ayudantia-02

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jueves 18 agosto 2022, presencial

ejercicio-01: segunda ley de Newton y ecuación de gravitación universal (30 min)

a) cuando estamos sosteniendo un cuerpo de 10 kg a 1 metro del suelo y lo soltamos, qué fuerza le aplica la tierra a ese cuerpo, si sabemos que su aceleración es de 10 metros / segundos cuadrados?

b) si tenemos otro cuerpo de masa m2 de 100 kg, ubicado a 20m del cuerpo original m1, cuánta es la fuerza gravitacional que este que ejerce el cuerpo m1 sobre el cuerpo m2?

solución ejercicio-01

a)

por la segunda ley de Newton, sabemos que

$$F = m \cdot a$$

reemplazando los valores:

$$F = 10 kg \cdot 10 \frac{m}{s^2} = 100 \frac{kg m}{s^2} = 100 N$$

la fuerza que le aplica la tierra es de 100N. notar que el valor de esta fuerza depende de la masa del cuerpo, y de su aceleración, en este caso la gravedad, pero no de la distancia desde donde se suelta el objeto.

b)

sabemos que por la ecuación de fuerza gravitacional universal:

$$F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$$

si reemplazamos con los valores de G, m1, m2 y r, obtenemos:

$$F = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{N \cdot m^2}{kg^2} \cdot \frac{10 kg \cdot 100 kg}{(20m)^2}$$

desarrollando las multiplicaciones:

$$F = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{N \cdot m^2}{kg^2} \cdot \frac{1000 kg^2}{400 m^2}$$

agrupando los números, potencias de 10 y unidades:

$$F = \frac{6.67 \cdot 1000}{400} \cdot 10^{-11} \cdot \frac{N \cdot m^2 kg^2}{kg^2}{m^2}$$

y simplificando, resulta en:

$$F = \frac{6.67}{4} \cdot 10^{-10} N \approx 1.67 \cdot 10^{-10} N$$

como vemos, esta fuerza es muy pequeña, del orden de 10 elevado a -10, lo que explica a que su influencia sea muy menor, comparada con la fuerza gravitacional que ejerce la tierra sobre el cuerpo m1.

la gravedad nos afecta, porque los planetas son un cuerpo muy masivo, y como sabemos de la ecuación de fuerza gravitacional universal, su efecto decrece cuadráticamente a mayor distancia entre los cuerpos.

ejercicio-02: ecuación de gravitación universal y conversión de unidades físicas (30 min)

a) cuáles son las unidades de G, la constante de gravitación universal, expresadas en función de Newton, metros y kilogramos? y expresada en función de segundos, metros y kilógramos?

b) sabiendo la magnitud de G es $6.67 \cdot 10^{-11}$ con las unidades calculadas anteriormente, calcular aproximadamente cuánto mide la gravedad en la tierra.

solución ejercicio-02

a)

sabemos que la ecuación de gravitación universal es:

$$F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$$

donde F se mide en Newton, m1 y m2 se miden en kg, y r es una distancia medida en metros.

si despejamos G, nos resulta la ecuación

$$G = \frac{F \cdot r^2}{m_1 \cdot m_2}$$

y si reemplazamos las unidades, podemos ver que G se mide en:

$$G_{unidades}: \frac{N \cdot m^2}{kg^2} $$

notamos que por definición, fuerza (F) es igual a masa (m) por aceleración (a), y con eso podemos definir la equivalencia entre unidades:

$$fuerza = masa \cdot aceleración$$

$$N = kg \cdot \frac{m}{s^2}$$

y reemplazando esta equivalencia de la unidad de Newton en las unidades de G, tenemos que también podemos expresar sus unidades así:

$$G_{unidades}: N \cdot \frac{m^2}{kg^2} = \frac{kg \cdot m}{s^2} \cdot \frac{\cdot m^2}{kg^2} = \frac{m^3}{kg \cdot s^2}$$

b)

nos dan el dato que:

$$G = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{N \cdot m^2}{kg^2}$$

como queremos calcular la gravedad de la tierra, diremos que la tierra es un cuerpo con masa M, y veremos cómo atrae a un cuerpo pequeño con masa m, con lo que la ecuación de gravitación universal resulta:

$$F = G \frac{M \cdot m)}{r^2}$$

por la segunda ley de Newton, sabemos que la fuerza sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración. si nuestro cuerpo pequeño con masa m está en caída libre y solamente le afecta la fuerza de gravitación, sabemos que:

$$F = m \cdot a$$

y esa aceleración le llamamos gravedad g, entonces tenemos

$$F = m \cdot g$$

igualando ambas fuerzas, podemos escribir la ecuación

$$G \frac{M \cdot m}{r^2} = m \cdot g$$

y si despejamos g, obtenemos

$$g = \frac{G \cdot M}{r^2}$$

donde G es la constante de gravitación universal, M es la masa de la tierra, y r es el radio de la tierra, porque hacemos la simplificación de que la tierra es un cuerpo de masa M, ubicada al centro de la tierra, entonces la distancia entre el cuerpo y la tierra es el radio de la tierra.

reemplazando por valores numéricos y respetando las unidades, resulta:

$$g = \frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{N m^2}{kg^2} \cdot 5.97 \cdot 10^{24} kg}{(6.37 \cdot 10^6 m)^2} $$

ordenando números, potencias de 10 y unidades de medición, tenemos:

$$g = \frac{6.67 \cdot 5.97}{6.37^2} \cdot \frac{10^{-11} \cdot 10^{24}}{(10^6)^2} \cdot \frac{N \cdot m^2 \cdot kg}{kg^2 \cdot m^2}$$

simplificando:

$$g = \frac{6.67 \cdot 5.97}{6.37^2} \cdot \frac{10^{13}}{10^12} \cdot \frac{N}{kg}$$

seguimos simplificando y reemplazamos N como el producto entre masa y aceleración:

$$g = \frac{6.67 \cdot 5.97}{6.37^2} \cdot 10 \cdot \frac{kg \cdot \frac{m}{s^2}}{kg}$$

y simplificando las unidades, tenemos

$$g = \frac{6.67 \cdot 5.97}{6.37^2} \cdot 10 \cdot \frac{m}{s^2}$$

y como el término numérico es aproximadamente igual a 1, podemos aproximar:

$$g \approx 10 \frac{m}{s^2}$$

ejercicio-03 (30 min)

si tenemos 3 cuerpos idénticos de masa m, situados equidistantes, formando un triángulo equilátro de lado r con ángulos interiores de 60 grados, encontrar la fuerza gravitacional total ejercida por dos de los cuerpos sobre un tercero.

pista: para simplificar los cálculos, situamos el cuerpo m1 en el origen del sistema cartesiano, el cuerpo m2 sobre el eje X hacia la derecha a distancia r de m1 y el tercer cuerpo m3 completa el triángulo equilátero, con coordenadas x e y positivas.

solución ejercicio-03

definimos la fuerza gravitacional total sobre el cuerpo m1 como F1, y sabemos que es el resultado de las otras dos fuerzas presentes: F(2, 1) y F(3, 1), que son respectivamente la fuerza que ejerce el cuerpo m2 sobre m1, y la que ejerce el cuerpo $m3$ sobre m1.

$$\vec{F_1} = \vec{F_{2,1}} + \vec{F_{3,1}}$$

calculemos primero la magnitud de F(2, 1)$:

$$F_{2,1} = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} = G \cdot \frac{m^2}{r^2}$$

sabemos que el cuerpo 2 atrae al cuerpo 1 hacia la derecha, por lo que la dirección es en el vector unitario x.entonces para calcular el vector de la fuerza F(2, 1) reemplazamos:

$$\vec{F_{2,1}} = F_{2,1} \cdot \hat{x} = G \cdot \frac{m^2}{r^2} \cdot \hat{x}$$

ahora calculemos la magnitud de $F_{3,1}$:

$$F_{3,1} = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_3}{r^2} = G \cdot \frac{m^2}{r^2}$$

notamos que la magnitud F(3, 1) es igual a F(3, 1), lo que tiene sentido, ya que las distancias son las mismas, y las masas son también las mismas!

para calcular el vector F(3, 1), notamos que la masa m3 atrae hacia sí la masa m1, por lo que la dirección será hacia arriba y la derecha en el plano cartesiano.

si hacemos el triángulo rectángulo entre la posición de la masa m1 en el origen (0, 0) y la posición (x, y) de la masa m3, vemos que x e y son los catetos y r es la hipotenusa, y que el ángulo interno es de 60 grados, así que podemos plantear el sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas:

$$ sin(60 grados) = \frac{cateto opuesto}{hipotenusa} \brack cos(60 grados) = \frac{cateto adyacente}{hipotenusa}$$

reemplazando con los datos:

$$ sin(60 grados) = \frac{y}{r} \brack cos(60 grados) = \frac{x}{r}$$

despejando x e y:

$$ x = r \cdot cos(60 grados) \brack y = r \cdot sin(60 grados)$$

y reemplazando los valores de seno y coseno:

$$ x = r \cdot \frac{1}{2} \brack y = r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

y con eso tenemos que el vector $\vec{r_{1, 3}}$ que va de $m_1$ a $m_3$ es:

$$\vec{r_{1, 3}} = r \cdot \frac{1}{2} \cdot \hat{x} + r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \hat{y}$$

pero necesitamos el vector unitario de ese vector, que se puede obtener al dividir cualquier vector por su módulo, con esta fórmula:

$$\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}$$

y con eso, calculemos el vector unitario r(1, 3) entre los cuerpos 1 y 3.$

$$\hat{r_{1, 3}} = \frac{\vec{r_{1, 3}}}{|\vec{r_{1, 3}}|} = \frac{r \cdot \frac{1}{2} \cdot \hat{x} + r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \hat{y}}{r}$$

y despejando, resulta:

$$\hat{r_{1, 3}} = = \frac{1}{2} \cdot \hat{x} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \hat{y}$$

y ahora sí podemos encontrar el vector r(1, 3):

$$\vec{F_{3,1}} = F{3,1} \cdot \hat{r_{1, 3}}$$

y reemplazando:

$$\vec{F_{3,1}} = G \cdot \frac{m^2}{r^2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \hat{x} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \hat{y})$$

y ahora podemos describir la fuerza total sobre la masa m1 como:

$$\vec{F_1} = \vec{F_{2,1}} + \vec{F_{3,1}}$$

equivalente a:

$$\vec{F_1} = G \cdot \frac{m^2}{r^2} \cdot \hat{x} + G \cdot \frac{m^2}{r^2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \hat{x} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \hat{y})$$

y factorizando, resulta en:

$$\vec{F_1} = G \cdot \frac{m^2}{r^2} \cdot (\hat{x} + \frac{1}{2} \cdot \hat{x} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \hat{y})$$

y simplificando:

$$\vec{F_1} = G \cdot \frac{m^2}{r^2} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \hat{x} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \hat{y})$$

notamos que la influencia en la dirección X es mayor que en Y, lo que tiene sentido, ya que la masa m2 solamente atrae en la dirección X, mientras que m3 atrae tanto en X como en Y.