120.txt

120   ГЛ. III, ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Ряд Лапласа можно продолжать до тех пор, пока какой-нибудь
из инвариантов V не обратится тождественно в нуль. Замечатель-
ным свойством этого ряда является то, что если при каком-нибудь
га оказывается /г"=0, то для исходного уравнения может быть по-
строена формула общего решения с двумя произвольными функ-
циями, содержащая квадратуры. Если же ряд Лапласа «обрыва-
ется» с двух концов, то можно построить формулу общего решения
исходного уравнения, не содержащую квадратур. Эти красивые
аналитические факты здесь не доказываются, поскольку в даль-
нейшем они использоваться не будут. С ними можно познако-
миться, например, по указанному в списке литературы к этой
главе классическому трактату Дарбу.

Для дальнейшего важен случай, когда инварианты Н" нахо-
дятся в постоянном отношении.

Лемма. Если уравнение (А, К) таково, что отношения

й/А=р,  (9^1п/1)//г=д                   (3.6)

постоянны, то все инварианты ряда Лапласа этого уравнения
находятся в постоянном отношении.

Доказательство. В обозначениях ряда Лапласа ра-
венства (3.6) переписываются в виде

А-^рА», д,ду1пн°==дн°.

Из формулы (3.5) при га=-=0 следует постоянство отношения
п1/^^о=2—р—д. На основании ;)того постоянство отношения
'КЧЬ0 устанавливается с помощью формулы (3.5) индукцией
но п.9

В случае постоянных р, ^ для отыскания отношения А"//»0
при любом п надо рассмотреть формулу (3.5) как уравнение в ко-
нечных разностях

Й-+1 __ 2У + ^я-1 = ——^°

с начальными условиями !г~1=р^^^>, НО=Н^. Решение этой задачи
(очевидно, единственное) есть

у//г0^1_^(1_р).га—^дге(га+1).           (3.7)

4. Определяющие уравнения. Если искать допускаемый урав-
нением (1.2) оператор вида а5д+Р^у+Т^с координатами а, р, у:

2^ -> -В, то окажется, что частью системы определяющих уравне-
ний будут уравнения вида 7 (14.6), т. е. в данном случае уравне-
ния 3^а=^Р=0, <9^г=0. Из этого факта и результатов 7.14 сле-
дует, что для уравнения (1.2) его основная алгебра Ли есть ЬЕ=
=^^^)^^:0, где И образована операторами вида

^.д=Цх, у)9,+^. У)9у+°(^ Ц)^,-       (^1)