$

nuestra aceleración será un número constante, y no dependerá del tiempo, o en otras palabras, tendrá el mismo valor para todo instante de tiempo.

ecuación de velocidad en una dimensión (1D)

si conocemos la aceleración promedio a en un instante, podemos usar como ventana de tiempo el tiempo entre origen t=0s y ese instante, y así escribir la aceleración en ese instante de tiempo entre ellos como:

$$a = \frac{v(t) - v(t_0)}{t - t_0}$$

podemos simplificar ya que sabemos que el instante inicial es 0s:

$$a = \frac{v(t) - v(t_0)}{t}$$

y sabemos que la velocidad inicial en el instante t=0, es una constante, que podemos llamar v sub 0, entonces:

$$ a = \frac{v(t) - v_0}{t} $$

y despejando la velocidad v(t), tenemos la ecuación de velocidad:

$$v(t) = v_0 + a \cdot t$$

nota: velocidad se mide en metros / segundo.

ecuación de posición en una dimensión (1D)

la posición x(t) en el instante de tiempo t, es igual a la posición inicial $x_0$ más el producto entre la velocidad promedio v y el tiempo t.

$$ x(t) = x_0 + v_{promedio} \cdot t $$

a su vez, la velocidad promedio la podemos plantear como:

$$ v_{promedio} = \frac{v(t) + v_0}{2} $$

y a su vez, podemos escribir $v(t)$ en función de de la velocidad inicial y la aceleración:

$$ v_promedio = \frac{(v_0 + a \cdot t) + v_0}{2} = v_0 + \frac{a \cdot t}{2} $$

y reemplazando en la ecuación de posición x(t) resulta en:

$$ x(t) = x_0 + (v_0 + \frac{a \cdot t}{2}) \cdot t $$

y desarrollando:

$$ x(t) = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 $$

resumen cinemática en 1D

con aceleración promedio a, podemos escribir las ecuaciones de posición y aceleración asi:

$$x(t) = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$$

$$v(t) = v_0 + a \cdot t$$

ecuación de velocidad en 2D

en 2D basta con tomar la ecuación de 1D y reemplazar por vectores:

$$\vec{v}(t) = \vec{v_0} + \vec{a} \cdot t$$

y descomponiendo en componentes x e y, tenemos el sistema:

$$v_{x}(t) = v_{x0} + a_{x} \cdot t$$

$$v_{y}(t) = v_{y0} + a_{y} \cdot t$$

ecuación de posición en 1D

en 2D basta con tomar la ecuación de 1D y reemplazar por vectores:

$$\vec{x}(t) = \vec{x_0} + \vec{v_0} \cdot t + \frac{1}{2} \vec{a} \cdot t^2$$

y descomponiendo en los ejes x e y:

$$x(t) = x_0 + v_{x0} \cdot t + \frac{1}{2} a_{x} \cdot t^2$$

$$y(t) = y_0 + v_{y0} \cdot t + \frac{1}{2} a_{y} \cdot t^2$$

resumen cinemática en 2D

podemos escribir las ecuaciones de posición y aceleración asi:

$$x(t) = x_0 + v_{x0} \cdot t + \frac{1}{2} a_{x} \cdot t^2$$

$$y(t) = y_0 + v_{y0} \cdot t + \frac{1}{2} a_{y} \cdot t^2$$

$$v_{x}(t) = v_{x0} + a_{x} \cdot t$$

$$v_{y}(t) = v_{y0} + a_{y} \cdot t$$

comentarios matemáticos sobre estas ecuaciones físicas

las ecuaciones de velocidad en 1D y 2D del estilo:

$$v(t) = v_{0} + a \cdot t$$

las podemos pensar como ecuaciones con variable independiente $t$, donde v es la variable dependiente de t, y donde:

• la aceleración es la pendiente de la ecuación, por lo tanto su signo nos dice si la velocidad aumenta, disminuye o es constante con el paso del tiempo
• la velocidad inicial: intercepto de la recta v(t) con el eje vertical, donde t=0, nos dice la velocidad inicial.

a su vez, si analizamos las ecuaciones de posición en 1D y 2D del estilo:

$$x(t) = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2$$

podemos ver que

• la posición inicial $x_0$ es el intercepto de la recta x(t) con el eje vertical, donde t=0, nos dice la posición inicial.
• la velocidad inicial $v_0$ es la pendiente de la recta x(t) en el instante t=0, nos dice la velocidad inicial.

y si nos concentramos en la variable t de tiempo, recordemos que:

• t está multiplicando a la velocidad inicial, y que t al cuadrado está multiplicando a la aceleración
• por lo tanto, si analizamos cuando t es muy muy grande (positivo o negativo), el término aceleración por tiempo al cuadrado será el dominante.

ecuaciones de cinemática sin tiempo en 1D

otra manera de ver la posición en un determinado momento es:

$$ x(t) = x_0 + \overline{v} \cdot t $$

donde tenemos:

• $x(t)$: posición en instante t
• $x_0$: posición inicial
• $\overline{v}$: velocidad promedio
• t: instante t

si queremos eliminar la dependencia en t, podemos despejarlo desde la ecuación original de velocidad v(t):

$$ v(t) = v_0 + \overline{a} \cdot t $$

y despejando $t$:

$$ t = \frac{v(t) - v_{0}}{\overline{a}} $$

y reemplazando este t en la ecuación de posición $x(t)$:

$$ x(t) = x_0 + \overline{v} \cdot t = x_0 + \overline{v} \cdot \frac{v(t) - v_{0}}{\overline{a}} $$

si además reemplazamos la velocidad promedio $\overline{v}$ por su definición:

$$ \overline{v} = \frac{v(t) + v_{0}}{2} $$

la ecuación de posición x(t) resulta:

$$ x(t) = x_0 + \overline{v} \cdot \frac{v(t) - v_{0}}{\overline{a}} = x_0 + \frac{v(t) + v_{0}}{2} \cdot \frac{v(t) - v_{0}}{\overline{a}} $$

y como $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, entonces:

$$ x(t) = x_0 + \frac{v(t) + v_{0}}{2} \cdot \frac{v(t) - v_{0}}{\overline{a}} = x_0 + \frac{v^2(t) - {v_{0}}^2}{2 \cdot \overline{a}} $$

y podemos despejar la velocidad $v(t)$ en el instante t así:

$$ v^2(t) = {v_{0}}^2 + (x(t) - x_{0}) \cdot 2 \overline{a} $$

donde

• $v_{0}$ es la velocidad inicial, una constante.
• $x_{0}$ es la posición inicial, una constante.
• $\overline{a}$ es la aceleración promedio, una constante.
• $x(t)$ es la posición en el instante t.

con esto, si tenemos los valores de las constantes, para toda posición $x(t)$ podemos saber la velocidad $v(t)$, y viceversa.

ejemplo:

si un cuerpo se mueve en dirección ascendente con $v_0 > 0$, con una aceleración opuesta y constante $-a$, va a disminuir su velocidad, y en algún momento va a pasar por 0, y va seguir disminuyendo.

cuando su velocidad es 0, es en el instante en que se empieza a devolver en la otra dirección, y sería su máximo punto. veamos este valor en la ecuación que acabamos de plantear:

$$ v^2(t) = {v_{0}}^2 + (x(t) - x_{0}) \cdot 2 \overline{a} $$

donde $v(t) = 0$, entonces:

$$ 0 = {v*{0}}^2 + (x(t) - x*{0}) \cdot 2 \overline{a} $$

y despejando x(t):

$$ -{v_0}^2 = (x(t) - x_0) \cdot 2 \overline{a} $$

$$ -2a \cdot {v_0}^2 = x(t) - x_0 $$

$$ x(t) = x_0 + -2a \cdot {v*{0}}^2 $$

movimiento circular

consideración:

• consideramos una superficie en forma de disco
• se mueve con velocidad angular constante
• nos centramos en un radio del disco, todo ese radio avanza y pasa por el origen con regularidad (periodo T).
• pero un cuerpo a $\frac{R}{2}$ del centro, se más lento que un cuerpo en $R$.

la ecuación es:

$$ v = \omega \cdot r $$

donde

• $v$ es velocidad, se mide en $\frac{m}{s}$
• $\omega$ es velocidad angular, se mide en $\frac{radianes}{s}$
• $r$ es radio, se mide en $m$

si tenemos una velocidad angular constante, podemos plantear esta ecuación como:

$$ \omega = \frac{v}{r} $$

donde $v$ es directamente proporcional a $r$, entonces con velocidad angular constante, a mayor radio, mayor velocidad.

por lo tanto, un cuerpo muy cerca del centro va más lento que uno a mayor distancia.

eso aplica a las canchas para correr, donde a la personas que corren más fuera del centro se les da una ventaja, y después durante la carrera se les permite a todes ir al centro, para que corran la misma distancia.

referencias

• https://openstax.org/details/books/university-physics-volume-1
• https://www.cliffsnotes.com/study-guides/physics/classical-mechanics/kinematics-in-one-dimension